8.4 整式的乘法 课件-2023-2024学年冀教版数学七年级下册

[考点解读] 第一课时 单项式与单项式相乘 -1- ■考点 单项式与单项式相乘 8.4 整式的乘法 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式 实质 把单项式乘法转化为有理数乘法和同底数幂的乘法 步骤 系数 积的系数是各项系数的积，是有理数乘法的计算，先确定符号，再计算其绝对值 相同字母 同底数幂的乘法，底数不变，指数相加 单独字母 连同它的指数写进积里 -2- 续表 8.4 整式的乘法 注意 单项式乘单项式，结果仍是单项式 对于三个或三个以上的单项式相乘，法则同样适用 单项式乘法中，如果有乘方、乘法混合运算，按先乘方、再乘法的顺序计算 -3- 8.4 整式的乘法 典题精析 例 化简（-3x2）·2x3 的结果是 （ ） A． -3x5 B． 18x5 C． -6x5 D． -18x5 解析：（-3x2）·2x3=［（-3）×2］（x2·x3）=-6x5． 答案：C 易错：B 错因：把（-3x2）错当成（-3x）2 进行计算. 满分备考：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算； ③不要丢掉只在一个单项式里出现的字母因式； ④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． -4- 8.4 整式的乘法 ■计算时漏掉负号 例 计算：（-5x2y3）2·（-2x4y2）3· ． 解析：先计算乘方运算，再利用单项式乘单项式的法则计算即可得到结果. 答案： 解：原式 = 25x4y6·（- 8x12y6）· x4y8= ． 易错：解：原式= ． 错因：漏掉负号. 易错警示：单项式相乘时，容易漏掉只在一个单项式中出现的字母或是单项式的负号. [易错分析] -5- 8.4 整式的乘法 ■题型 单项式乘单项式的运算 例 计算： . 解析：先算积的乘方，再根据单项式乘单项式的法则解答即可. 答案：解： 题型解法：（1）运算时一要注意运算顺序，二要正确使用运算法则，三要注意符号； （2）单项式与单项式相乘，系数是带分数时一定要先化成假分数. [题型探究] -6- 8.4 整式的乘法 [考点解读] 第二课时 单项式与多项式相乘 ■考点 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加 公式 m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式） 步骤 乘 应用乘法分配律，转化为单项式乘单项式 加 将单项式与单项式相乘的结果相加 注意 单项式乘多项式，结果是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同 单项式与多项式相乘的实质是利用乘法对加法的分配律将其转化为单项式乘单项式的形式，在乘的时候要注意不要漏乘 -7- 8.4 整式的乘法 典题精析 例 1 计算：（-2ab）（3a2-2ab-4b2）. 解析：根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可. 答案：解：（-2ab）（3a2-2ab-4b2）=（-2ab）·（3a2）- （-2ab）· （2ab）-（-2ab）·（4b2）=-6a3b+4a2b2+8ab3． 易错：解：（-2ab）（3a2-2ab-4b2）=2ab·（3a2）- 2ab·（2ab）-2ab· （4b2）=6a3b-4a2b2-8ab3． 错因：没有注意单项式里的负号，从而使得到的结果符号出错. 满分备考：本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理. -8- 8.4 整式的乘法 例 2 先化简，再求值： -5a（a2b- ab2），其中 a=-1，b=2． 解析：先根据单项式与多项式相乘的法则算乘法，再合并同类项，最后把 a，b 的值代入化简后的结果即可． 答案：解：原式=-a3b-2a2b2-5a3b+5a2b2=-6a3b+ 3a2b2． 当 a=-1，b=2 时，原式=-6×（-1）3×2+3×（-1）2×22= 12+12=24. 易错：解：原式=-a3b+2a2b2-5a3b-5a2b2=-6a3b-3a2b2． 当 a=-1，b=2 时， 原式=-6×（-1）3×2-3×（-1）2×22=12-12=0. 错因：化简过程中符号出错. 