7.2 相 交 线 课件 -2023-2024学年冀教版数学七年级下册

定义 如果两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角 图示 图示说明 如图，∠1 与∠3 是对顶角，∠2 与∠4 是对顶角，共 2 对 性质 对顶角相等；如图，∠1=∠3，∠2=∠4 [考点解读] 第一课时 相 交 线 -1- ■考点一 对 顶 角 1. 对顶角的定义及其性质 7.2 相 交 线 -2- 7.2 相 交 线 2. 对顶角的特征及识别 特征 （1）对顶角是成对存在的，单独一个角不能称为对顶角； （2）它们互为对顶角 识别方法 判断两个角是对顶角需满足以下三点： （1）两条直线相交形成的角； （2）两个角有公共顶点； （3）两个角没有公共边 -3- 7.2 相 交 线 典题精析 例 1 如图所示，直线 AB，CD 相交于点 O，∠DOE∶ ∠BOD=3∶2，OF 平分∠AOE，若∠AOC=24°，则∠EOF 的度数． -4- 7.2 相 交 线 解析：先根据对顶角的性质得出∠BOD 的度数，再根据∠DOE∶∠BOD = 3∶2，求出∠DOE 的度数，进而得出∠BOE 的度数，然后根据∠AOE+∠BOE= 180°，得出∠AOE 的度数，最后根据角平分线的定义，即可求出∠EOF 的度数. 答案：解：因为∠BOD 与∠AOC 是对顶角，所以∠BOD=∠AOC.因为∠AOC=24°，所以∠BOD= 24°.因为∠DOE∶∠BOD=3∶2，所以∠DOE= × 24°=36°， 所以∠BOE=∠DOE+∠BOD=36°+24°=60°. 因为∠AOE+ ∠BOE =180°， 所以∠AOE=180°-∠BOE=180°-60°=120°. 因为 OF 平分∠AOE， 所以∠EOF= ∠AOE= ×120°=60°. -5- 7.2 相 交 线 易错：解：因为∠DOE=∠AOC=24°，所以∠BOD= ×24°=16°，所以∠BOE=∠DOE+∠BOD=40°，所以∠AOE=180°-∠BOE=140°.因为 OF 平分∠AOE， 所以∠EOF= ∠AOE= ×140°=70°. 错因：找错对顶角，忽视了互为对顶角的两个角的边互为反向延长线. 满分备考：首先从复杂的图形中找出基本图形，再从基本图形中找到对顶角，然后寻找各角与已知角的关系，最后利用对顶角的性质和角平分线的定义解题. 名称 定义 图示说明 图例 （三线八角） 同位角 两个角分别在两条被截线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角 如图，∠1 和∠5， ∠2 和 ∠6，∠3 和∠7，∠4 和∠8 都构成同位角，它们都是成对出现，共 4 对 直线 AB，CD 被 直线 EF 所截构 成 8 个角 内错角 两个角都在两条被截线之间，并且在截线两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角 如图，∠3 和∠5， ∠4 和∠6 都构成内错角，它们都是成对出现，共 2 对 同旁内角 两个角都在两条被截线之间，并且在截线同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角 如图，∠4 和∠5，∠3 和∠6 都构成同旁内角，它们都是成对出现，共 2 对 -6- 7.2 相 交 线 ■考点二 同位角、内错角、同旁内角 1. 同位角、内错角、同旁内角的定义 -7- 特别提示： （1）同位角、内错角、同旁内角都是两条直线被第三条直线所截得到的，它们没有公共顶点，且成对出现； （2）不管是同位角、内错角、同旁内角，它们都是一条边在同一直线上，这条直线就是截线，另外两边分别在两条被截直线上； （3）同位角、内错角、同旁内角这三类角都表示一种位置关系，而不是大小关系. 7.2 相 交 线 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，在被截两直线的同一方 形如字母“F” （或倒置、反置、 旋转） 内错角 在截线两侧（交错），在被截两直线之间 形如字母“Z” （或倒置、反置、 旋转） 同旁内角 在截线同侧，在被截两直线之间 形如字母“U”（或倒置、反置、旋转） -8- 7.2 相 交 线 2. 同位角、内错角、同旁内角的识别 -9- 7.2 相 交 线 典题精析 例 2 如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、 同旁内角分别有哪些？ 请把它们一一写出来. -10- 7.2 相 交 线 解析：两角在截线同侧，在被截两直线的同一方，是同位角；两角在截线两侧（交错），在被截两直线之间，是内错角；两角在截线同侧，在被截直线之间，是同旁内角. 