8.2 幂的乘方与积的乘方 课件-2023-2024学年冀教版数学七年级下册

意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘 法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘 （am）n=amn（m，n 是正整数） 推导 （m，n 是正整数） 注意 幂的乘方的底数指的是幂的底数 幂的底数 a 可以是一个数、一个字母，也可以是 一个单项式或多项式 性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别 [考点解读] 第一课时 幂的乘方 -1- ■考点一 幂的乘方 1. 幂的乘方的相关概念 8.2 幂的乘方与积的乘方 -2- 8.2 幂的乘方与积的乘方 2. 幂的乘方与同底数幂的乘法的区别 幂的乘方 同底数幂的乘法 条件 幂的乘方 同底数的幂相乘 结论 底数不变，指数相乘 底数不变，指数相加 公式 （am）n=amn（m，n 是正整数） am·an=am+n（m，n 是正整数） 运算的变化 由幂的乘方降为指数相乘 由幂相乘降为指数相加 -3- 8.2 幂的乘方与积的乘方 典题精析 例 1 计算： （1）（82）5； （2）（m3）7； （3）（bn）6； （4）（y2）3+（y3）2-y·y5； （5）-a6·a5·a+5（a3）4-3（a3）3·a2·a． -4- 解析：（1）（2）（3）直接利用幂的乘方法则计算即可；（4）（5）要注意运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算加减. 答案：解：（1）（82）5=82×5=810. （2）（m3）7=m3×7=m21. （3）（bn）6=bn×6=b6n. （4）（y2）3+（y3）2-y·y5=y2×3+y3×2-y1+5=y6+y6-y6=y6. （5）-a6·a5·a+5（a3）4-3（a3）3·a2·a=-a6+5+1+5a3×4-3a3×3· a2·a=-a12+5a12-3a9+2+1=-a12+5a12-3a12=a12． 易错：（5）-a6·a5·a+5（a3）4-3（a3）3·a2·a=a12+5a12-3a12=3a12． 错因：（5）计算过程中符号弄错. 满分备考：熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方的法则，注意二者的区别，不要混淆；在两者的混合运算中，严格按照运算顺序，一步一步计算，初学 者不要越步. 8.2 幂的乘方与积的乘方 -5- 8.2 幂的乘方与积的乘方 ■考点二 幂的乘方的推广及逆用 推广 ［（am）n］p=am×n×p（m，n，p 是正整数） 逆用 amn=（am）n=（an）m（m，n 是正整数） -6- 8.2 幂的乘方与积的乘方 典题精析 例 2 已知 xm=2，xn=3，求 x2m+3n 的值． 解析：逆用幂的乘方以及同底数幂的乘法公式解决，x2m+3n=x2m·x3n= （xm）2 ·（xn）3，再代入求值． 答案：解：x2m+3n=x2m·x3n=（xm）2·（xn）3=22×33=4×27=108． 易错：解：x2m+3n=（xm）2·（xn）2=22×32=4×9=36． 错因：逆用时出现错误. 满分备考：本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． -7- 8.2 幂的乘方与积的乘方 ■混淆幂的乘方与同底数幂的乘法 例 计算 a3·（a2）3 的值为 ________. 解析：a3·（a2）3=a3·a6=a9. 答案：a9 易错：a18 错因：a3·（a2）3=a3·a6=a3×6=a18. 易错警示：在有关幂的乘方和同底数幂的乘法的运算中，应牢记幂的乘方的运算可转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法运算可转化为指数的加法运算（底数不变）. [易错分析] -8- 8.2 幂的乘方与积的乘方 ■题型 幂的乘方法则的逆用 例 已知 n 为正整数，x3n=3，求 x6n-x9n 的值. 