青海省海东市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

海东市第一中学2023~2024学年度第二学期期中考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章一第七章7.2。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有 A.60种 B.80种 C.100种 D.120种 2.下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置： ③某派出所一天内接到的报警电话次数X; ④某同学上学路上离开家的距离Y. 其中是离散型随机变量的个数为 A.1 B.2 C.3 3.函数f(x)=x3一x一1的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 A.y=2x-3 B.y=x-2 C.y=-x D.y=-2x+1 的展开式中有理项的项数为 A.0 B.1 C.2 D.3 5.某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两 个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有 A.108种 B.90种 C.72种 D.36种 【高二数学第1页（共4页）】 24592B 6.甲、乙、丙三人各进行一次投篮，三人投中的概率分别为0.6,0.6,0.5，则三人中至少有一人 投中的概率为 A.0.92 B.0.96 C.0.8 D.0.88 7.(x一1)2(.x2一2x十2)的展开式中，x2的系数与常数项之差为 A.-3 B.-1 C.5 D.7 8.已知函数f(x)=xlnx一2x十a一a,若f(x)≤0在x∈[1，e]上恒成立，则实数a的取值范 围是 A.[-1,2] B.[0,1] C.[0,2] D.[-1,1] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.对于(-) 的展开式，下列说法正确的是 A.展开式共有8项 B.展开式中的常数项是70 C.展开式中各项系数之和为0 D.展开式中的二项式系数之和为64 10.如图是导函数y=f(x)的图象，则下列说法正确的是 A.函数y=f(x)在区间(1,3)上单调递减 B.函数y=f(x)在区间（一oo,0)上单调递减 C.函数y=f(x)在x=1处取得极大值 D.函数y=f(x)在x=一2处取得极小值 11.袋中装有6个相同的小球，分别编号为1,2,3,4,5,6.从中不放回的随机抽取两个球，A表 示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，B表示事件“取出的两个球的编号之 和为偶数”，则下列说法正确的是 A.事件A与事件B不相互独立 B.事件A与事件B互斥 C在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为号 D.在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为司 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转， 则从甲地去丙地可选择的出行方式有 种。 13.有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2,3台加工的次品率均为 5%,加工出来的零件混放在一起，已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的20%， 30%,50%,现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加 工的概率为 14.已知函数f(x)=e一e一x,若f(十t)十f(3t)<0成立，则实数t的取值范周 为 【高二数学第2页（共4页）】 24592B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(本小题满分13分) 根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某学校政治 组有4名男教师和3名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一 起.求： (1)4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)3名女教师互不相邻的坐法有多少种？ 16.(本小题满分15分)》 已知函数f(x)=x3+a.x2十b.x十2在x=一1处取得极值7. (1)求f(x)的单调区间： (2)求f(x)在[一2,4]上的最值. 17.(本小题满分15分) 在二项式（日一x广(n∈N)的展开式中， ,给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于37； ②所有偶数项的二项式系数的和为128. 试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求展开式中系数最大的项； (2)求展开式中含x2的项， (备注：如果多个条件分别解答，则按第一个条件计分) 【高二数学第3页（共4页）】 24592B 18.