满分备考：单项式与多项式相乘时，要注意符号，多项式中的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. -9- 8.4 整式的乘法 ■漏乘不含字母的一项 例 计算：（-2xy）（3x2y-2x+1）. 解析：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 答案：解：原式=（-2xy）·3x2y-（-2xy）·2x+（-2xy）×1=-6x3y2+ 4x2y-2xy. 易错：解：原式=-6x3y2+4x2y-1. 错因：（-2xy）没有乘多项式的常数项. 易错警示：单项式与多项式相乘时，容易漏乘多项式内不含字母的项，或是单项式有负号，乘多项式时，没有改变符号. [易错分析] -10- 8.4 整式的乘法 [题型探究] ■题型一 单项式乘多项式的运算 例 1 计算：（1）（-3x）（7x2+4x-2）； （2）6x（-x2-xy+y2）（-xy）； （3）（2x）3-6x（x2+2x-1）. 解析：（1）（2）直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案；（3）直接去括号，进而合并同类项得出答案． 答案：解：（1）原式=-21x3-12x2+6x. （2）原式=-6x2y（-x2-xy+y2）=6x4y+6x3y2-6x2y3. （3）原式=8x3-（6x3+12x2-6x）=8x3-6x3-12x2+6x= 2x3-12x2+6x． 题型解法：单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． -11- 8.4 整式的乘法 ■题型二 单项式乘多项式的应用 例 2 如图所示： （1）该图形的周长是多少？ （2）该图形的面积是多少？ （3）当 x=2，y=2.5 时，计算该图形的面积． -12- 8.4 整式的乘法 解析：（1）将该图形所有的边长加起来即可得到该图形的周长； （2）将该图形分割成两个长方形即可得解； （3）将 x=2，y=2.5 代入（2）即可得解. 答案：解：（1）该图形的周长为 2y+2×3y+2×（x+y+x） =2y+6y+2×（2x+y） =8y+4x+2y =4x+10y. （2）该图形的面积为 y（x+y+x）+3y·y =y（2x+y）+3y2 =2xy+y2+3y2 =2xy+4y2. （3）当 x=2，y=2.5 时， 该图形的面积为 2×2×2.5+4×2.52=35． -13- 8.4 整式的乘法 题型解法：有关图形的面积问题，可依据图形特点，将所求面积转化为若干易求图形的面积的和或差. -14- 8.4 整式的乘法 [考点解读] 第三课时 多项式与多项式相乘 ■考点 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 公式 （a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq 实质 将“多×多”变为“单×单” 注意 未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数之积 在运算时，两项相乘要连同它们之前的符号一起相乘来确定积的符号 最后结果能合并的一定要合并 -15- 8.4 整式的乘法 典题精析 例 计算： （1）（3x-2）（x-1）； （2）（3x+4y）（4x-2y）； （3）（a2+3）（a-2）-a（a2-2a-2）. 解析：利用多项式乘多项式的法则计算即可. 答案：解：（1）原式=3x2-3x-2x+2=3x2-5x+2. （2）原式=12x2-6xy+16xy-8y2=12x2+10xy-8y2. （3）原式=a3-2a2+3a-6-a3+2a2+2a=5a-6. 易错：（2）原式=12x2-6xy+16xy-8y2. （3）原式=a3-2a2+3a-6-a3-2a2-2a=-4a2+a-6. 错因：（2）没有化简到最后；（3）计算过程中符号出错. 满分备考：多项式乘多项式时，注意以下几点： （1）要按照一定的顺序相乘，做到不重不漏；（2）计算时，要注意符号问题，每一项都包含前面的符 号；（3）如果结果中有同类项，一定要合并同类项. -16- 8.4 整式的乘法 [题型探究] ■题型一 多项式乘多项式的运算 例 1 （南京中考）计算（x+y）（x2-xy+y2）． 解析：根据多项式乘多项式的法则计算即可． 答案：解：（x+y）（x2-xy+y2） ＝x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3 ＝x3+y3． 