9.2 三角形的内角和外角 课件-2023-2024学年冀教版数学七年级下册

[考点解读] 第一课时 三角形的内角和 -1- ■考点 三角形内角和定理 1. 三角形内角和定理 9.2 三角形的内角和外角 内容 三角形的内角和等于 180° 数学语言描述 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180° 应用 （1）在三角形中，已知两个角的大小，可求出第三个角； （2）已知三角形中各角之间的关系，可求出各角度数 注意 三角形内角和定理成立的前提是在同一个三角形中 -2- 9.2 三角形的内角和外角 2.（1）一个三角形中最多有一个直角或一个钝角； （2）在三角形中求内角度数时，常利用三角形内角和定理建立方程求解. -3- 9.2 三角形的内角和外角 典题精析 例 已知：在△ABC 中，∠A+∠B=2∠C，∠A-∠B=20°，求三角形三个内角的度数． -4- 解析：设∠B=x°，根据∠A，∠B，∠C 之间的关系表示出∠A，∠C，再根据三角形内角和定理，得到 ∠B 的度数，进而求得∠A，∠C 的度数． 答案：解：设∠B=x°.∵∠A-∠B=20°， ∴∠A=∠B+20°=x°+20°. ∵∠A+∠B=2∠C， ∴x°+20°+x°=2∠C， ∴∠C=x°+10°. ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴x°+20°+x°+x°+10°=180°， 解得 x°=50°，∴∠B=50°， 则∠A=x°+20°=70°，∠C=x°+10°=60°． 易错：∠A=55°，∠B=35°，∠C=90°． 错因：误把∠C 表示为 2x°+20°. 9.2 三角形的内角和外角 -5- 满分备考：求三角形的度数问题有两类：（1）已知两个角的度数，求三角形第三个角的度数，可以直接应用三角形内角和等于 180°求解；（2）已知内角间的关系，求各内角的度数，可以根据三角形内角和等于 180°，通过列方程求解. 9.2 三角形的内角和外角 -6- 9.2 三角形的内角和外角 ■题型 三角形内角和与角平分线、平行线性质的应用 例 如图，在△ABC 中，∠B=46°，∠C=54°， AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，DE∥AB，交 AC 于点 E， 则∠ADE 的大小是 _______. 解析：∵∠B=46°,∠C=54°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°. ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD= ∠BAC= ×80°=40°. ∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°. 答案：40° 题型解法：对三角形内角和定理的考查往往不会独立进行，它经常和平行线､角平分线等相结合使用，所以在解答过程中要注意上述知识的灵活使用. [题型探究] 概念 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，如图，∠ACD，∠BAE，∠CBF 为△ABC 的外角 特征 （1）顶点在三角形的一个顶点上； （2）一条边是三角形的一边； （3）另一条边是三角形某条边的延长线 -7- 9.2 三角形的内角和外角 [考点解读] 第二课时 三角形的外角 ■考点一 三角形的外角 -8- 9.2 三角形的内角和外角 续表 性质 （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 三角形的外角个数 三角形的每个顶点处有 2 个外角且这两个外角相等，一个三角形有 6 个外角 -9- 9.2 三角形的内角和外角 典题精析 例 1 如图，在△ABC 中，∠C=40°，∠A=∠ABC， 则△ABC 的外角∠ABD=________． 解析：∵∠A=∠ABC，∠C=40°， ∴∠A= ×（180°-∠C）= ×（180°-40°）=70°， ∴∠ABD=∠A+∠C=70°+40°=110°． 答案：110° 易错：140° 错因：误以为∠ABD=∠A+∠ABC=70°+70°=140°. 满分备考：三角形外角性质的应用往往会结合三角形的内角和定理，所以学习和使用该知识点时务必对照三角形的内角和定理，找到二者之间的必然联系是解题关键. -10- 9.2 三角形的内角和外角 例 2 如图，在△ABC 中，∠BAC=30°，∠C=70°， AF 平分∠BAC，BF 平分∠CBE，AF 交 BC 于 D，求 ∠BDA 的度数和∠F 的度数． -11- 9.2 三角形的内角和外角 解析：运用角平分线的定义，得∠CAD= ∠CAB= 15°，再由三角形外角的性质，得∠BDA 的度数；再求出∠EBF 的度数，利用△ABF 的外角∠EBF 可 求得∠F 的度数． 答案：解：∵AF 平分∠BAC，∠BAC=30°， ∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC=15°， ∴∠BDA=∠C+∠CAD=70°+15°=85°． ∵∠CBE=∠C+∠BAC=70°+30°=100°， 又 ∵BF 平分∠CBE， ∴∠EBF= ∠CBE=50°， ∴∠F=∠EBF-∠BAD=50°-15°=35°． 