(本小题满分17分) 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A,B两种套餐的集团用户进行调查，准备从 本市n(n∈N')个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个 集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为 5 (1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； (2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为X,求X的分布列. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(.x)=a(e-l)-工(a≠0). (1)若a=1,证明：f(x)≥0： (2)若Y∈0.十0，∈0.+o)≠，都有二>2求实数a的取值 xi一x2 范围. 【高二数学第4页（共4页）】 24592B海东市第一中学2023~2024学年度第二学期期中考试·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1.D从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共A=6×5×4=120(种). 故选D. 2.B对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量： 对于②，沿x轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量： 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量： 对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变 量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③，故选B. 3.A因为f(x)=3x2-1,所以所求切线的斜率为f(1)=3×1一1=2.由f(1)=一1，得所求切线的方程为 y十1=2(x一1)，整理为y=2.x一3.故选A. 4.C(近一左的展开式的通项为T1=C宁(-1=(-1C学， 当r=0或r=6时，为有理项，故选C 5.A第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有 CA=18种： 第二步，某谈话节目和其他剩余的个节目在第二天播出，有A=6种播出方案， 综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有18×6=108种不同的播出方案.故选A. 6.A“三人中至少有一人投中”的对立事件是“三人均投不中”，三人均投不中的概率为(1一0.6)×(1一0.6) ×(1-0.5)=0.08,所以三人中至少有一人投中的概率为1-0.08=0.92.故选A. 7.C(x一1)(x2-2x十2)=(x一1)十(x一1)，展开式中x2的系数为C号十1=7，常数项为2，故x2的系数与 常数项之差为7一2=5.故选C 8.Bf(r)=lnx-1.f(e)=0,令f(x)>0,解得e<r<c2,令f(x)<0,解得1≤x<e.所以f(x)在 [1,e)上单调单减，在(e,e门上单调单增，又f(x)≤0在x∈C1,e]上恒成立，所以 |f(1)=-2+2-a≤0， 解得0≤a≤1.故选B. 1f(e)=2e2-2e2+a2-a≤0， 9.C(一子）广的展开式共有9项，故A借误： 展开式中的常数项为C×x×(一）广=70，故B正确： 令x=1,则展开式中各项系数之和为(1一1)=0，故C正确： 展开式中的二项式系数之和为2=256，故D错误. 10,ACDA.因为(x)<0在(1,3)上成立，所以(1,3)是y=f(x)的单调递减区间，故正确： B.因为当-2<x<0时，f(.x)>0,当x<一2时，f(x)<0,所以y=f(x)在（一∞，0）上不单调，故错误： C.因为当一2<x<1时，(x)>0,当1<x<3时，了(x)<0,函数y=f(x)在x=1处取得极大值，故正确： D.因为当x<-2时，f(x)<0,当一2<x<1时，f(x)>0,所以函数y=f(x)在x=一2处取得极小值.故 正确，故选ACD. 1ACD对选项A:事件A的概率P(A)=1一P(不)=1-号=吉，事件B的概率P(B)=志C=号事 件AB的概率P(AB)= -吉因为P(AB)≠P(A)·P(B),所以事件A与事件B不相互独立，选项 A正确： 对选项B:“取出的两个球的编号均为奇数”既在事件A中，也在事件B中，故事件A与事件B不互斥，选项 【高二数学参考答案第1页（共3页）】 24592B B错误： 1 对选项C:在事件A发生的的提下，事件B发生的概率为P(BA)二P=号=子，选项C正确： 5 对选项D:在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为P(AB)=PAB)= 5= P(B) 2,选项D正 1 5 确，故选ACD. 12.12由分步计数乘法原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有3×4=12（种）： 13.