解析：此题已知 n 为正整数且 x3n=3，只需先逆用幂的乘方法则把 x6n-x9n 用 x3n 表示出来，再把 x3n=3 整体代入求值即可. 答案 ：解 ： x6n- x9n=（x3n）2-（x3n）3= 32- 33= 9 - 27=-18. 题型解法：遇到这类问题时，一般先观察式子的特点，再考虑正用或逆用法则，对式子进行变形，最后用整体思想代入求值即可. [题型探究] 意义 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方 法则 积的乘方，等于各因式乘方的积 公式 （ab）n=anbn（n 是正整数） 推导 =anbn（n 是正整数） 注意 应用积的乘方，要注意观察底数有几个因式，在进行各因式乘方时，不能漏项，特别不能出现符号错误 -9- 8.2 幂的乘方与积的乘方 [考点解读] 第二课时 积的乘方 ■考点 积的乘方 1. 积的乘方的概念法则 同底数幂的乘法 积的乘方 呈现形式 底数相同，指数不同 底数不同，指数相同 最终运算 指数相加 幂相乘 -10- 8.2 幂的乘方与积的乘方 2. 同底数幂的乘法与积的乘方的区别 3. 积的乘方的推广及逆用 推广 （abc）n=anbncn（n 为正整数） 逆用 anbn=（ab）n（n 为正整数） -11- 8.2 幂的乘方与积的乘方 典题精析 例 1 计算： -12- 8.2 幂的乘方与积的乘方 解析：（1）（2）（3）（4）直接应用积的乘方法则进行计算，要注意系数及系数符号；（5）（6）为混合运算，注意运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算加减即可． 答案：解：（1）（2ab2c3）4=24·a4·（b2）4·（c3）4=16a4b8c12. （4）（-4x2y）3=（-4）3·（x2）3·y3=-64x6y3. （5）（x2y3）4+（-2x4y）2·y10=（x2）4·（y3）4+（-2）2·（x4）2· y2·y10=x8y12+4x8y12=5x8y12. （6）（-2x4）4+（-2x2）3·x10-2x4·（x4）3=（-2）4·（x4）4+（-2）3 ·（x2）3·x10-2x4·x12=16x16+（-8x6）·x10-2x16=16x16- 8x16-2x16=6x16. -13- 8.2 幂的乘方与积的乘方 易错：（1）（2ab2c3）4=2a4·（b2）4·（c3）4=2a4b8c12. （4）（-4x2y）3=43（x2）3·y3=64x6y3. 错因：（1）系数 2 没有乘方；（4）把系数的负号漏掉了. 满分备考：应用积的乘方法则时要注意：①积中的每个因式都应乘方，不能遗漏；②注意系数及系数的符号，对于系数为-1 的不可忽视. -14- 8.2 幂的乘方与积的乘方 例 2 太阳可以近似地看成一个球体，如果用 V，R 分别代表球的体积和半径，那么 ，太阳的半径约为 6×105 千米，它的体积大约是多少立方千米？（π 取 3） 解析：将 R=6×105 代入 ，即可求得答案． 答案：解：∵R=6×105 千米， ∴ 8.64×1017（立方千米）． 答：它的体积大约是 8.64×1017 立方千米． 易错：解： ×3×6×（105）3=2.4×1016（立方千米）． 错因：代入 R 的值时，没有整体立方. 满分备考：用积的乘方解决应用问题时，审清题意，列出正确的式子，然后根据积的乘方法则进行计算. -15- 8.2 幂的乘方与积的乘方 ■忘记计算系数的乘方 例 （大连中考）计算（-2a3）2 的结果是 （ ） A． -4a5 B． 4a5 C． -4a6 D． 4a6 解析：根据幂的乘方和积的乘方法则进行计算． 原式=（-2）2·（a3）2 =4a2×3=4a6. 答案：D 易错：C 错因：计算系数的乘方时，忽略了指数是偶数. 易错警示：在计算积的乘方时，要注意系数也要乘方，当系数有负号时，要注意指数的奇偶性，指数是奇数，则结果是负，指数是偶数，则结果是正. [易错分析] -16- 8.2 幂的乘方与积的乘方 [题型探究] ■题型一 积的乘方的计算 例 1 计算：（-6x3y）2=______. 解析：直接利用积的乘方运算法则进行计算.（-6x3y）2=（-6）2·（x3）2y2=36x6y2． 