答案：解：同位角：∠3 与∠7，∠2 与∠8，∠4 与∠6；内错角：∠1 与∠4，∠3 与∠5，∠2 与∠6， ∠4 与∠8；同旁内角：∠3 与∠6，∠2 与∠5，∠2 与 ∠4，∠4 与∠5. 易错：解：同位角：∠3 与∠7，∠2 与∠8； 内错角：∠1 与∠4，∠3 与∠5； 同旁内角：∠3 与∠6，∠2 与∠5，∠2 与∠4. 错因：基本图形没有找全，导致漏找角. 满分备考：在复杂图形中分析同位角、内错角、同旁内角时，应该把图形分解成几个“两条直线与同一直线相交”的图形，灵活运用“F”“Z”“U” 形来辨识. -11- 7.2 相 交 线 ■一、对对顶角的定义和性质理解不清而致错 例 1 下列说法中，正确的是 （ ） A. 相等的两个角是对顶角 B． 对顶角不一定相等 C． 有公共顶点的两个角是对顶角 D． 两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点，无公共边的两个角是对顶角 [易错分析] -12- 7.2 相 交 线 解析：根据对顶角的性质知，对顶角相等，但是相等的两个角不一定是对顶角，故 A，B 错误.有公共顶点的两个角不一定是对顶角，还可能是邻补角， 故 C 错误.根据对顶角的定义知，D 正确. 答案：D 易错：B 错因：对对顶角的性质理解不正确. 易错警示：要结合图示加强对对顶角的定义和性质的理解，判断一个角是不是对顶角时，要看这两个角是不是同时满足有公共顶点及两个角的两边互为 反向延长线. -13- 7.2 相 交 线 ■二、对“三线八角”理解不清而致错 例 2 如图，与∠B 互为同旁内角的角有（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 -14- 7.2 相 交 线 解析：根据同旁内角的定义，可知互为同旁内角的两个角都在截线的同旁，且在两条被截直线之间，所以与∠B 互为同旁内角的角有∠AOB，∠BAO， ∠BAD，∠BCD，共 4 个. 答案：C 易错：A 错因：对“同旁内角”理解不准确、不到位. 易错警示：不能够找出全部与∠B 是同旁内角的角，常常把∠AOB 和∠BAO 漏掉.对这类问题，要把定义理解透彻，要找出关键的截线，然后利用同旁内角的“U”形图特征去查找. -15- 7.2 相 交 线 [题型探究] ■题型一 利用对顶角的性质求角度 例 1 如图所示，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分∠BOD，若∠AOC=70°，求∠BOE 的度数. 解析：首先根据对顶角的性质求出∠BOD 的度数，然后利用角平分线的性质即可求出∠BOE 的度数. 答案：解：因为直线 AB，CD 相交于点 O， 所以∠BOD=∠AOC=70°. 因为 OE 平分∠BOD， 所以∠BOE= ∠BOD=35°. 题型解法：对顶角相等可以在说明角的相等关系或计算角度时直接当已知条件使用，不用另外再说明. -16- 7.2 相 交 线 ■题型二 同位角、内错角、同旁内角的识别 例 2 （广州中考）如图，直线 AD，BE 被直线 BF 和 AC 所截，则∠1 的同位角和∠5 的内错角分别是 （ ） A． ∠4，∠2 B． ∠2，∠6 C． ∠5，∠4 D． ∠2，∠4 解析：根据同位角、内错角的定义即可知，∠1 的同位角是∠2，∠5 的内错角是∠6. 答案：B 题型解法：在同位角、内错角、同旁内角的识别中，牢记同位角、内错角、同旁内角的定义是前提，掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z” 形，同旁内角的边构成“U”形是解题的关键． 垂线和垂直 定义 当两条直线相交所成的四个角中有一个是 90°时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足 图示 -17- 7.2 相 交 线 [考点解读] 第二课时 垂 线 ■考点一 垂线的定义及其画法 1. 垂线和垂直的定义 垂直的表示 记作：a⊥b 或 b⊥a，若要强调垂足，则记作： a⊥b，垂足为点 O 或 a⊥b 于点 O 特别说明 两条线段互相垂直、两条射线互相垂直、线段与射线互相垂直、线段与直线互相垂直、射线与直线互相垂直，都是指它们所在的直线互相垂直 -18- 7.2 相 交 线 续表 文字叙述 图示说明 图示 已知夹角为直角可以得到两直线垂直（判定） 如图，若∠AOD=90°，则 AB⊥CD 由两直线垂直可以得到夹角为 90°（性质） 如图，若 AB⊥CD，则 ∠AOD= ∠AOC=∠BOD =∠COB=90° -19- 7.2 相 交 线 2. 