8.5 乘法公式 课件-2023-2024学年冀教版数学七年级下册

[考点解读] 第一课时 平方差公式 -1- ■考点 平方差公式 8.5 乘法公式 公式 （a+b）（a-b）=a2-b2 语言描述 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 特点 左边是两个二项式相乘，这两项中有一项（a）完全相同，另一项（b 和-b）互为相反数 右边是因式中两项的平方差 注意 （1）公式中的 a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式； （2）平方差公式可以逆用：a2-b2=（a+b）（a-b） -2- 典题精析 例 计算： （1）（0.2x-0.3）（0.2x+0.3）； （2）（2a-3b）（-2a-3b）； （3）a（a-3）-（-a+7）（-a-7）. 解析：应用平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”进行计算. 答案：解：（1）原式=（0.2x）2-0.32=0.04x2-0.09. （2）原式=（-3b+2a）（-3b-2a）=（-3b）2-（2a）2=9b2- 4a2. （3）原式=a2-3a-（a2-49）=a2-3a-a2+49=-3a+49. 易错：（2）（2a-3b）（-2a-3b）=（2a）2-（3b）2=4a2- 9b2. 错因：没有提取负号，错误使用平方差公式. 满分备考：对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘多项式的法则计算简便． 8.5 乘法公式 -3- 8.5 乘法公式 ■题型 利用平方差公式的简便计算 例 （岳阳期中改编）计算：（1）2 002×1 998； （2）（-2 019）2+2 018×（-2 020）． 解析：根据平方差公式解答即可． 答案：解：（1）原式=（2 000+2）×（2 000-2） =2 0002-22 =4 000 000-4 =3 999 996. （2）原式＝2 0192-（2 019-1）（2 019+1） ＝2 0192-2 0192+1＝1． 题型解法：利用平方差公式进行简便计算的关键是变形成适用公式的 形式． [题型探究] -4- 8.5 乘法公式 [考点解读] 第二课时 完全平方公式 ■考点 完全平方公式 1. 完全平方公式 公式 （a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2 语言描述 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上 （或减去）它们的积的 2 倍 巧记 首平方，末平方，首末两倍中间放 注意 公式中的 a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式 -5- 续表 8.5 乘法公式 公式变形 (-a-b)2=[-(a+b)]2=(a+b)2=a2+2ab+b2 (-a+b)2=[-(a-b)]2=(a-b)2=a2-2ab+b2 (-a+b)2=(b-a)2 (a-b-c)2=[a-(b+c)]2 a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab (a+b)2=(a-b)2+4ab (a+b)3=(a+b)2(a+b) -6- 2. 应用完全平方公式时，要注意：①公式中的 a，b 可以是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，也可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看作一项，然后再用完全平方公式． 8.5 乘法公式 -7- 8.5 乘法公式 典题精析 例 计算： (1)(-m2-2m)2；(2) ；(3)2 0202. 解析：(1)(2)利用完全平方公式展开即可得到结果;(3)将 2 020 分解为 2 000+20,运用完全平方公式求出即可. 答案：解：(1)原式=(-m2)2+2·(-m2)·(-2m)+ (-2m)2=m4+4m3+4m2. (2)原式= . (3)原式=(2 000+20)2=2 0002+2×2 000×20+ 202=4 000 000+80 000+ 400=4 080 400. 易错：(1)原式=(-m2)2+2·(-m2)·(2m)+(-2m)2= m4-4m3+4m2. 错因：没有注意负号的改变. 满分备考：完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和(或差)的平方;②右边是一个三项式,其中首末两项分别是两项的平方,都为正; 中间一项是两项积的 2 倍,其符号与左边的运算符号相同. -8- 8.5 乘法公式 ■题型一 运用完全平方公式进行计算 例 1 计算：（1）（x+5）2-（x-2）（x-3）； （2）（x-2y）2-（2x-y）2． 