广西百色市平果市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2023~2024学年度春季学期平果市第二中学高一期中考试 数 学 全卷满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑:非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答:字体工整,笔迹清楚。 4.考试结束后,请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容:必修第二册第六章一第八章8.4。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.已知向量a=(2,t),b=(t+3,2),且a∥b,则实数t= A.1或4 B.1或-4 C.或1 D.-或1 2.用一个平面截一个几何体,得到的截面是三角形,这个几何体不可能是 A.长方体 B.圆锥 C.棱锥 D.圆台 3.复平面内表示复数=一的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin B-csin C=asin A,且b=2c,则角A的 大小为 A晋 B. c D. 5.已知斜三棱柱A'B'C'-ABC的体积为2,则四棱锥B-AA'CC的体积是 A B司 c号 6.在 ABC中,A=开,AB=V2,AC=4.则BC边上的高为 A号0 B.2v2 C.3 D.23 【高一数学第1页(共4页)】 24596A 7.若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观 y 图,四边形OA'C'B'为等腰梯形,A'C'∥OB',A'C'=4,OB'=8,则 原四边形AOBC的面积为 B: A.18V2 B.20√2 C.22√2 D.24V2 8.如图,AB是底部不可到达的一座建筑物,A为建筑物的最高点,某同学选 择地面CD作为水平基线,使得C,D,B在同一条直线上,在C,D两点用测 角仪器测得A点的仰角分别是45 和75 ,CD=10,则建筑物AB的高度为 A.5√3+5 B 5(W6+W2) C.55 D.5/3+5 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.以下关于平面向量的说法中,正确的是 A.既有大小,又有方向的量叫作向量 B.所有单位向量都相等 C.零向量没有方向 D.平行向量也叫作共线向量 10.分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.以上皆不可能 11.在 ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是 A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=60 ,c=2,a=1.74,则 ABC只有一解 C.若tanA-分,则 ABC为直角三角形 D.cos A+cos B+cos C>0 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知(1十2i)z=5-5i(i是虚数单位),则x的虚部为 13.如图,一艘船以每小时20km的速度向东航行,船在A处观测灯塔北 C在北偏东45 方向,行驶2h后,船到达B处,观测个灯塔C在北 偏东15 方向,此时船与灯塔C的距离为 km. 14.有一个正六棱柱的机械零件,底面边长为4cm,高为1cm,则这个 东 正六棱柱的机械零件的表面积为 cm2. 【高一数学第2页(共4页)】 24596A 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知复数之满足:x十i是实数,之的模为√5,之的共扼复数之在复平面内对应的点在第一 象限 1)求产 (2)若2+22=a十1+bi(a,b∈R),求a,b的值. 16.(本小题满分15分) 已知平面向量a,b满足a=(m一1,一2),b=(一4,1),其中m∈R. (1)若a∥b,求实数m的值: (2)若a⊥b,求向量2a一b与b的夹角的大小. 17.(本小题满分15分) 在 ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且ab=c2一a2一b. (1)求角C: (2)若 ABC的面积为23,c=2√7,求a、b的值. 【高一数学第3页(共4页)】 24596A 18.(本小题满分17分) 如图,某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成,已知球的直径是8cm,圆柱简 长3cm. (1)这种“浮球”的体积是多少cm? (2)要在这样1000个“浮球”表面涂一层胶质,如果每平方厘米需要涂胶0.02克,共需胶多 少克? 8 cm 19.(本小题满分17分) 如图,在正方体ABCD-A1B,CD中,E,F分别是AB,AA上的点,且AF=2FA,BE=2AE. (1)证明:E,C,D1,F四点共面: D C (2)设D1F∩CE=O,证明:A,O,D三点共线. B. 【高一数学第4页(共4页)】 24596A2023~2024学年度春季学期平果市第二中学高一期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B由a∥b,有4=1(1+3).解得1=1或一4. 2.D过长方体ABCD-A:B,CD,三个顶点A,C、B,的截面为三角形：圆锥轴截面为三角形：过棱锥底面不 相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形. 3.C=①i-=-1一i,放对应的点在第三象限 i 1 4.A由正弦定理品品C得，原式可化为公一C=a二公=a十△ABC是直角三角形.oA 方交，A∈(0x),∴A=T 3 5.D Va-Mcc=VA-AWe-Vaa'ne,'Vi'e 6.A根据余弦定理：BC=VAB+AC-2AB·ACos∠BAC=√(W2)'+4-2XV2×4×号=0.