垂线定义的双重作用 步骤 具体画法 三角尺 量角器 画垂线 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 将量角器的 0°刻度线与已知直线重合 二移 沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 沿已知直线移动量角器，使 90°的刻度线过已知点，作出 90°刻度线上的另一点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线 -20- 7.2 相 交 线 3. 垂线的画法 注意事项 （1）过一点画线段（或射线）的垂线，就是画这条线段（或射线）所在直线的垂线； （2）画线段（或射线）的垂线时，有时要将线段延长（或将射线反向延长）后再画垂线； （3）画垂线时是实线， 如需延长线段或反向延长射线， 则用虚线延长或反向延长 -21- 7.2 相 交 线 续表 -22- 7.2 相 交 线 典题精析 例 1 如图，∠1=30°，AB⊥CD，垂足为点 O，直线 EF 经过点 O．求∠2，∠3 的度数． 解析：先利用对顶角的性质求出∠3 的度数，再根据AB⊥ CD 得∠BOD = 90°，进而求出∠2 的度数. 答案：解：因为∠3 和∠1 是对顶角，所以∠3= ∠1=30°.因为 AB⊥CD，所以∠BOD=90°，所以∠3+ ∠2=90°，所以∠2=90°-∠3=90°-30°=60°. 易错：解：因为∠2 和∠1 是对顶角， 所以∠2=∠1=30°，∠3=90°-30°=60°. 错因：对顶角找错，误认为∠2 和∠1 是对顶角. 满分备考：首先在图中找出各角之间的位置关系及数量关系，再根据对顶角的性质，垂线的定义进行解答. -23- 7.2 相 交 线 ■考点二 垂线的性质 性质 经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 详解 “有”表示存在，“只有”表示唯一，也就是肯定有一条并且不能多于一条 -24- 7.2 相 交 线 典题精析 例 2 下列说法中错误的是 （ ） A． 在同一平面内，过直线上一点，有且只有一条直线垂直于已知直线 B． 在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线垂直于已知直线 C． 在同一平面内，过射线的端点与该射线垂直的直线有且只有一条 D． 在同一平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线 解析：根据垂线的性质知，A，B，C 正确；在同一平面内，有无数条直线垂直于已知直线，故 D 错误. 答案：D 易错：C 错因：没有理解垂线的性质中“过一点”的含义. 满分备考：在同一平面内，一条直线的垂线有两种情况：（1）过一点画已知直线的垂线只有 1 条；（2）不限制过某点时，画已知直线的垂线有无数条. 性质 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短 图例 图例说明 如图，线段 AD 是点 A 与直线 l 上各点所连线段中最短的 性质解读 （1）垂线段是一条线段，它是有长度的； （2）“一点”必须在直线外，若这点在直线上，就构不成垂线段，故这一点不能在直线上 -25- 7.2 相 交 线 ■考点三 垂线段的性质及点到直线的距离 1. 垂线段的性质 名称 定义 图示 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离.如图，线段 PO 的长度为点 P 到直线 l 的距离 -26- 7.2 相 交 线 2. 点到直线的距离 -27- 7.2 相 交 线 典题精析 例 3 如图所示，码头、火车站分别位于 A，B 两点，直线 a 和 b 分别表示铁路与河流． （1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由； （2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由； （3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由． -28- 7.2 相 交 线 解析：（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，依据“两点之间线段最短”解答；（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离，依据“垂线段最短”解答；（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离，依据“垂线段最短”解答． 