7.5 平行线的性质 课件-2023-2024学年冀教版数学七年级下册

文字语言 符号语言 图示 性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简称为：两直线平行，同位角相等 ∵a∥b， ∴∠1=∠2 性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称为：两直线平行，内错角相等 ∵a∥b， ∴∠2=∠3 性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简称为：两直线平行，同旁内角互补 ∵a∥b， ∴∠2+∠4=180° [考点解读] 第一课时 平行线的性质 -1- ■考点 平行线的性质 7.5 平行线的性质 -2- 典题精析 7.5 平行线的性质 例 如图，若 AD∥BC，∠A=∠D． （1）猜想∠C 与∠ABC 的数量关系，并说明理由； （2）若 CD∥BE，∠D=50°，求∠EBC 的度数． -3- 解析：（1）先根据平行线的性质得出∠D+∠C= 180°，∠A+∠ABC=180°，再根据∠A=∠D 即可得出结论； （2）根据 CD∥BE 可得出∠D=∠AEB，再由 AD∥BC 得出∠EBC=∠AEB 即可得出结论． 答案：解：（1）∠C=∠ABC. 理由：∵AD∥BC（已知），∴∠D+∠C=180°，∠A+ ∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∵∠A=∠D（已知），∴∠C=∠ABC（等角的补角相等）. （2）∵CD∥BE（已知），∴∠D=∠AEB（两直线平行，同位角相等）．∵AD∥BC（已知），∴∠AEB=∠EBC （两直线平行，内错角相等），∴∠D=∠EBC（等量代换）. ∵∠D=50°（已知），∴∠EBC=50°（等量代换）． 7.5 平行线的性质 -4- 易错：解：（2）∵CD∥BE（已知），∴∠D=∠AEB（两直线平行，同位角相等），∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），∴∠D=∠EBC=50°（等量代换）． 错因：∠AEB=∠EBC 不是由 CD∥BE 得到的. 满分备考：在求角的度数时，见到平行线的条件，就要联想到角相等或互补的性质. 7.5 平行线的性质 -5- 7.5 平行线的性质 [题型探究] ■题型一 利用平行线的性质求角的度数 例 1 （济南中考）如图，DE∥BC，BE 平分∠ABC，若∠1=70°，则∠CBE 的度数为 （ ） A. 20° B. 35° C. 55° D. 70° 解析：∵DE∥BC， ∴∠1=∠ABC， 即∠ABC=70°. ∵BE 平分∠ABC， ∴∠CBE= ∠ABC， 即∠CBE=35°. 答案：B 题型解法：本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，解题时注意选择平行线的哪条性质来应用会使得计算简便. -6- 7.5 平行线的性质 ■题型二 利用平行线的性质解决折叠问题 例 2 如图，把一张长方形纸条 ABCD 沿 AF 折叠，已知∠ADB=20°，那么∠BAF 应为多少度时，才能使 AB′∥BD？ -7- 7.5 平行线的性质 解析：由折叠的性质得到∠B′AF=∠BAF，要使 AB′∥BD，则要有∠1=∠ADB=20°，从而得到∠B′AB= 20°+90°=110°，即可求出∠BAF． 答案：解：∠BAF 应为 55°. 理由：假设 AB′∥BD，则∠1=∠ADB（两直线平行，内错角相等）. ∵∠ADB=20°（已知）， ∴∠1=20°（等量代换）. ∵ 四边形 ABCD 是长方形， ∴∠BAD=90°， ∴∠B′AB=∠1+∠BAD=20°+90°=110°. 由折叠的性质得到∠B′AF=∠BAF， ∴∠BAF= ∠B′AB=55°. 题型解法：解决折叠问题，关键是找出折叠前后的对应关系，然后利用所得的对应关系来解决问题. -8- 7.5 平行线的性质 [考点解读] 第二课时 平行线性质与判定的综合应用 ■考点 平行线性质与判定的综合应用 1. 平行线的判定与性质的区别与联系 区别 判定 判定是根据两角相等或互补（数量关系），去证两条直线平行（位置关系）， 即角的关系→线的关系 性质 性质是根据两条直线平行（位置关系）， 去证角的相等或互补（数量关系）， 即线的关系→角的关系 联系 它们都是以两条直线被第三条直线所截为前提；它们的条件和结论是互逆的 总结 已知平行用性质，要证平行用判定 -9- 7.5 平行线的性质 2. 平行于同一条直线的两条直线平行. 几何语言：如果a∥b，a∥c，那么 b∥c -10- 7.5 平行线的性质 典题精析 例 如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求 ∠AGD 的度数. -11- 7.5 平行线的性质 解析：由 EF∥AD，得∠2=∠3，由等量代换可得 ∠1=∠3，进而得出 DG∥BA，根据平行线的性质， 得∠BAC+∠AGD=180°，即可求解． 