题型解法：多项式乘多项式的运算要按照一定的次序相乘，注意符号的变化，不要漏乘某一项． -17- 8.4 整式的乘法 ■题型二 化简求值 例 2 已知（x2-mx+8）（x2+2x）. （1）若整式的展开式中不含 x2 项，求 m 的值； （2）把（1）中 m 值代入原式中，求当 x=1 时，整式的值. 解析：（1）原式利用多项式乘多项式的法则计算，合并后根据结果不含 x2 项，求出 m 的值； （2）把（1）中求出的 m 的值代入原式，再代入 x=1 即可得解. 答案：解：（1）（x2-mx+8）（x2+2x）=x4+（2-m）x3+ （-2m+8）x2+16x，由展开式中不含 x2 项，得到-2m+ 8=0，则 m=4. （2）m=4，则原式=x4-2x3+16x，当 x=1 时，原式= 1-2+16=15. 题型解法：化简求值一般是先把原式展开，合并同类项，得到最简式子，再把已知的未知数的值代入即可求解. -18- 8.4 整式的乘法 ■将错就错，逆向思维 根据题中给出的易错项和结果，逆推得到正确的原项，再根据正确的方法计算. [方法总结] -19- 8.4 整式的乘法 例 小明在计算一个多项式乘-2x2+x-1 时，因看错运算符号，变成了加 上-2x2+x-1，得到的结果为 4x2-2x-1，那么正确的计算结果为多少？ 解析：逆向求出原多项式，根据多项式乘多项式的法则求出正确的结果． 答案：解：原多项式为（4x2-2x-1）-（-2x2+x-1）= 4x2-2x-1+2x2-x+ 1 =6x2-3x. 正确的结果为（6x2-3x）（-2x2+x-1）=-12x4+6x3- 6x2+6x3-3x2+3x=-12x4+12x3-9x2+3x． 8.4 整式的乘法 -1- ■考点 单项式与单项式相乘 1. 计算 3a·（2b）的结果是 （ ） A. 3ab B. 6a C. 6ab D. 5ab 2. 下列计算正确的是 （ ） A． 2a·3a=6a B． 2a3·3a2=6a6 C． 3ab2·（-2a）=-6a2b2 D．（-2a3）·（-3a2）=-5a5 3. 计算（2a）3·a2 的结果是 （ ） A. 2a5 B. 2a6 C. 8a5 D. 8a6 4. 计算 x2·4x3 的结果是 （ ） A. 4x3 B. 4x4 C. 4x5 D. 4x6 ▍考点集训/夯实基础 第一课时 单项式与单项式相乘 8.4 整式的乘法 -2- 5. 计算（-2a2）·3a 的结果是 （ ） A. -6a2 B. -6a3 C. 12a3 D. 6a3 6. 下列运算正确的是 （ ） A. a4+a2=a6 B. 5a-3a=2 C. 2a3·3a2=6a6 D.（-2a）-2= 7. 计算：a2·5a=____________；3a·a2+a3=____________. 8. 计算：（-3x2y）2·（-2xy）=____________. 8.4 整式的乘法 -3- 9.（教材 P80，AT3 变式）计算： （1）6x2·3xy； （2） a3b· ； （3）-5x2·（3x3y）2； （4）（5×104）×（3×102）； （5）（2xy）2·（-3x）3·y． 10. 有一块长为 x m，宽为 y m 的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长 x m，宽 y m 的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积． 8.4 整式的乘法 -4- ■考点 1 单项式与多项式相乘 1. 计算-2x（x2-1）的结果是 （ ） A．-2x3-2x B．-2x3+x C．-2x3+2x D．-x3+2x 2. 下列计算正确的是 （ ） A. -2x（1-3x）=-2x-6x2 B. 2a-a=2 C. a3+a2=2a5 D. a2·a3=a5 3. 数学课上，老师讲了单项式乘多项式，小华的课堂笔记中有一道练习题：-3xy·（4y-2x-1）=-12xy2+ 6x2y+______.请把题中等式补充完整. ▍考点集训/夯实基础 第二课时 单项式与多项式相乘 8.4 整式的乘法 -5- 4. 若一个圆柱的底面半径是 3r，高是（6h-5），则它的体积等于 （ ） A. 3r·（6h-5）=18rh-15r B.（3r）2π·（6h-5）=54r2hπ-45r2π C.（3r）2π·（6h-5）=18r2hπ-15r2π D.（3r）2π·（6h-5）=54rhπ-45rπ 5. 计算：2a（3a-1）=___________；（-2a）· =____________. 6. 计算：4x·（2x2-3x+1）=___________. 7. 已知直角三角形的两条直角边分别为 2ab 和（a+b）， 则这个三角形的面积为 _______. 