答案：解：如答案图所示： （1）沿 BA 走最近，理由：两点之间线段最短. （2）沿 AC 走最近，理由：垂线段最短. （3）沿 BD 走最近，理由：垂线段最短． -29- 7.2 相 交 线 易错：解：如易错图所示： （1）沿 BA 走最近，理由：两点之间线段最短. （2）沿 AC 走最近，理由：垂线段最短. （3）沿 BD 走最近，理由：垂线段最短． 错因：在利用垂线段最短时，分不清应过点作哪条直线的垂线. 满分备考：根据具体问题正确判断出是点到点的距离还是点到直线的距离是解答问题的关键. -30- 7.2 相 交 线 ■不理解垂线的概念，不能准确画图而出现错误 例 如图，在△ABC 中，作 直线 BD⊥AB，交 AC 于点 D. 解析：理解垂线的概念，根据题意和画垂线的步骤画出所需要的图形. 答案：解： 易错：解： 错因：对垂线的概念不理解，不能准确画出图形. 易错警示：作直线BD⊥AB，实际上是过点 B 作直线 AB 的垂线，使 BD 与 AB 形成的角是直角，不要出现如图的情况. [易错分析] -31- 7.2 相 交 线 [题型探究] ■题型一 点到直线的距离 例 1 （广州中考）如图，点 A，B，C 在直线 l 上， PB⊥l，PA=6 cm，PB=5 cm，PC=7 cm，则点 P 到直线 l 的距离是____cm. 解析：因为 PB⊥l，PB=5 cm，所以点 P 到直线 l 的距离是垂线段 PB 的长度，为 5 cm. 答案：5 题型解法：解答此类问题，关键是理解点到直线的距离的定义. -32- 7.2 相 交 线 ■题型二 垂线及其性质的应用 例 2 如图，平面上有 A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池. （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短？并说明理由. -33- 7.2 相 交 线 解析：（1）根据“两点之间，线段最短”，连接 AD，BC，交于点 H，则 H 是蓄水池的位置； （2）由“垂线段最短”可知，开渠最短的路线，要过点 H 作一条垂直于 EF 的线段. 答案：解：（1）两点之间，线段最短.如图，连接 AD，BC，交于点 H，则 H 是蓄水池的位置，它到四个村庄的距离之和最小. （2）如图，过 H 作 HG⊥EF，垂足为 G，沿 HG 开渠最短，理由是“垂线段最短”. 题型解法：本题第（1）问的解题依据为“两点之间，线段最短”；第（2）问的解题依据为“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”. 7.2 相 交 线 -1- ■考点 1 相交线与对顶角 1. 如图，∠1、∠2 是对顶角的是 （ ） ▍考点集训/夯实基础 第一课时 相 交 线 7.2 相 交 线 -2- 2. 如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，∠DOA 的对顶 角 是 ______， 若∠AOC =50。 ， 则∠BOD =______， ∠COB=______． （第 2 题图） （第 3 题图） 3.（教材 P37，AT1 变式）如图，直线 AB，CD，EF 相交于点O，∠1=50°，∠2=100°． （1）求∠3 的度数； （2）图中的对顶角共有几对？请以等式的形式把它们写出来. 7.2 相 交 线 -3- ■考点 2 同位角、内错角和同旁内角 4. 如图，∠1 与∠2 是同位角的图形有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 （第 4 题图） 7.2 相 交 线 -4- 5. 如图，是内错角的是 （ ） A. ∠1 和∠2 B. ∠3 和∠4 C. ∠2 和∠3 D. ∠1 和∠4 （第 5 题图） （第 6 题图） 6. 如图，直线 AB、CD 与直线 EF、GH 分别相交，图中的同旁内角共有 （ ） A. 4 对 B. 8 对 C. 12 对 D. 16 对 7.2 相 交 线 -5- 7. 如图，下列说法中不正确的是 （ ） A． ∠1 和∠3 是同旁内角 B． ∠2 和∠3 是内错角 C． ∠2 和∠4 是同位角 D． ∠3 和∠5 是对顶角 （第 7 题图） 7.2 相 交 线 -6- ■考点 1 认识垂线 1. 如图中，一共有 ________ 组垂线． （第 1 题图） （第 2 题图） 2.（教材 P40，练习 T1 改编）如图，过 A 点画已知直线的垂线． ▍考点集训/夯实基础 第二课时 垂 线 7.2 相 交 线 -7- ■考点 2 垂线的性质 3. 如图，点 P 在直线 AB 上，点 C，D 在直线 AB 的上 方，且PC⊥PD，∠APC=28°，则∠BPD 的度数为（ ） A． 28° B． 60° C． 62° D． 152° 4. 