答案：36x6y2 题型解法：在运用积的乘方法则进行运算时，要分清积中有多少个因式，每一个因式需分别乘方. -17- 8.2 幂的乘方与积的乘方 ■题型二 幂的运算的综合计算 例 2 计算：-（-x3）3·（-2x2）2-x4·（-x3）3. 解析：直接利用积的乘方、幂的乘方的运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案. 答案：解：原式=（x3）3·（-2）2·（x2）2+x4·（x3）3 =x9·4x4+x4·x9=4x13+x13=5x13． 题型解法：计算幂的运算的综合题目时，要注意运算顺序，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数幂的乘法. -18- 8.2 幂的乘方与积的乘方 ■题型三 运用幂的运算性质化简求值 例 3 已知 xn=5，yn=3，求（-xy）2n 的值． 解析：根据积的乘方，先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.幂的乘方，底数不变，指数相乘，将所求算式转化成已知条件的形式，然后代入数据计算即可得解． 答案：解：（-xy）2n=x2n·y2n=（xn）2·（yn）2，∵xn=5，yn= 3，∴ 原式=（xn）2·（yn）2=52·32=25×9=225． 题型解法：可根据幂的运算的性质将式子转化为符合已知条件的形式 求解. -19- 8.2 幂的乘方与积的乘方 ■题型四 乘方运算的实际应用 例 4 圆柱的体积（容积）计算公式是 V=πr2h，已知一个游泳池可以近似看成一个圆柱，它的半径 r 约为 1.2×102 mm，高 h 约为 3×102 mm.游泳池的容积大约是多少？（π 取 3.14） 解析：根据圆柱的体积（容积）计算公式 V=πr2h， 将 π，r，h 分别代入计算即可得解. 答案：解：由题意，得 V=πr2h=3.14×（1.2×102）2× 3×102≈1.36×107（mm3）. 答：游泳池的容积大约是 1.36×107（mm3）. 题型解法：将实际问题先转化为数学问题，列出算式后再根据相关公式化简运算，同时要注意容积的单位. -20- 8.2 幂的乘方与积的乘方 ■利用幂的运算进行简单计算 当作积运算的两个幂的底数互为倒数时，通常逆用积的乘方运算法则进行转化，使得它们的指数相同，这样，就会使运算过程变得简便. [方法总结] -21- 8.2 幂的乘方与积的乘方 例 计算：（1）-82 018×（-0.125）2 018； （2） . 解析：（1）直接逆用积的乘方运算法则计算得出答案； （2）先将 1.5 变为 ，再逆用积的乘方公式即可解决问题. 答案：解：（1）原式=-（8×0.125）2 018=-1. 8.2 幂的乘方与积的乘方 -1- ■考点 幂的乘方 1. 计算（a2）3 的结果是 （ ） A. a5 B. a6 C. a8 D. 3a2 2. 下列各式计算正确的是 （ ） A.（a2）2=a4 B. a+a=a2 C. 3a2+a2=2a2 D. a4·a2=a8 3. 在下列各式中，应填入 a4 的是 （ ） A. a12=（ ）2 B. a12=（ ）3 C. a12=（ ）4 D. a12=（ ）6 ▍考点集训/夯实基础 第一课时 幂的乘方 8.2 幂的乘方与积的乘方 -2- 4. 计算（a3）2·a3 的结果是 （ ） A. a8 B. a9 C. a10 D. a11 5. 下列计算结果是 a8 的是 （ ） A． a2·a4 B． a2+a6 C． a9-a D．（a2）4 6. 计算：a·（a2）3=____________. 7. 若 an=3，则 a3n=________；若 b3n=2，则 b9n=________. 8.2 幂的乘方与积的乘方 -3- 8.（教材 P72，练习 T2 变式）计算： （1）（33）3； （2）（78）n； （3）（am）4； （4）﹣（a5）3； （5）xn·（xn）5； （6）-（x2）3·（x2）2-x·（x3）3． ９. 若 2·8n·16n=222，求 n 的值． 8.2 幂的乘方与积的乘方 -4- ■考点 积的乘方 1. 计算（2a）3 的结果是 （ ） A. 6a B. 8a C. 2a3 D. 8a3 2. 