8.4 整式的乘法 -6- 8.（教材 P82，AT1 变式）计算： （1）a（3a+4b）；（2） x·（8x3-6x+1）； （3）-2x2 . 9.（教材 P82，AT4 改编）解方程：x（x+1）-3x（x-2）+2x（x-1）=3． 10. 一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽 a m，下底宽（a+2b） m，坝高 a m．求防洪堤坝的横断面面积． 8.4 整式的乘法 -7- ■考点 2 先化简，再求值 11. 已知 ab2=-1，则-ab（a2b5-ab3-b）的值等于 （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 无法确定 12. 先化简，再求值：3a（2a2-4a+3）-2a2（3a+4），其中 a=-2． 8.4 整式的乘法 -8- ■考点 1 多项式与单项式相乘 1. 设多项式 A 是个三项式，B 是个四项式，则 A×B 所得的多项式的项数一定 （ ） A. 多于 7 项 B. 不多于 7 项 C. 多于 12 项 D. 不多于 12 项 2. 计算（x+2）（x-3）的结果是 （ ） A. x2+5x-6 B. x2-5x-6 C. x2+x-6 D. x2-x-6 3. 下列各式计算正确的是 （ ） A．（x+5）（x-5）=x2-10x+25 B．（2x+3）（x-3）=2x2-9 C．（3x+2）（3x-1）=9x2+3x-2 D．（x-1）（x+7）=x2-6x-7 ▍考点集训/夯实基础 第三课时 多项式与多项式相乘 8.4 整式的乘法 -9- 4. 若计算（a+m） 的结果中不含关于字母 a 的一次项，则 m 等于 _______. 5. 计算：（x-4）（x+2）=__________；（a-2b）（2a-b）= __________. 6. 若 x2-2x-15=（x+3）（x+m），则 m=______. 7. 已知 x+y=1.5，xy=-1，则（x+2）（y+2）=______. 8.（教材 P84，AT1 变式）计算： （1）（a-6）（a+5）； （2）（m+2n）（m-3n）； （3）（-y-2x）（x-2y）； （4）2x（x-4）+（3x-1）（x+3）. 8.4 整式的乘法 -10- ■考点 2 先化简，再求值 9.（教材 P84，练习 T2 改编）先化简，再求值：3x（x+1）+ （x-2）（x-1），其中 x=2. 10.（教材 P85，T6 改编）如图，某市区有一块长为（3m+n）m，宽为（m+2n）m 的长方形地块，现准备进行绿化，中间有一半径为 nm 的圆形区域将修建一座凉亭，则绿化的面积是多少？并求出当 m=5，n=3 时的绿化面积．（π≈3） （第 10 题图） -9- 第八章 整式的乘法 8.4 整式的乘法 第一课时 单项式与单项式相乘 1. C 提示：3a·（2b）=3×2×a×b=6ab． 2. C 提示：A．2a·3a=（2×3）·（a·a）=6a2； B．2a3·3a2=（2×3）·（a3·a2）=6a5；C．3ab2·（-2a） =［3 ×（-2） ］·（a·a）·b2=-6a2b2；D．（-2a3）·（-3a2）=［（-2）×（-3）］·（a3·a2）=6a5． 3. C 提示：（2a）3·a2=8a3·a2=8a5． 4. C 提示：x2·4x3=4x5． 5. B 提示：（-2a2）·3a=（-2×3）×（a2·a）=-6a3． -10- 第八章 整式的乘法 6. D 提示：A.a4、a2 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B.5a-3a=2a，故本选项错误；C.2a3·3a2=6a5，故本选项错误；D.（-2a）-2= ，故本选项正确. 7. 5a3 4a3 提示：a2·5a=5a2+1=5a3；3a·a2+a3= 3a3+a3=4a3． 8. -18x5y3 提示：原式=9x4y2·（-2xy）=-18x5y3． 9. 解：（1）原式=6×3·x2·xy=18x3y； （2）原式= ·a3b·abc= a4b2c； （3）原式=-5x2·32·x6y2=-5×9·（x2·x6）·y2= -45x8y2； （4）原式=（5×3）×（104×102）=1.5×107； （5）原式=4x2y2·（-27x3）·y=-108x5y3． 10. 解：长方形的面积是 xy m2， 绿化的面积是： xy（m2）， 则剩下的面积是 xy- xy= xy（m2）． -11- 第八章 整式的乘法 第二课时 单项式与多项式相乘 1. C 提示：-2x（x2-1）=-2x·x2-（-2x）·1=-2x3+ 2x． 