答案：解：∵EF∥AD（已知）， ∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）. ∵∠1=∠2（已知）， ∴∠1=∠3（等量代换）， ∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）， ∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∵∠BAC=70°， ∴∠AGD=180°-∠BAC=180°-70°=110°． 易错：解：∵EF∥AD，∴∠2=∠3.∵∠1=∠2，∴∠1= ∠3，∴DG∥AB，∴∠BAC=∠AGD=70°. 错因：把平行线的性质 3 记成：两直线平行，同旁内角相等，导致出错. -12- 7.5 平行线的性质 满分备考：已知条件中有平行时，要联想到平行线的三个性质，由两直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，再由角相等或互补求出相应的度数.这类题解题的一般思路是：“直线平行→角相等（或互补）→直线平行→角的数量关系.” -13- 7.5 平行线的性质 [题型探究] ■题型 平行线的性质与判定的实际应用 例 如图，平行光线 AB 与 DE 射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4. （1）∠1 和∠3 的大小有什么关系？∠2 和∠4 呢？ （2）反射光线 BC 与 EF 也平行吗？ -14- 7.5 平行线的性质 解析：（1）因为 AB 与 DE 是平行的，而∠1 和 ∠3 是直线 AB，DE 被直线 BE 所截产生的同位角，由两直线平行，同位角相等可知，∠1 和∠3 相等；因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2=∠4；（2）∠2 和∠4 是 BC，EF 被直线 BE 所截产生的同位角，由同位角相等，两直线平行可得 BC 与 EF 平行. 答案：解：（1）∠1=∠3，∠2=∠4. （2）反射光线 BC 与 EF 平行. 题型解法：此例中首先利用平行线的性质判断角相等，然后再利用平行线的判定，由角相等得出线平行，解题时注意平行线性质与判定的灵活运用. -15- 7.5 平行线的性质 ■转化思想和方程思想在平行线的性质与判定中的应用 1. 转化思想方法 转化思想是解决数学问题中常用到的一种基本数学思想.在研究数学问题时，通过对条件、结论的转化，使问题更简单化，化生为熟，化未知为已知，最终得出问题的解决方法，这个过程就体现了转化的思想方法.可以说在解决数学问题中，转化思想几乎无处不在. 2. 方程思想方法 方程思想方法是指将所研究数学问题中的已知量和未知量之间的等量关系，转化为方程或方程组，从而转化为解决数学问题的一种思维方法.解题 时，涉及求角的度数时常用这种思想. [方法总结] -16- 7.5 平行线的性质 例 1 已知，如图，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D. 求证：BE⊥DE. -17- 7.5 平行线的性质 解析：欲证明 BE⊥DE，可证∠BED=90°，而根据已知条件无法直接运用，需作辅助线 EF∥AB，将∠BED分解为∠3 和∠4，再利用平行线的性质进行证明即可. 答案：证明：如图，过 E 点作 EF∥AB，则∠B= ∠3 （两直线平行，内错角相等）. 又 ∵∠1=∠B（已知）， ∴∠1=∠3（等量代换）. ∵AB∥EF，AB∥CD（已知）， ∴EF∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ∴∠4=∠D（两直线平行，内错角相等）. 又 ∵∠2=∠D（已知）， ∴∠2=∠4（等量代换）. ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定义）， ∴∠3+∠4=90°，即∠BED=90°， ∴BE⊥DE. -18- 7.5 平行线的性质 例 2 如图，∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4，∠AFE=60°， ∠BDE=120°，写出图中平行的直线，并说明理由． -19- 7.5 平行线的性质 解析：求出∠1=40°，∠2=60°，∠3=80°，可得 ∠AFE=∠2，∠BDE+∠2=180°，根据平行线的性质， 进而求出 DE∥AB，EF∥BC. 答案：解：EF∥BC，DE∥AB. 理由：∵∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4， ∴ 可设∠1=2k，∠2=3k，∠3=4k． ∵∠1+∠2+∠3=180°（平角的定义）， ∴2k+3k+4k=180°， ∴9k=180°，k=20°， ∴∠1=40°，∠2=60°，∠3=80°. ∵∠AFE=60°（已知）， ∴∠AFE=∠2（等量代换）， ∴DE∥AB（内错角相等，两直线平行）. ∵∠BDE=120°， ∴∠BDE+∠2=180°， ∴EF∥BC（同旁内角互补，两直线平行）. 