易错：∠F=30°． 错因：外角关系找错，误认为∠F=∠ABC-∠CBF． -12- 9.2 三角形的内角和外角 满分备考：在利用三角形的外角性质时，一定要找准角是哪个三角形的外角，不能直接求得的，可以通过中间量求解. -13- 9.2 三角形的内角和外角 ■考点二 三角形按角分类 锐角三角形 三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形 直角三角形 有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形 钝角三角形 有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形 特别说明 在直角三角形中，夹直角的两条边叫做直角边，直角的对边叫做斜边，两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形 -14- 9.2 三角形的内角和外角 典题精析 例 3 已知三角形的三个内角的度数之比为 3∶4∶5，则这个三角形是 （ ） A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 不能确定 解析：∵ 三角形的三个内角的度数之比为 3∶4∶5， ∴ 设这三个内角度数分别为 3x°，4x°，5x°，根据三角形的内角和定理，得 3x+4x+5x=180，解得 x=15，则 5x°=75°，∴ 这个三角形是锐角三角形. 答案：A 易错：B 或 C 错因：没有通过三个内角的度数之比求出三个内角的度数，直接凭感觉选了一个答案. 满分备考：判断一个三角形是什么三角形，可以通过三个内角的关系，利用三角形内角和定理，求出三角形三个内角的度数，再看最大角是锐角、直角，还是钝角，从而使问题得到解决． -15- 9.2 三角形的内角和外角 [题型探究] ■题型一 三角形内角和外角关系的综合应用 例 1 （株洲中考）如图，在△ABC 中，∠BAC=x， ∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD= （ ） A. 145° B. 150° C. 155° D. 160° 解析：∵∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，∴ x+2x+3x= 180°，解得 x=30°，∴∠BAD=∠B+∠C=2x+3x=5x=5× 30°=150°. 答案：B 题型解法：运用内角和外角的关系解题时，始终要牢记外角等于与它不相邻的两个内角之和，找准不相邻的两个内角，并计算正确，就能保证得出正确选项. -16- 9.2 三角形的内角和外角 ■题型二 三角形外角性质的实际应用 例 2 一个零件的形状如图所示，按规定∠A=90°， ∠B 和∠C 分别是 32°和 21°的零件为合格零件，现质检工人量得∠BDC=149°，就判断这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由. -17- 9.2 三角形的内角和外角 解析：延长 BD 交 AC 于点 E，根据三角形外角的性质即可得解. 答案：解：如答案图，延长 BD 交 AC 于点 E. ∵∠A=90°，∠B=32°，∴∠DEC=∠A+∠B=122°. ∵∠C=21°，∠BDC=∠C+∠DEC=21°+122°=143°， 又 ∵ 质检工人量得∠BDC=149°， ∴ 这个零件不合格. 题型解法：本题考查的是三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形外角的性质求解是解题的关键. 9.2 三角形的内角和外角 -1- ■考点 三角形的内角和定理 1. 下列各组角中，哪一组是同一个三角形的内角？ （ ） A. 85°，86°，9° B. 62°，71°，67° C. 30°，40°，50° D. 25°，160°，15° 2. 如图，在△ABC 中，∠A=80°，∠B=40°，D、E 分别是 AB，AC 上的点，且 DE∥BC，则∠AED 的度数是（ ） A． 40° B． 60° C． 80° D． 120° （第 2 题图） ▍考点集训/夯实基础 第一课时 三角形的内角和 9.2 三角形的内角和外角 -2- 3.（教材 P104，例 1 高仿）在△ABC 中，∠A=55°，∠B 比 ∠C 大 25°，则∠B 的度数为 （ ） A． 125° B． 100° C． 75° D． 50° 4.（教材 P104，练习 T1 高仿）在△ABC 中，∠A=80°，∠B= 60°，则∠C=_________. 5. 如图，已知 AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C= _____°. （第 5 题图） 9.2 三角形的内角和外角 -3- 6. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 45°方向，在 B 岛的北偏西 25°方向，求从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB的度数． （第 6 题图） 7.