2. D 提示：A.-2x（1-3x）=-2x·1+（-2x）·（-3x） =-2x+6x2，故本选项错误．B.2a-a=（2-1）· a=a，故本选项错误．C.a3 和 a2 不是同类项，不能合并，故本选项错误．D.a2·a3=a2+3=a5，故本选项正确． 3. 3xy 提示：-3xy·（4y-2x-1）=-3xy·4y+（-3xy）· （-2x）+（-3xy）·（-1）=-12xy2+6x2y+3xy．所以应填写 3xy． 4. B 提示：圆柱的体积为=底面积×高=（3r）2·π·（6h-5）=54r2hπ-45r2π. 5. 6a2-2a a4+2a 提示：2a（3a-1）=6a2- 2a； （-2a）· （-2a）= a4+2a． 6. 8x3-12x2+4x 提示：4x·（2x2-3x+1）=4x·2x2-4x·3x+4x·1=8x3-12x2+4x． -12- 第八章 整式的乘法 7. a2b+ab2 提示：这个三角形的面积为： ×2ab×（a+b）=a2b+ab2． 8. 解：（1）原式=a·3a+a·4b=3a2+4ab； （2）原式=4x4-3x2+ x； （3）原式=-2x2·（ xy）-2x2·y2=-x3y-2x2y2． 9. 解：x（x+1）-3x（x-2）+2x（x-1）=3， 化简得 x2+x-3x2+6x+2x2-2x=3， 合并同类项得 5x=3， 系数化为 1 得 x= ． 10. 解：防洪堤坝的横断面面积 S= ［a+（a+2b）］× a= a（2a+2b）= a2+ ab（m2）． 答：防洪堤坝的横断面面积为 （ a2+ ab）m2. -13- 第八章 整式的乘法 11. C 提示：∵ab2=-1，∴ 原式=-a3b6+a2b4+ ab2=-（ab2）3+（ab2）2+ab2=1+1-1=1. 12. 解：3a（2a2-4a+3）-2a2（3a+4） =6a3-12a2+9a-6a3-8a2 =-20a2+9a. 当 a=-2 时，原式=-20×4-9×2=-98． -14- 第八章 整式的乘法 第三课时 多项式与多项式相乘 1. D 提示：多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于 原多项式的项数之积．多项式 A 是个三项式，B 是个四项式，因此 A×B 合并同类项 之后不多于 3×4=12（项）． 2. D 提示：（x+2）（x-3）=x（x-3）+2（x-3）= x2-x-6． 3. C 提示：A.（x+5）（x-5）=x2-5x+5x-25=x2-25，本选项错误；B.（2x+3）（x-3）=2x2-6x+ 3x-9=2x2-3x-9，本选项错误；C.（3x+2）（3x-1）=9x2-3x+6x-2=9x2+3x-2，本选项正确； D.（x-1）（x+7）=x2+7x-x-7=x2+6x-7，本选项错误． 4. 提示：∵（a+m）（a+ ）=a2+ （m+ ）a+ m，不含关于字母 a 的一次项， ∴m+ =0，∴m= . -15- 第八章 整式的乘法 5. x2-2x-8 2a2-5ab+2b2 提示：（x-4）（x+2） =x（x+2）-4（x+2）=x2+2x-4x-8=x2-2x-8；（a- 2b）（2a-b）=2a2-ab-4ab+2b2=2a2-5ab+2b2． 6. -5 提示：∵x2-2x-15=（x+3）（x+m）=x2+3x+ mx+3m，∴3m=-15，解得 m=-5． 7. 6 提示：∵x+y=1.5，xy=-1，∴（x+2）（y+2）= xy+2（x+y）+4=-1+3+4=6． 8. 解：（1）原式=a（a+5）-6（a+5） =a2+5a-6a-30 =a2-a-30； （2）原式=m（m-3n）+2n（m-3n） =m2-3mn+2mn-6n2 =m2-mn-6n2； （3）原式=-xy+2y2-2x2+4xy=2y2-2x2+3xy； （4）原式=2x2-8x+（3x2+9x-x-3）=2x2-8x+3x2+8x-3=5x2-3. -16- 第八章 整式的乘法 9. 解：原式=3x2+3x+（x2-3x+2）=4x2+2， 当 x=2 时，原式=4×22+2=18. 10. 解：由题意可得，绿化的面积为（3m+n）·（m+2n）-n2π= 3m·m+ 3m·2n+n·m+n·2n- n2π=3m2+2n2+7mn-n2π（m2）. 当 m=5，n=3 时， 3m2+2n2+7mn-n2π=3×52+2×32+7×5×3-32×3=75+18+105-27=171. 所以当 m=5，n=3 时，绿化的面积为 171 m2. $$