第九章《不等式与不等式组》　讲义　　2023—2024学年人教版数学七年级下册

第9章《不等式与不等式组》 1、理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质； 2、理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法； 3、会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组； 4、会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题； 5、通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径。 知识点1：不等式 1、 不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做________________。 ①不等式的解：能使不等式成立的________________的值叫做不等式的______________。 ②不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的______________。 解集的表示一般有两种：一种是用_____________的不等式表示，例如，等； 另一种是用_____________表示，如下图所示： ③解不等式：求不等式的解集的过程叫做 ． 2、 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向________________。 用式子表示：如果a＞b，那么________________。 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向________________。 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么________________。 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向________________。 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么________________。 知识点2：一元一次不等式 1、不等式：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个_____________，并且未知数的最高次 数是_____________，这样的不等式叫做_____________。 ①_______________________________________叫做一元一次不等式的标准形式． 2、解法： ①解一元一次不等式步骤：去___________、去___________、___________、__________、系数化为________。 ②不等式解集的表示： 在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定________，二是定________，三是定_______。 3、应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清________________________________； （2）设：设出适当的________________； （3）找：找出题中的________关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“________”“________”“________”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案。 ②列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“________”、“________”、 “________”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键。 知识点3：一元一次不等式组 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个________________________。 1、不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的________________。 2、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做________不等式组。  3、一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在________上，取所有解集的________部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的________________。 4、一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个________； ②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案。 考点1：不等式的基本性质 不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 【例1】下列不等式：①ac＞bc；②﹣ma＜mb；③ac2＞bc2；④＞1，一定能推出a＞b的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】若a＞b，则下列结论：①a+x＞b+x；②＞；③ax2＞bx2；④ab＜b2；⑤﹣|a|＜﹣|b|． 其中一定成立的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】下列式子正确的是（　　） A．若＜，则x＜y B．若bx＞by，则x＞y C．若＝，则x＝y D．若mx＝my，则x＝y 【变式1-3】若ab＜0，且a＜b，下列解不等式正确的是（　　） A．由ax＜b，得x＜ B．由（a﹣b）x＞2，得x＞ C．由bx＜a，得x＞ D．由（b﹣a）x＜2，得x＜ 【练习】 1、若 ，则下列各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 2、下列不等式变形正确的是（　　） A．由a＞b，得a﹣b＞0 B．由a＞b，得ac＞bc C．由a＞b，得 D．由a＞b，得a2＞ab 3、已知a＞b，则﹣2a　 　﹣2b（填“＞”、“＜”或“＝”号）. 考点2：由实际问题抽象出一元一次不等式 由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系。 【例2】某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【变式2-1】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（　　） A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8 【变式2-2】篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队预计在2016﹣2017赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是（　　） A．2x+（32﹣x）≥48 B．2x﹣（32﹣x）≥48 C．2x+（32﹣x）≤48 D．2x≥48 【变式2-3】某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为（　　） A．3×5+3×0.8x≤27 B．3×5+3×0.8x≥27 C．3×5+3×0.8（x﹣5）≤27 D．3×5+3×0.8（x﹣5）≥27 【练习】 1、一款皮大衣进价2000元，标价3000元，若商场要求以利润率不低于5%的售价打折出售，则售货员出售此商品最低可打（　　） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 2、一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明获得优秀（90或90分以上），则小明至少答对了多少道题？ 