9.1 三角形的边 课件-2023-2024学年冀教版数学七年级下册

定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形 三角形的表示 如图，顶点是 A，B，C 的三角形， 记作△ABC，读作“三角形 ABC” 三角形 的边 组成三角形的三条线段叫做三角形的边.如图，线段AB，BC，AC 是三角形的边，还可以用 a，b，c 表示三角形的三边 三角形的顶点 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，如图，点 A，B，C 是三角形的顶点 三角形的 角（内角） 相邻两边组成的角，叫做三角形的角（内角），如图中的∠A， ∠B，∠C [考点解读] -1- ■考点一 三角形的有关概念及其表示 1. 三角形的概念及表示 9.1 三角形的边 -2- 2. 注意事项： （1）构成三角形的三条线段必须不在同一条直线上，且首尾顺次相接； （2）三角形的表示方法中“△”代表“三角形”，后面的字母为三角形的三个顶点，字母没有先后顺序，但一般按逆时针排列. 9.1 三角形的边 -3- 9.1 三角形的边 典题精析 例 1 在如图所示的图形中，三角形共有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析：图中共有 3 个三角形，分别是△ABC， △ABD，△ACD. 答案：C 易错：B 错因：判断三角形的个数时只关注了两个小三角形，而忽略了大三角形△ABD. 满分备考：此题主要判断三角形的个数，关键是要细心，可以按照一定的顺序数出三角形的个数． -4- 9.1 三角形的边 ■考点二 三角形的三边关系 1. 三角形的三边关系 三角形的 三边关系 三角形任意两边的和大于第三边 三角形的 三边关系 的作用 （1）由三角形的三边关系可以得到：三角形两边之差小于第三边； （2）判断三条线段能否组成三角形； （3）已知三角形的两边，确定第三边的取值范围或周长的取值范围； （4）三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围； （5）证明线段的不等关系 -5- 9.1 三角形的边 2.（1）判断三条线段能否组成三角形：把三条线段中较短的两条线段相加的和与第三条线段进 行比较，若前者大则可以组成三角形，否则不能； （2）已知三角形两边长判断第三边的取值范围， 可根据三角形的三边关系得出：已知两边之差 ＜ 第三边＜ 已知两边之和 . -6- 典题精析 例 2 现有两根长度分别为 3 cm 和 6 cm 的木棒，若要从长度分别为 2 cm，3 cm，5 cm，7 cm，9 cm 的 5 根木棒中选一个钉成三角形的木框，那么可选择的木棒有 （ ） A．1 根 B． 2 根 C．3 根 D． 4 根 9.1 三角形的边 -7- 解析：设第三根木棒的长为 x cm，则第三根木棒的长的范围是 6-3 ＜x＜6+3，即 3＜x＜9．在这个范围内的有 5 cm 和7 cm， 所以可选择的木棒有 2 根． 答案：B 易错：D 错因：认为第三边 x 的取值范围为 x＜6+3，即 x＜9，所以在这个范围内的有 2 cm，3 cm，5 cm，7 cm， 4 根木棒可选． 满分备考：（1）如果用 a，b，c 表示三角形的三边，则“三角形任意两边的和大于第三边”可以表示为 a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，“任意”的意思是这三个式子都成立；（2）根据三角形的三边关系，第三条边的取值范围是小于已知的两条边的和且大于已知的两条边的差. 9.1 三角形的边 不等边三角形 三边互不相等的三角形 等腰三角形 腰和底边不相等的等腰三角形 两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰 等边三角形 三边相等的三角形叫做等边三角形 -8- 9.1 三角形的边 ■考点三 三角形按边分类 注意事项：各种三角形的关系：如图： 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形. -9- 9.1 三角形的边 典题精析 例 3 下列说法正确的个数是 （ ） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按边分可分为等边三角形和不等边三角形． A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 -10- 9.1 三角形的边 解析：∵ 等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形一定是等腰三角形，∴①错误； ∵ 三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，∴②④错误； ∵ 两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，∴③正确． 综上所述，正确的只有 1 个. 答案：D 易错：B 错因：对三角形按边分类掌握不牢． 满分备考：分类要掌握不重不漏的原则，等边三角形是特殊的等腰三角形，而不是单独的一类. -11- 9.1 三角形的边 ■对等腰三角形的三边关系考虑不全而错解 例 用一根长 18 cm 的铁丝，能围成一个有一边长为 4 cm 的等腰三角形框架吗？ 如果能，请写出三边之长；如果不能，请说明理由. [易错分析] -12- 9.1 三角形的边 解析：有一边长为 4 cm，需要分这个边长是底边长和腰长两种情况. 答案：解：能.当 4 cm 长的边为底边时，设腰长为 x cm，则 4+2x=18，解得 x=7. 当 4 cm 长的边为腰时，设底边长为 y cm，则2×4+y=18，解得 y=10. 由于4+4＜10，不符合三角形的三边关系， 因此不能围成腰长为 4 cm 的等腰三角形框架. 综上可知，用长 18 cm 的铁丝可以围成一个底边长是 4 cm 的等腰三角形框架，其三边长分别为 7 cm， 7 cm，4 cm. 易错：解：三边长分别为 7 cm，7 cm，4 cm 或 10 cm， 4 cm，4 cm. 错因：没有考虑两边之和应大于第三边的情况或只是片面地认为 4 cm 就是腰长或底边而解题错误. 