解析：利用完全平方公式、多项式乘多项式法则、合并同类项法则计算即可得到结果. 答案：解：（1）原式=x2+10x+25-x2+5x-6 =15x+19. （2）原式=x2-4xy+4y2-（4x2-4xy+y2） =x2-4xy+4y2-4x2+4xy-y2 =-3x2+3y2． [题型探究] -9- 8.5 乘法公式 题型解法：解决此类问题，掌握完全平方公式的特征是解题的关键.另外，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的 a，b 可以是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看作一项后，也可以用完全平方公式． -10- 8.5 乘法公式 ■题型二 完全平方公式的变形应用 例 2 已知（m -n）2=8，（m+n）2=2，求 m2+n2 的值． 解析：由完全平方公式可知，（m+n）2 展开含+2mn，而（m-n）2 展开含-2mn，二者相加只剩下 m2+n2 的倍数，从而得出结论． 答案：解：∵（m-n）2+（m+n）2 =m2+n2-2mn+m2+n2+2mn =2（m2+n2） =8+2 =10， ∴m2+n2=10÷2=5． 题型解法：在利用完全平方公式进行计算时，经常会遇到下列变形：（1）（a+b）2-2ab=a2+b2；（2）（a-b）2+2ab=a2+b2；（3）（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）；（4）（a+b）2-（a-b）2=4ab. -11- 8.5 乘法公式 ■把式子拆解成完全平方公式的形式，逆用完全平方公式，使计算简便 例 （长春南关区月考）简便计算： （1）2 0202-4 040×2 019+2 0192； （2）2012-401． 解析：仔细观察题目， 把题目转换为完全平方公式的形式，从而使计算简单. 答案：解：（1）2 0202-4 040×2 019+2 0192 =2 0202-2×2 020×2 019+2 0192 =（2 020-2 019）2 =1. （2）原式=2012-2×201×1+12 =（201-1）2 =2002 =40 000． [方法总结] 8.5 乘法公式 -1- ■考点 平方差公式及其应用 1. 下列说法正确的是 （ ） A. 平方差公式属于单项式乘单项式 B. 平方差公式属于多项式乘单项式 C. 平方差公式是多项式乘法中的特殊情况 D. 乘法都可以用平方差公式计算 2. 下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是 （ ） A．（2a+b）（b-2a） B．（3m+2n）（2m-3n） C．（a+b）（-a-b） D．（m-2n）（-m+2n） ▍考点集训/夯实基础 第一课时 平方差公式 8.5 乘法公式 -2- 3. 计算（3m-2n）（-3m-2n）的结果是 （ ） A． 9m2-4n2 B． 9m2+4n2 C． -9m2-4n2 D． -9m2+4n2 4. 计算下列各式，其结果是 4y2-1 的是 （ ） A． 2y（2y-1） B．（2y+1）（2y-1） C．（2y-1）（-2y-1） D． -2y（2y+1） 5. 在运算：①（x+1）（x-3）=x2-3；②（3a2+1）（3a2-1）= 9a2-1；③（1-2x）（1+2x）=1-4x2 中，错误的个数为（ ） A． 3 B． 2 C． 1 D． 0 6.（x-1）（________）=x2-1；（a+2b）（a-2b）=___________. 8.5 乘法公式 -3- 7.（教材 P88，练习 T1 变式）计算： （1）（x-6）（x+6）； （2）（5m+2n）（-5m+2n）. 8.（教材 P88，AT3 变式）简便计算： （1）118×122； （2）2 0182-2 017×2 019． 9. 已知 a、b、c 是三个连续的正整数（a＜b＜c），以 b 为 边长作正方形，分别以 c、a 为长和宽作长方形，哪个图形的面积大？ 为什么？ 8.5 乘法公式 -4- ■考点 完全平方公式及其应用 1. 运用乘法公式计算(x+3)2 的结果是 （ ） A. x2+9 B. x2-6x+9 C. x2+6x+9 D. x2+3x+9 2. 下列式子中是完全平方式的是 （ ） A． a2+ab+b2 B． a2+2a+2 C． a2-2b+b2 D． a2+2a+1 3. 下列式子正确的是 （ ） A．（a-b）2=a2-2ab+b2 B．（a-b）2=a2-b2 C．（a-b）2=a2+2ab+b2 D．（a-b）2=a2-ab+b2 4. 若 =1,则 a2-2ab+b2 的值为 （ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 无法确定 ▍考点集训/夯实基础 第二课时 完全平方公式 8.5 乘法公式 -5- 5. 若(a+b)2=(a-b)2+A,则 A 为 （ ） A. 2ab B. -2ab C. 4ab D. -4ab 6. 