3、甲、乙两队进行篮球对抗赛，每场比赛都要分出胜负，比赛规定每队胜1场得3分，负1场扣1分，两队一共比赛了10场，若甲队得分不低于14分，则甲队至少要胜　 　场． 考点3：解一元一次不等式 解一元一次不等式组的步骤： （1） 求出每个不等式的解集； （2） 求出每个不等式的解集的公共部分；（一般利用数轴） （3） 用代数符号语言来表示公共部分。（也可以说成是下结论） 【例3】解不等式＞﹣1，并把解集在数轴上表示出来． 【变式3-1】代数式的值不大于的值，求x的范围． 【变式3-2】解不等式x﹣＜，并把解集在数轴上表示出来． 【变式3-3】解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上． 【练习】 1、一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（　　） A． B． C． D． 2、不等式 在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3、已知x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4不是这个不等式的解，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣2 B．a≤1 C．﹣2＜a≤1 D．﹣2≤a≤1 4、设m为整数，若方程组的解x、y满足，则m的最大值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5、若（m﹣1）x|m|+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝　 　． 6、不等式组 的解集在数轴上可以表示为（　　） A． B． C． D． 【考点4 解一元一次不等式组】 不等式组的解的求解过程：分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）。 口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解。 【例4】求不等式组：的整数解． 【变式4-1】解不等式组：，并将它的解集在数轴上表示出来． 【变式4-2】解不等式组：，并求它的整数解的和． 【变式4-3】解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并求不等式组的整数解． 【练习】 1、解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示． 2、解不等式组 ，并求出它的所有整数解的和. 3、解一元一次不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来 . 【考点5 根据不等式（组）的解集求参数】 【例5】已知x＝3是关于x的不等式3x﹣的解，求a的取值范围． 【变式5-1】若不等式组的解集为3≤x≤4，求不等式ax+b＜0的解集． 【变式5-2】若不等式组①有解；②无解．请分别探讨a的取值范围． 【变式5-3】定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式x＜﹣3的解都是不等式x＜﹣1的解，则x＜﹣3是x＜﹣1的蕴含不等式． （1）在不等式x＞1，x＞3，x＜4中，是x＞2的蕴含不等式的是　 　； （2）若x＞﹣6是3（x﹣1）＞2x﹣m的蕴含不等式，求m的取值范围； （3） 若x＜﹣2n+4是x＜2的蕴含不等式，试判新x＜﹣n+3是否是x＜2的蕴含不等式，并说明理由． 【练习】 1、已知关于x、y的方程组 的解都为非负数，且满足 ， ，若 ，则z的取值范围是　 　 【考点6 利用整数解求参数】 【例6】已知不等式3x﹣m＜4（x+1）的负整数解有且只有三个，求m的取值范围． 【变式6-1】已知关于x的不等式组的整数解有5个，求a的取值范围． 【变式6-2】关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围． 【变式6-3】若不等式组 （1）当a＝2时，解这个不等式组； （2）若这个不等式组的解集不是空集，求a的取值范围； （3）若这个不等式组的解集有且只有2018个整数解，求a的取值范围． 【练习】 1、已知关于x、y的二元一次方程组 的解满足 ，且关于x的不等式组 有解，那么所有符合条件的整数a的个数为（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2、已知关于 的不等式组 有且仅有3个整数解，则 的取值范围是　 　. 【考点7 方程组的解构造不等式（组）求参数】 【例7】若二元一次方程组的解x＞y，求k的取值范围． 【变式7-1】已知关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式组，则m的取值范围是什么？ 【变式7-2】是否存在整数k，使方程组的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由． 【变式7-3】已知关于xy的方程组的解满足x≥0，y＜1 （1）求m的取值范围； （2）在m的取值范围内，当m取何整数时，关于x的不等式2x﹣mx＞2﹣m的解集为x＜1？ 【练习】 1、若关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于x的方程 的解为非负整数，则符合条件的整数 的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2、若整数a是使得关于x的不等式组 有且仅有4个整数解，且使关于y的一元一次方程 ＝ ＋1的解满足y≤87.则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．﹣35 B．﹣30 C．﹣24 D．﹣17 3、若关于 x 的不等式组 恰好只有 2 个整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（　　） A．3 B．4 C．6 D．1 4、已知关于x的不等式组 的整数解共有2个，则m的取值范围是　 　 【考点8 二元一次方程组与不等式的应用】 【例8】某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元． （1）求出A型、B型污水处理设备的单价； （2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案． 【变式8-1】某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【变式8-2】某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元． （2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ 【变式8-3】泉州市某校准备组织教师、学生、家长到福州进行参观学习活动，旅行社代办购买动车票，动车票价格如表所示： 运行区间 大人票价 学生票价 出发站 终点站 一等座 二等座 一等座 二等座 泉州 福州 65（元） 54（元） 65（元） 40（元） 根据报名总人数，若所有人员都买一等座的动车票，则共需13650元；若都买二等座动车票，则共需8820元．已知家长人数是教师人数的2倍． （1）设参加活动的老师有m人，请直接用含m的代数式表示：教师和家长都购买一等动车票所需的总费用； （2）求参加活动的教师、家长、学生各有多少人？ （3）如果二等座动车票共买到x张，其中学生全部购买二等座动车票，剩余的人员买一等座动车票，且买票的总费用不低于9000元，求x的最大值． 【练习】 1、疫情无情，人间有爱.为扎实做好复工复课工作，教育局准备租借甲、乙两种型号的车为全市各中小学配送防疫物资.已知2辆甲型车和1辆乙型车载满物资一次可运走10吨；用1辆甲型车和2辆乙型车载满物资一次可运走11吨. （1）1辆甲型车和1辆乙型车都载满物资一次可分别运送多少吨？ （2）教育局现有防疫物资37吨需要配送，计划同时租用甲、乙两种型号车共10辆，一次运完，请你帮教育局设计租车方案； （3）若1辆甲型车需租金100元/次，1辆乙型车需租金120元/次.请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费用. 2、红星商场购进A，B两种型号空调，A型空调每台进价为m元，B型空调每台进价为n元，5月份购进5台A型空调和7台B型空调共43000元；6月份购进7台A型空调和6台B型空调共45000元. （1）求m，n的值； （2）7月份该商场计划购进这两种型号空调共78000元，其中B型空调的数量不少于12台，试问有哪几种进货方案？ 3、某中学后勤部门每年都要更新一定数量的书桌和椅子.已知2019年采购的书桌价格为120元/张，椅子价格为40元/张，总支出费用34000元；2020年采购的书桌价格上涨为130元/张，椅子价格保持不变，且采购的书桌和椅子的数量与2019年分别相同，总支出费用比2019年多2000元. （1）求2019年采购的书桌和椅子分别是多少张？ （2）与2019年相比，2021年书桌的价格上涨了a%，椅子的价格上涨了10%，但采购的书桌的数量减少了10%，椅子的数量减少了50张，且2021年学校采购桌子和椅子的总支出费用不超过34720元，求a的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【考点9 利用不等式解分段计费问题】 【例9】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月） 阶梯 电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 0＜x≤180 a 二档 180＜x≤400 b 三档 x＞400 0.95 （1）已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48元请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． （2）5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量． 【变式9-1】“端午节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案． 甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95%收费； 乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90%收费． 设某位顾客购买了x元的该种粽子． （1）补充表格，填写在“横线”上： x （单位：元） 实际在甲超市的花费 （单位：元） 实际在乙超市的花费 （单位：元） 0＜x≤200 x x 200＜x≤300 　 　 x x＞300 　 　 　 　 （2） 列式计算说明，如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过200元，那么到哪家超市花费更少？ 【变式9-2】为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费见价目表．例如：某居民元月份用水9吨，则应收水费2×6+4×（9﹣6）＝24元 每月用水量（吨） 单价 不超过6吨 2元/吨 超过6吨，但不超过10吨的部分 4元/吨 超过10吨部分 8元/吨 （1）若该居民2月份用水12.5吨，则应收水费多少元？ （2）若该居民3、4月份共用15吨水（其中4月份用水多于3月份）共收水费44元（水费按月结算），则该居民3月、4月各用水多少吨？ 【变式9-3】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表所 示是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格　 　每户每月用水量 单价：元/吨　 　单价：元/吨　 　17吨以下 　a 　0.80 　超过17吨但不超过30吨的部分 　b 　0.80 　超过30吨的部分 　6.00 　0.80 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费用） 已知小明家2017年5月份用水 20 吨，交水费66元；6月份用水25吨交水费91元 （1）求a、b的值； （2）为了节约开支，小明家计划把7月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小明家的月收入为9200元，则小明家7月份最多能用水多少吨？ 【考点10 一元一次不等式组与方案设计问题】 【例10】某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元． （1）求甲、乙商品每件各多少元？ （2）本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元， ①最多可采购甲商品多少件？ ②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金． 【变式10-1】（2019春•随县期末）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 【变式10-2】（2019•泸州）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择． 【变式10-3】（2018春•莒县期末）为解决中小学大班额问题，某县今年将改扩建部分中小学，根据预算，改扩建3所中学和2所小学共需资金6200万元，改扩建1所中学和3所小学共需资金4400万元 （1）改扩建1所中学和1所小学所需资金分别是多少万元？ （2）该县计划改扩建中小学共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过8400万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到中小学的改扩建资金分别为每所500万元和300万元，请问共有哪几种改扩建方案？ 考点11 新定义 1、对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 ，即：当n为非负整数时，如果 ，则 .如： ， .如果 ，则 　 　. 2、对于任意实数，m，n，定义一种运算： ，请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式 的解集中只有一个整数解，则实数a的取值范围是　 　. 3、定义：对于实数 ，符号 表示不大于 的最大整数.例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3.如果 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4、对非负实数n“四舍五入”到个位的值记为 ，即：当n为非负整数时，如果 ，则 ．反之，当n为非负整数时，如果 时，则 ，如 ， ， ， ，…若关于x的不等式组 的整数解恰有3个，则a的范围（） A．1.5≤a＜2.5 B．0.5＜a≤1.5 C．1.5＜a≤2.5 D．0.5≤a＜1.5 5、对非负数x“四舍五入”到个位的值记为〈x〉，即当n为非负整数时，若n﹣0.5≤x＜n+0.5，则〈x〉＝n.反之，当n为非负整数时，若〈x〉＝n，则n﹣0.5≤x＜n+0.5.如〈1.34〉＝1，〈4.86〉＝5. （1）〈π〉＝　 　； （2）若〈0.5x﹣1〉＝7，则实数x的取值范围是　 　 ； （3）若关于x的不等式组 的整数解恰有4个，求a的取值范围； （4）满足〈x〉＝ x的所有非负数x的值为 　 　. 综合大题 1、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 ， ，其中a，b满足 .将点B向右平移26个单位长度得到点C，如图①所示. （1）求点A，B，C的坐标； （2）点M，N分别为线段 ， 上的两个动点，点M从点C向左以1.5个单位长度/秒运动，同时点N从点O向点A以2个单位长度/秒运动，如图②所示，设运动时间为t秒（ ）. ①当 时，求t的取值范围； ②是否存在一段时间，使得 ？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由. $$