易错警示：在求三角形三边关系的题型中，一定要熟记“两边之和大于第三边”，然后看所求的三条边关系符不符合这个规律. -13- 9.1 三角形的边 [题型探究] ■题型一 利用三角形的三边关系确定三角形的 个数 例 1 已知三角形两边的长分别为 5 cm 和 7 cm， 而第三边长是质数，符合条件的三角形的个数是 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得第三边长小于 12 cm（5 cm+7 cm），大于 2 cm（7 cm-5 cm），在 2 到 12 之间的质数有 3，5，7，11，共 4 个，所以符合条件的三角形有 4 个. 答案：B 题型解法：确定组成三角形的个数时，要根据三角形的三边关系看有多少种选择，做到不重不漏，然后再一一进行验证. -14- 9.1 三角形的边 ■题型二 三角形三边关系的综合应用 例 2 已知三角形三边的长分别为 a，b，c.化简： . 解析：根据“三角形任意两边之和大于第三边” 得出 a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，然后将所给式子去绝对值化简即可. 答案：解：∵a，b，c 为三角形三边的长，∴a+b＞c，a+ c＞b，b+c＞a，∴ 原式= =b+c-a+a+c-b-a-b+c+b-a-c=2c-2a． 题型解法：本题是三角形的三边关系与化简含绝对值式子的综合应用，先根据三边关系判断绝对值符号内式子的正负，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”，去掉绝对值符号，进行化简计算即可. 9.1 三角形的边 -1- ■考点 1 三角形的有关概念 1. 如图，以 AD 为边的三角形有 _________________；△AEC 的顶点是 _________，边是 _________，内角是 _____________________. （第 1 题图） （第 2 题图） 2. 如图所示，图中有 ___ 个三角形，其中以 AB 为边的三角形有 _____， 含 ∠ACB 的三角形有 __________，在△BOC 中，OC 的对角是 _______， ∠OCB 的对边是 _______. ▍考点集训/夯实基础 9.1 三角形的边 -2- 3. 如图所示，图中共有 _________ 个三角形. （第 3 题图） 4. 如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以 BC 为公共边的“共边三角形”有 （ ） A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D. 6 对 （第 4 题图） 9.1 三角形的边 -3- ■考点 2 三角形的三边关系 5.（教材 P102，T2 高仿）下列长度的三条线段不能组成三角形的是 （ ） A． 5，5，10 B． 4，5，6 C． 4，4，4 D． 3，4，5 6. 一个三角形的三边长分别为 4，7，x，那么 x 的取值范围是 （ ） A. 3＜x＜11 B. 4＜x＜7 C. 0＜x＜3 D. x＞3 7.（教材 P102，T3 高仿）已知 AB=1.5，AC=4.5，若 BC 的长为整数，则 BC 的长为 （ ） A． 3 B． 6 C． 3 或 6 D． 3 或 4 或 5 或 6 9.1 三角形的边 -4- 8. 如图，为估计池塘岸边 A，B 两点之间的距离，小方在池塘的一侧选取一点 O，测得 OA=8 m，OB=6 m，则 A，B 间的距离不可能是 （ ） A. 12 m B. 10 m C. 15 m D. 8 m （第 8 题图） 9.1 三角形的边 -5- ■考点 3 三角形按边分类 9. 下列说法：①三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③等腰三角形是特殊的等边三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形. 其中说法正确的有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 10. 等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为 （ ） A. 12 B. 15 C. 12 或 15 D. 18 11. 已知△ABC 的三边长a，b，c 均为整数，且 a 和 b 满足 a-4 +（b-1）2=0，求△ABC 的形状． -1- 第九章 三 角 形 9.1 三角形的边 1. △ABD，△ADE，△ADC 点 A，E，C 线段 AE，AC，EC ∠EAC，∠AEC，∠C 2. 8 △ABO，△ABC，△ABD △BOC，△ABC ∠OBC OB 3. 3 提示：图中的三角形有△ABC，△ABD， △ADC，共 3 个. 4. B 提示：以 BC 边为公共边的“共边三角 形”有△ABC 和△BDC，△ABC 和△EBC， △BDC 和△EBC，共 3 对. 5. A 提示：A.5+5=10，即两边之和等于第三 边，所以不能组成三角形. 6. A 提示：7-4＜x＜7+4，即 3＜x＜11. 7. D 提示：①A，B，C 三点在同一条直线上，点 B 在线段 AC 上，BC=AC-AB=3；点 B 在 CA 的延长线上，BC=AB+AC=6；②A， B，C 三点不在同一条直线上，根据三角形的三边关系可得：4.5-1.5＜BC＜4.5+1.5， 即 3＜BC＜6.∵BC 的长为整数，∴BC=4 或 5．综上，BC 的长为 3 或 4 或 5 或 6. -2- 第九章 三 角 形 8. C 提示：连接 AB，在△OAB 中，根据三角形的三边关系得 8-6＜AB＜8+6，即 2＜AB＜14， ∴AB 的值在 2 m 和 14 m 之间，不可能是 15 m． 9. B 提示：①三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等边三角形属于等腰三角形，故①错；②对；③错； ④对. 10. B 提示：①当 3 为底边长时，其他两边长都为 6，则 3，6，6 可以构成三角形，周长为 15；②当 3 为腰长时，其他两边长为 3 和 6，∵3+3=6，∴ 不能构成三角形，故舍去. 11. 解：∵ +（b-1）2=0，∴a=4，b=1. 又 ∵a，b，c 均为三角形的三边，∴3＜c＜5． ∵c 为整数，∴c=4． ∵△ABC 有两条边的边长都是 4， ∴△ABC 是等腰三角形. $$