号记A为事件“零件为第i=1,2,3)台车床加工，B为事件“任取一个零件为次品”，则P(A)=0.2, P(A,)=0.3.P(A)=0.4,所以P(B)=P(A,)P(B|A,)+P(A2)P(B|A2)+P(A)P(B|A)= 0.2×0.01+0.3×0.05+0.5X0.05=0.048,所以P(A,1B)=P(A)PCBA2=0.3X0.05=5 P(B) 0.048-16 14.(一4,0)由题得函数的定义域为R.因为f(一x)=e一e+x=一f(x),所以函数f(x)是奇函数.又 f(x)=e+e-1≥2√e·e一-1=1>0.所以函数在R上单调递增，f(:+)+f(3)<0等价于 f(F+1)<-f(31)=f(-3),所以-3>十t,.F+41<0,∴一4<t0.所以实数t的取值范围为(-4,0). 15.解：(1)根据题意，先将4名男教师排在一起，有A=24种坐法，……2分 将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师进行排列，共有A=24种坐法，……4分 由分步乘法计数原理，共有24X24=576种坐法；………………6分 (2)根据题意，先将4名男教师排好，有A=24种坐法，…………8分 再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名女教师，有A=60种坐法，……10分 由分步乘法计数原理，共有60×24=1440种坐法。…………………………13分 16.解：(1)f(x)=3.xr2+2a.x+b, f(-1)=7, 因为函数f(x)=x2十ax2+bx十2在x=一1处取得极值7，所以 ……3分 (-1)=0, 解得 /a=-3. …4分 1b=-9, 所以f(x)=x3-3.x2-9x+2,f(x)=3x2-6x一9，令f(x)>0,解得x<-1或x>3,令f(x)<0,解 得一1<x<3,所以f(x)的单调增区间是（一∞，一1），(3，十∞)，单调减区间是（一1,3）：…7分 (2)由(1)得x∈[-2，一1]，f(x)单调递增，x∈[-1,3]，f(x)单调递诚，x∈[3,4]，f(x)单调递增， f(-2)=(-2)-3×(-2)2-9×(-2)+2=0, f(-1)=(-1)3-3×(-1)2-9×(-1)+2=7,f(3)=3-3×3-9×3+2=-25, f(4)=43-3X42-9X4十2=-18，…………13分 所以f(x)=7,………………14分 f(江)=一25.…15分 17.解：选择①：C+C+C%=37,即1十n+(m=37, 2 即2+n一72=0，即(n-8)(n十9)=0，解得n=8或n=-9(舍去). 选择②：C+C%+C+…=128,即2-1=128，解得n=8. (1)展开式中系数最大的项为第5项， 1=C(1）广(-x)'=70: ……………8分 (2)展开式的通项为T+=C(）》 …(-x)=C%(-1)x-",……12分 【高二数学参考答案第2页（共3页）】 24592B 令2r一8=2，解得r=5,…………… 13分 .展开式中含x2的项为第6项，T。=C×(一1)x2=一56.x2.…15分 18.解：(1)由题意知共有n十3个集团，取出2个集团的方法总数是C1,其中全是大集团的情况有C,故全是 n(n-1) 大集团的概率是Cm十2)(m十3万7 ……3分 整理得到32一13n一10=0，解得n=5,……………5分 若2个全是大集团，共有C=10(种)情况， 若2个全是小集团，共有C号=3（种）情况， 故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为小集团的概率为0十3一3： 3 3 …8分 (2)由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2,3， ……………9分 PX=0)-晋=6P(X=)e-0 56 12分 P(X=2)= CC8105 C C 5628 15分 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 15 15 56 56 8 2 …17分 19.(1)证明：若a=1,f(x)=c一1-x,(x)=c-1,令f(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0, 所以f(x)在（一o,0)上单调递减，在(0，十0∞）上单洞递增，………3分 所以f(江）。=f(0)=0,…4分 所以f(x)≥0：…5分 2解：不妨设0<<n所以二>，即)-<)-， xi-xi 所以f(x)-x2在(0，十o∞)上单调递增，………………7分 令g6)=x)-,g(x)=0e-一>≥0在0.+o∞)上恒成立.…8分 h(r)=g'(r),h'(r)=ae-1. 当a<0时，h(x)<0在(0，十∞)上恒成立，又h(-)=ae<0,不符合题意：…9分 当0<a<1时，令(x)>0,解得x>n。,令h'()<0,解得0<<1 1 所以A(x)在(0，ln合)上单调递减，在(n。,十)上单调递增， 所以Am=A(仙占)-1-lh亡。-ha一+1≥0，解得>1，此种情况无解， 当a≥1时，：h'(x)=ae-1>e-1=0,h(r)在(0，+o)上单调递增，h(x)>h(0)=a-上≥0， .h(x)=g'(x)≥0在(0，+∞)上恒成立， 综上所述a的取值范围为[1，十∞).……… ……………17分 【高二数学参考答案第3页（共3页）】 24592B