7.5 平行线的性质 -1- ■考点 1 两直线平行，同位角相等 1. 如图，直线 a∥b，∠1=50°，则∠2 的度数是 （ ） A． 130° B． 50° C． 40° D． 150° （第 1 题图） ▍考点集训/夯实基础 第一课时 平行线的性质 7.5 平行线的性质 -2- 2. 如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=80°，则∠2 的度数是 （ ） A． 80° B． 100° C． 120° D． 150° 3. 如图，直线 a∥b，点 B 在直线 b 上，且 AB⊥BC，∠1= 55°，则∠2 的度数为 ______. （第 2 题图） （第 3 题图） 7.5 平行线的性质 -3- ■考点 2 两直线平行，内错角相等 4. 如图，直线 c 与 a，b 均相交，当 a∥b 时，则 （ ） A. ∠1＞∠2 B. ∠1＜∠2 C. ∠1=∠2 D. ∠1+∠2=90° （第 4 题图） （第 5 题图） 5. 如图，小聪把一块含有 60°角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=25°，则∠2 的 度数是 （ ） A． 25° B． 30° C． 35° D． 60° 7.5 平行线的性质 -4- 6.（教材 P51，练习 T1 变式）如图，AB∥ED，∠ECF=70°，则 ∠BAF=______. （第 6 题图） （第 7 题图） 7. 如图，AB∥CD，CB 平分∠ACD．若∠ACD=56°，则 ∠EBC 的度数为 ______. 7.5 平行线的性质 -5- ■考点 3 两直线平行，同旁内角互补 8. 如图，已知 a∥b，小华把三角尺的直角顶点放在直线 a 上．若∠1=40°，则∠2 的度数为 （ ） A． 100° B． 110° C． 120° D． 130° （第 8 题图） （第 9 题图） 9. 如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= （ ） A． 120° B． 180° C． 270° D． 360° 7.5 平行线的性质 -6- 10. 如图，AB∥CD，AE 平分∠CAB 交 CD 于点 E，若 ∠C=48°，则∠AED 等于 ______. （第 10 题图） 7.5 平行线的性质 -7- ■考点 1 平行线性质与判定的综合应用 1. 如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4 等于 （ ） A. 120° B. 130° C. 140° D. 40° （第 1 题图） ▍考点集训/夯实基础 第二课时 平行线性质与判定的综合应用 7.5 平行线的性质 -8- 2. 点 P 为互相垂直的直线 a、b 外一点，过点 P 分别画直线 c、d，使 c∥a、d⊥a，那么下列判断中正确的是 （ ） A. c∥b B. c∥d C. b⊥c D. b⊥d 3. 如图，下列推理不正确的是 （ ） A. ∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C=180° B. ∵∠1=∠2，∴AD∥BC C. ∵AD∥BC，∴∠3=∠4 D. ∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥CD （第 3 题图） 7.5 平行线的性质 -9- 4. 已知在同一平面内，有三条直线 a，b，c，若 a∥b， b∥c，则直线 a 与直线 c 之间的位置关系是 （ ） A． 相交 B． 平行 C． 垂直 D． 平行或相交 7.5 平行线的性质 -10- ■考点 2 平行于同一直线的两直线平行 5. 如图，AB∥EF，CD∥EF，则∠1+∠2=_______. （第 5 题图） 6. 已知 a，b，c，d 是互不重合的四条直线，则下列说法 中正确的是 （ ） A． 若 a∥b，c∥d，则 b∥d B． 若 a∥b，a∥d，则 c∥d C． 若 b∥c，a∥d，则 a∥b D． 若 a∥c，c∥d，则 a∥d 7.5 平行线的性质 -11- ■考点 3 平行线性质与判定的实际应用 7. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而行，如果第一个拐角∠A 是 110°，第二个拐角∠B 是 150°，第三个拐角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C 的度数是 （ ） A． 100° B． 150° C． 110° D． 140° 8. 如图，一束平行光线 AB 与 DE 射向一水平镜面后被反射，此时∠1 =∠2 ，∠3 = ∠4 ， 则反射光线 BC 与 EF 的位置关系是 _______. （第 7 题图） （第 8 题图） 7.5 平行线的性质 -12- 9. 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，如图，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．