设 2 BC边上的高为h,则S-lcsinA=合a,号×4X厄×号-=是：h=号而， 7.D在直观图中，四边形A'C'B'O'为等腰梯形，∠A'O'B'=45°.而A'C'=4,OB'=8,则OA A4( =2√2，由斜二测画法得原四边形AOBC是直角梯形，AC∥OB,∠AOB=90°，OA=4√2，OB =2AC=8,如图.所以四边形A0BC的面积为C士OB×OA=4生×4v厄=242.故选D 4万 2 8A在△ACD中.∠CAD∠ADB-∠ACD=755=0,由正孩定理-0得 AD AD=10√2，在△ABD中，AB=ADsin75=102×2×3十1=5V5+5,故选A. 2 2 9.AD根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答，由向量的定义知，既有大小，又有方向的 量叫做向量，A正确： 单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确： 零向量有方向，其方向是任意的，C不正确： 由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确. 故选AD. 10.ABC当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A正确： 两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B正确： 一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C正确. 1l.AD对于A选项，由A>B,有a>b,由正弦定理可得sinA>sinB,故A选项正确； 对于B选项，由v3<1.74<2,可知△ABC有两解，可知B选项错误： 对于C选项，由1anA=分，得sinA=sin Ban A,有cosA=sinB,可得A+B=受或B=受+A,可知C选 项错误： 对于D选项，若△ABC为锐角三角形或直角三角形，有cosA十cosB+cosC>0:若△ABC为钝角三角形， 不妨设C为钝角，有cosC<0,cosA>0,cosB>0,有cosA十cosB+cosC>cosA+cosC=cosA一cos(A +B)=cosA-cos Acos B+sin Asin B>cosA(1-cosB)>0,可知D选项正确.故选AD. 12.3-计-得20得二器-1-3i=-1+3虚部为8 【高一数学参考答案第1页（共3页）】 24596A 13.40√2由图知∠C-30°，AB=40.由正弦定理有BC-ABsin45°40X2 sin30° 1 2=402. 14.48V5+24S￥=6×5×16=24V5cm,Sa=4X1×6=24cm,5A=2Sk+5a=(48V3+24cm. 40 15.解：(1)设复数x=m十i(m,n∈R), x十i=川十(n十1)i是实数，n十1=0，n=一1，……2分 |x=m十n=V5,m=士2，… ……4分 又之在第一象限，m>0,n<0,m=2, =2-…音得得棉-生-号+ 2 6分 (2)由(1)得：x=2-i,2=2+i,g2=(2-i)2=3-4i, ,.g+g2=2+i+3-4i=5-3i=a十1十i,… 11分 十1=5a=4.6=-3. 16=-3, 13分 16.解：(1)因为a=(m-1,-2),b=(-4,1),又a∥b, 所以m一1=一2X(一4)，……… …3分 解得川=9；…………… 4分 (2)因为a⊥b. 所以a·b=-4(m-1)-2=0,解得m=2, 所以a=(--2… …7分 所以2a-b=2(-2,-2)-（-4,1)=(3,-5).… …8分 所以|2a-b1=√32+(-5)产=√34，b=√(-4)+1严=17， 11分 (2a-b)…b=3X(-4)十(-5)X1=一17，…12分 所以向量2a一b与b夹角0的余弦值为cos0=- -17 I7×34 2 ………14分 又由0<0<，可得0=年 01540040404014+000++0”5400045+50+4行5000+”044中00+4000+501040+94+0+9400 15分 17.解：(1)由余弦定理有cosC=。+-C -ab 2ab ……4分 2ab 因为0<C<x,可得C=2 3 7分 (2)由题意有2a6sin三=23，可得ah=8… …9分 又由c=2√7，有ab=28-a2-∥，可得a2十=20………11分 有a+b=√/a+b+2ab=√20+16=6 |a+b=6 联立方程8·解得6=62 或 a=4 故a=2,b=4或Q=4,b=2……………15分 18.解：(1)该半球的直径d=8cm, 所以“浮球”的圆柱筒直径也是8cm,得半径=R=4cm,……………2分 所以两个半球的体积之和为V:=专R=号×6=：m, ………………4分 【高一数学参考答案第2页（共3页）】 24596A 而Vm性=元R2h=xX16X3=48πCm3,………6分 该“浮球”的体积是V=V十V#=256r+48x=400rcm, 3 3 ……………………8分 (2)上下两个半球的表面积是S#表=4xR2=4xX16=64xcm2,……………10分 而“浮球”的圆柱筒侧面积为S网性=2元Rh=2πX4X3=24xcm,……12分 所以1个“浮球”的表面积为64π十24x=88πcm,…14分 因此，1000个“浮球”的表面积的和为1000×88π=88000πcm2,…15分 因为每平方厘米需要涂胶0.02克， 所以总共需要胶的质量为0.02X88000πcm=1760x(克）。……17分 19.(1)证明：如图，连接EF,A1B,DC 在正方体ABCD-ABCD1中，AF=2FA,BE=2AE,所以EF∥AB,…3分 又BC∥A,D,且BC=AD, 所以四边形BCDA是平行四边形，所以AB∥D,C,…6分 EF∥DC,所以E,C,D,F四点共面：…8分 (2)证明：由DF∩CE=O,.O∈DF,又D,FC平面ADDA,,∴.O∈平面 ADD1A1,…11分 同理O∈平面ABCD,又平面ADD1A,∩平面ABCD=AD,…………14分 OEAD,即A,O,D三点共线。……17分 【高一数学参考答案第3页（共3页）】 24596A