（教材 P105，BT1 改编）如图，已知△ADC 中，∠A=30°，∠ADC=110°，BE⊥AC，垂足为 E，求∠B 的度数． （第 7 题图） 9.2 三角形的内角和外角 -4- ■考点 1 三角形的外角及其性质 1. 如图，下列关系正确的是 （ ） A． ∠2＜∠1 B． ∠2＞∠1 C． ∠2≥∠1 D． ∠2=∠1 （第 1 题图） （第 2 题图） 2.（教材 P106，例 2 高仿）如图所示，在△ABC 中，∠A= 30°，∠B=50°，延长 BC 到 D，则∠ACD=_____°． ▍考点集训/夯实基础 第二课时 三角形的外角 9.2 三角形的内角和外角 -5- 3. 如图，∠B 为锐角，下列说法错误的是 （ ） A. ∠B ＞∠ACD B. ∠B+∠ACB=180°－∠A C. ∠B+∠ACB<180° D. ∠HEC ＞∠B （第 3 题图） 4.（教材 P108，习题 T3 改编）如图，AD⊥BC，∠BAC=90°， E 是 AC 上一点，BE 交 AD 于点 F，且∠1=∠2．求证∠3=∠4． （第 4 题图） 9.2 三角形的内角和外角 -6- ■考点 2 三角形按角分类 5.（教材 P107，练习 T2 高仿）如果三角形的一个外角是锐角，那么这个三角形是 （ ） A． 锐角三角形 B． 钝角三角形 C． 直角三角形 D． 锐角三角形或钝角三角形 6. 在△ABC 中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则该三角形的形状是 （ ） A． 锐角三角形 B． 钝角三角形 C． 直角三角形 D． 不能确定 9.2 三角形的内角和外角 -7- 7. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是 （ ） 8. 在一个三角形中，若∠A=∠B=40°，则△ABC 是 ______ 三角形（按角分类）. -3- 第九章 三 角 形 9.2 三角形的内角和外角 第一课时 三角形的内角和 1. A 提示：85°+86°+9°=180°. 2. B 提示：∵DE∥BC，∠B=40°，∴∠ADE=∠B =40°.又 ∵∠A=80°，∴ 在△ADE 中， ∠AED=180°-∠A-∠ADE=180°-80°-40°=60°，故选 B． 3. C 提示：设∠B 的度数为 x，则∠C 的度数为 x-25°，由三角形内角和定理得，x+x-25°+ 55°=180°，解得 x=75°，则∠B 的度数为 75°. 4. 40° 提示：∠C=180°-∠A-∠B=40°. 5. 20 提示：∵AE∥BD，∴∠AEC=∠2=30°， ∴ 在△AEC 中，∠C=180°-∠1 -∠AEC=20°. -4- 第九章 三 角 形 6. 解：由题意可知，∠BAD+∠ABE=180°， ∠CAD=45°，∠CBE=25°，∴∠BAC+∠ABC= （∠BAD - ∠CAD） +（∠ABE - ∠CBE） = （∠BAD+∠ABE）-∠CAD-∠CBE=180°- 45°-25°=110°.在△ABC 中，∠ACB=180°- （∠BAC+∠ABC）=180°-110°=70°. 7. 解：∵△ADC 中，∠A=30°，∠ADC=110°， ∴∠C=180°-∠A-∠ADC=40°.∵BE⊥AC， ∴∠BEC=90°，∴∠B=180°-90°-40°=50°． -5- 第九章 三 角 形 第二课时 三角形的外角 1. B 提示：∵∠2 是三角形的一个外角，而∠1 是此三角形中与∠2 不相邻的一个内角， ∴∠2＞∠1． 2. 80 提示：∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACD= ∠A+∠B=30°+50°=80°． 3. A 提示：∠ACD 是△ABC 的外角，因此 ∠ACD＝∠Ｂ+∠Ａ，∴∠Ｂ＜∠ＡＣＤ. 4. 证明：∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=∠BAC= 90°.∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°. ∴∠DAC+∠C=90°，∴∠BAD=∠C. ∵∠1 是△ABF 的一个外角， ∴∠1=∠3+∠BAD.同理∠2=∠4+∠C. ∵∠1=∠2，∠BAD=∠C，∴∠3=∠4． -6- 第九章 三 角 形 5. B 提示：若三角形的一个外角是锐角，则与这个外角相邻的内角是钝角，故这个三角形是钝角三角形． 6. C 提示：设∠A，∠B，∠C 的度数分别为 k， 2k，3k，则 k+2k+3k=180°，∴k=30°，∴∠C= 3k=90°，∴ 该三角形的形状是直角三角形. 7. C 提示：A.已知两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B.露出的角是钝角，因此是钝角三角形； C.露出的角是锐角，其他两角都不确定， 因此不能判断出三角形类型； D.露出的角是直角，因此是直角三角形. 8. 钝角 提示：∵ 在△ABC 中，∠A=∠B= 40°，∴∠C=180°-∠A-∠B = 100°， ∴△ABC 是钝角三角形. $$