若水面和杯底是互相平行的，且∠1=45°，∠2=122 °，则∠3=_____°，∠4=_____°. （第 9 题图） -14- 第七章 相交线与平行线 7.5 平行线的性质 第一课时 平行线的性质 1. B 提示：如图，∵ 直线 a∥b，∠1=50°， ∴∠3=∠1=50°，∴∠2=∠3=50°． 2. Ｂ 提示：如图，∵ 梯子的各条横档互相平行，∠1＝80°，∴∠3＝∠1＝80°，∴∠2＝180°－ ∠3＝100°． -15- 第七章 相交线与平行线 3. 35° 提示：∵a ∥b，∴ ∠3 = ∠1 =55° ， 又 ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠2=180°-90°- 55°=35°． 4. C 5. C 提示：如图，∵ 直尺的两边互相平行，∠1=25°，∴∠3=∠1=25°， ∴∠2=60°-∠3=60°-25°=35°． 6. 110° 提示：∵AB∥ED，∴∠BAC=∠ECF， 又 ∵∠ECF=70°，∴∠BAC=70°，∴∠BAF= 180°-∠BAC=180°-70°=110°． 7. 152° 提示：∵CB 平分∠ACD，∠ACD = 56°，∴∠BCD=28°，∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝28°， ∴∠EBC=180°-28°=152°. -16- 第七章 相交线与平行线 8. D 提示：如图，∵∠1+∠3=90°，∴∠3=90° -40°=50°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2= 180°-50°=130°． 9. Ｄ 提示：∵AB∥CD∥EF，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∠DCE＋∠CEF＝180°，∴∠BAC＋∠ACE ＋∠CEF＝360° 10. 114° 提示：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB= 180°，∵∠C=48°，∴∠CAB=180°-48°=132°， ∵AE 平分∠CAB，∴∠EAB= ∠CAB=66°， ∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°， ∴∠AED=180°-66°=114°. -17- 第七章 相交线与平行线 第二课时 平行线性质与判定的综合应用 1. C 提示：如图，∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠3= ∠5，∵∠3 =40° ，∴∠5 =40° ，∴∠4 =180° - 40°=140°. 2. C 提示：根据题意作出如下图形： 根据图形和平行线的性质可知 b⊥c． -18- 第七章 相交线与平行线 3. C 提示：A.∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C=180° （两直线平行，同旁内角互补），正确，不符合题意；B.∵∠1=∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），正确，不符合题意； C.∵AD∥BC，∴∠1=∠2，错误，符合题意； D.∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），正确，不符合题意. 4. B 提示：∵ 在同一平面内，直线 a∥b，直线 b∥c，∴ 直线 a 与直线 c 的位置关系是： a∥c． 5. 180° 提示：∵AB ∥EF，CD ∥EF，∴AB ∥ CD，∴∠1+∠2=180°. 6. D 提示：A.若 a∥b，c∥d，则无法判断 b、 d 的位置关系，故本选项错误；B.若 a∥b， a∥d，则 b∥d，故本选项错误；C.若 b∥c， a∥d，则无法判断 a、b 的位置关系，故本选项错误；D.若 a∥c，c∥d，则 a∥d，故本 选项正确. -19- 第七章 相交线与平行线 7. D 提示：如图，过点 B 作 BE∥AD，∵AD∥ CF，∴BE ∥AD ∥CF，∴ ∠1 = ∠A =110° ， ∠2+∠C=180°，∵∠ABC=150°，∠1+∠2= ∠ABC，∴∠2=40°，∴∠C=140°． 8. 平行 提示：∵AB∥DE，∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），又 ∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2=∠4，∴BC∥EF（同位角相等，两直线平行）． -20- 第七章 相交线与平行线 9. 45 58 提示：如图，由题意可知，EG∥FH， AB∥CD，CE∥DF， 又 ∵∠1=45°，∠2=122°， ∴∠3=∠1=45°， ∠ECD+∠2=180°， ∴∠ECD=180°-122°=58°， ∴∠4=∠ECD=58°. $$