计算（-x2y）3 的结果是 （ ） A． -x5y3 B． -x6y C． x6y3 D． -x6y3 3. 下列运算正确的是 （ ） A. a2·a3=a6 B.（a4）3=a12 C.（-2a）3=-6a3 D. a4+a5=a9 4. 下列计算正确的是 （ ） A. a2+a2=a4 B. 2a-a=2 C.（ab）2=a2b2 D.（a2）3=a5 ▍考点集训/夯实基础 第二课时 积的乘方 8.2 幂的乘方与积的乘方 -5- 5. 计算：（a2b）3=_______；（-2x2）3=________；（-2ab3）2= ________. 6.（教材 P75，AT2 变式）计算： （1）（3ab7）2； （2）（-4m5n）2； （3）（-4）2 018×0.252 018+（-0.125）2 018×82 017； （4）a3·a4·a+（a2）4+（-2a4）2 7. 已知 xm=5，ym=3，求（xy）2m 的值． 8.2 幂的乘方与积的乘方 -6- 8. 已知 n 为正整数，且 x2n=3，求（3x3n）2 的值. 9. 球的体积公式为 V= πr3（其中 V、r 分别表示球的体积和半径），木星可以近似地看成是球体，木星的半径大约为 7.15×104 km，木星的体积大约是多少？（π 取 3.14） -3- 第八章 整式的乘法 8.2 幂的乘方与积的乘方 第一课时 幂的乘方 1. B 提示：（a2）3=a2×3=a6． 2. A 提示：A.（a2）2=a2×2=a4，原式计算正确； B.a+a=2a，原式计算错误；C.3a2+a2=4a2，原式计算错误；D.a4·a2=a4+2=a6，原式计算错误． 3. B 提示：a12=（a6）2=（a4）3=（a3）4=（a2）6. 4. B 提示：（a3）2·a3=a3×2·a3=a6·a3=a6+3=a9． 5. D 提示：A.a2·a4=a2+4=a6，故不符合题意； B.a2 与 a6 不是同类项，不能合并，故不符合题意；C.a9 与-a 不是同类项，不能合并，故不符合题意；D.（a2）4=a2×4=a8，故符合题意． 6. a7 提示：a·（a2）3=a·a6=a7． 7. 27 8 提示：a3n=（an）3=33=27，b9n=（b3n）3=23=8. -4- 第八章 整式的乘法 8. 解：（1）原式=33×3=39； （2）原式=78n； （3）原式=a4m； （4）原式=-a5×3=-a15； （5）原式=xn·x5n=x6n； （6）原式=-x6·x4-x·x9=-x10-x10=-2x10． 9. 解：∵2·8n·16n=2·（23）n·（24）n=2·23n·24n= 21+3n+4n=222， ∴1+3n+4n=22，解得 n=3. -5- 第八章 整式的乘法 第二课时 积的乘方 1. D 提示：（2a）3=23·a3=8a3. 2. D 提示：原式=（-1）3·（x2）3·y3=-x6y3. 3. B 提示：A.a2·a3=a2+3=a5≠a6，故本选项错误；B.（a4）3=a4×3=a12，故本选项正确； C.（-2a）3=（-2）3a3=-8a3，故本选项错误；D.a4 与 a5 不是同类项，不能合并，故本选项错误． 4. C 提示：a2+a2=2a2，2a -a =a，（ab）2=a2b2， （a2）3=a2×3=a6，只有 C 正确. 5. a6b3 -8x6 4a2b6 提示：（a2b）3=a2×3b3=a6b3； （-2x2）3=（-2）3x2×3=-8x6； （-2ab3）2=（-2）2a2（b3）2=4a2b6． -6- 第八章 整式的乘法 6. 解：（1）原式=32·a2·（b7）2=9a2b14； （2）原式=（-4）2·（m5）2·n2=16m10n2； （3）原式＝ ； （4）原式=a3+4+1+a2×4+4a8=a8+a8+4a8=6a8． 7. 解：（xy）2m=（xm·ym）2=（5×3）2=225． 8. 解：∵x2n=3，∴（3x3n）2=9x6n=9（x2n）3=9×33= 9×27=243． 9. 解： （7.15）3×（104）3 ≈ 1.53 ×1015（km3）. 答：木星的体积大约为 1.53×1015 km3. $$