如图，直线 EO⊥CD，垂足为点 O，AB 平分∠EOD，则∠BOD 的度数为 （ ） A. 120° B. 130° C. 135° D. 140° 5. 将两个直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOC=20°，则∠BOD= （ ） A. 10° B. 20° C. 75° D. 80° （第 3 题图） （第 4 题图） （第 5 题图） 7.2 相 交 线 -8- ■考点 3 垂线段及其性质 6. 下列说法中正确的个数是 （ ） ①从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离；②过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④画出已知直线外一点到已知直线的距离. A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 7. 如图，点 M、N 分别在直线 AB、CD 上，按要求作图． （1）过 M 点作 CD 的垂线交 CD 于 E 点，过 E 作直线 MN 的垂线段，垂足为 F； （2）M 点到 CD 的距离是哪条线段的长？ （3）比较线段 ME，EF，MN 的大小. （第 7 题图） -3- 第七章 相交线与平行线 7.2 相 交 线 第一课时 相 交 线 1. C 提示：A 项∠1 与∠2 有一条边在同一条直线上，另一条边不在同一条直线上，不是对顶角；B 项∠1 与∠2 没有公共顶点，不是对顶角；C 项∠1 与∠2 的两边互为反向延长线，是对顶角；D 项∠1 与∠2 有一条边在同一条直线上，另一条边不在同一条直线上，不是对顶角. 2. ∠BOC 50° 130° 提示：对顶角有一个公共顶点，其中一个角的两条边是另一个角的两条边的反向延长线，对顶角的度数相等．①∠DOA 的对顶角是∠BOC；② 若∠AOC =50 °，而∠BOD 是∠AOC 的对顶角，∠COB 是∠AOC 的补角，所以∠BOD=∠AOC=50°，∠COB = 180 °-∠AOC=130°． -4- 第七章 相交线与平行线 3. 解：（1）因为∠1=50°，∠2=100°， 所以∠BOD=180°-∠1-∠2=30°， 所以∠3=∠BOD=30°； （2）图中的对顶角共有 6 对，分别是： ∠3=∠BOD；∠AOE=∠BOF； ∠COE=∠2；∠COB=∠AOD； ∠1=∠AOF；∠EOD=∠COF. 4. C 提示：图③中∠1 与∠2 不在被截两线的同方向上，故∠1 与∠2 不是同位角， 其他三个图中∠1 与∠2 都是同位角. 5. B 提示：只有∠3 和∠4 两角在截线两侧、被截两线之间，符合内错角的定义. -5- 第七章 相交线与平行线 6. D 提示：直线 AB、CD 被 EF 所截有 2 对同旁内角，直线 AB、CD 被GH 所截有 2 对同旁内角，直线 CD、EF 被 GH 所截有 2 对同旁内角，直线 CD、GH 被 EF 所截有 2 对同旁内角，直线 GH、EF 被 CD 所截有 2 对同旁内角，直线 AB、EF 被 GH 所截有 2 对同旁内角，直线 AB、GH 被 EF 所截有 2 对同旁内角，直线 EF、GH 被 AB 所截有 2 对同旁内角，共 16 对同旁内角． 7. C 提示：根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义可知，A、B、D 正确，C 错误. -6- 第七章 相交线与平行线 第二课时 垂 线 1. 4 提示：根据垂直的定义，可得图中有 4 组垂线. 2. 解：根据题干，分析画图如下： 3. C 提示：因为 PC⊥PD，所以∠CPD=90°， 又因为∠APC=28°， 所以∠BPD=180°-∠CPD-∠APC=62°. 4. C 提示：因为 EO⊥CD，所以∠EOD=90°，因为AB平分∠EOD，所以∠AOD= ∠EOD=45°，所以∠BOD=180°-45°=135°． 5. B 提示：由题图可得，∠AOC、∠BOD 都是∠BOC 的余角，则∠BOD=∠AOC =20°． -7- 第七章 相交线与平行线 6. A 提示：①从直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这点到已知直线的距离，故错误；②垂线是直线，无法测量，故错误；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；④可以画线段，距离不能画出，只能测量，故错误.综上所述，只有③正确． 7. 解：（1）如图所示； （2）M 点到 CD 的距离是线段 ME 的长； （3）根据垂线段最短得，ME＜MN，EF＜ME， 所以 EF＜ME＜MN． $$