已知 a+b=3,a2+b2=5,则 ab 的值为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 应用完全平方公式计算 992 的最佳选择是 （ ） A.(90+9)2 B.(95+4)2 C. 902+92 D.(100-1)2 8. 计算:(3x-2y)2=_____________. 9. 若 a 的值使得 x2+4x+a=(x+2)2-1 成立,则 a 的值为 _____. 10.（教材 P90，T1 变式）计算： （1）（x+2）2； （2）（4a-b）2； （3） ； （4） . 8.5 乘法公式 -6- 11.（教材 P91，T3 变式）简便计算： （1）1182； （2）2962． 12. 已知 A，B 两个正方形工厂，工厂 A 的边长为（2x+y） m，工厂 B 的边长为（2x-y） m，求工厂 A 的面积比工厂 B 的面积大多少，并求出当 x=500，y=300时，工厂 A 的面积比工厂 B 的面积大多少． -17- 第八章 整式的乘法 8.5 乘法公式 第一课时 平方差公式 1. C 提示：平方差公式是多项式乘法中的特殊情况，特殊在于“两数和乘这两数的差”. 2. A 提示：A.原式=-（2a+b）（2a-b），所以能用平方差公式计算，符合题意；B．（3m+ 2n）（2m-3n）不能用平方差公式计算，不符合题意；C．原式=-（a+b）2，不能用平方差公式计算，不符合题意；D．原式=-（m-2n）2， 不能用平方差公式计算，不符合题意. 3. D 提示：（3m-2n）（-3m-2n）=（-2n+3m）·（-2n-3m）=（-2n）2-（3m）2 =4n2-9m2=-9m2+ 4n2． 4. B 提示：A. 原式=4y2-2y， 故本选项不符合题意；B.原式=4y2-1，故本选项符合题意；C.原式=-（2y-1）（2y+1）=1-4y2，故本选项不符合题意；D.原式=-4y2-2y，故本选项不符合题意. -18- 第八章 整式的乘法 5. B 提示：①（x+1）（x-3）=x2-2x-3，错误； ②（3a2+1）（3a2-1）=（3a2）2-12=9a4-1，错误； ③（1-2x）（1+2x）=12-（2x）2=1-4x2，正确． 则错误的有 2 个． 6. x+1 a2-4b2 7. 解：（1）原式=x2-36； （2）原式=（2n+5m）（2n-5m） =（2n）2-（5m）2 =4n2-25m2． -19- 第八章 整式的乘法 8. 解：（1）原式=（120-2）（120+2） =1202-22 =14 400-4 =14 396； （2）原式=2 0182-（2 018-1）×（2 018+1） =2 0182-（2 0182-12） =1. 9. 解：以 b 为边长的正方形面积大． ∵a、b、c 是三个连续的正整数（a＜b＜c）， ∴a=b-1，c=b+1， ∴ 以 c、a 为长和宽作出的长方形的面积为 ac=（b-1）（b+1）=b2-1， 以 b 为边长作出的正方形的面积为 b2， ∵b2-1＜b2， ∴ 以 b 为边长的正方形面积大． -20- 第八章 整式的乘法 第二课时 完全平方公式 1. C 提示：（x+3）2=x2+6x+9. 2. Ｄ 提示：（a＋1）2＝ａ2＋2a+1. 3. A 提示：（a-b）2=a2-2ab+b2，故 A 选项正确； B，C，D 选项错误. 4. A 提示：∵ =1， ∴（a-b）2=a2-2ab+b2=1． 5. C 提示：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2，∴A=（a+b）2- （a-b）2 =4ab． 6. A 提示：∵（a+b）2=a2+2ab+b2=9，a2+b2=5， ∴ab=（9-5）÷2=2． 7. D 8. 9x2-12xy+4y2 提示：（3x-2y）2=（3x）2-2×3x×2y+（2y）2=9x2-12xy + 4y2． 9. 3 提示：x2+4x+a=（x+2）2-1=x2+4x+4-1=x2+4x+3，∴a=3. -21- 第八章 整式的乘法 10. 解：（1）原式=x2+2·x·2+22=x2+4x+4； （2）原式=（4a）2-2×4a×b+b2 =16a2-8ab+b2； （3）原式= ； （4）原式= . 11. 解：（1）原式=（120-2）2 =1202-2×120×2+22 =14 400-480+4 =13 924； （2）原式=（300-4）2 =3002-2×300×4+42 =90 000-2 400+16 =87 616. -22- 第八章 整式的乘法 12. 解：SA-SB=（2x+y）2-（2x-y）2 =（4x2+4xy+y2）-（4x2-4xy+y2） =4x2+4xy+y2-4x2+4xy-y2 =8xy（m2）． 当 x=500，y=300 时，工厂 A 的面积比工厂 B 的面积大 8×500×300= 1 200 000（m2）. 答：工厂 A 的面积比工厂 B 的面积大8xy m2， 当 x=500，y=300 时，工厂 A 的面积比工厂 B 的面积大 1 200 000 m2. $$