专题07 集合的概念-2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题07 集合的概念 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 知识点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 知识点诠释： （1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 【典例例题】 题型一：集合的含义 【典例1-1】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将；③方程的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（    ） A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【典例1-2】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）下列各组对象可构成一个集合的是（    ） A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生 C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生 【变式1-1】（2024·高一·江苏淮安·开学考试）下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 【变式1-2】（2024·高一·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的偶数 B．π的近似值 C．方程的实数根 D．最小的正整数 题型二：元素与集合的关系 【典例2-1】（2024·高一·江西·阶段练习）若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高一·全国·专题练习）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2024·高一·全国·专题练习）用符号“”或“”填空： （1）若，则-1 A； （2）若，则3 B； （3）若，则8 C，9.1 C. （4） ； （5） ； （6）2017 . （7） ， ， ， ． 题型三：集合中元素的特性及应用 【典例3-1】（2024·高一·云南昆明·期中）英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 【典例3-2】（2024·高一·安徽铜陵·阶段练习）已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【变式3-1】（2024·高三·全国·专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式3-2】（2024·高一·全国·专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 【变式3-3】（2024·高一·山东枣庄·阶段练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【变式3-4】（2024·高一·重庆渝中·阶段练习）已知集合，其中，则实数 . 题型四：用列举法表示集合 【典例4-1】（2024·高一·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 【典例4-2】（2024·高一·北京·期中）已知集合，,则 （用列举法表示）. 【变式4-1】（2024·高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 【变式4-2】（2024·高一·江苏·专题练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程的实数根组成的集合B； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C. 【变式4-3】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）已知，用列举法表示A. 【变式4-4】（2024·高一·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1) (2)． 题型五：用描述法表示集合 【典例5-1】（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    【典例5-2】（2024·高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【变式5-1】（2024·高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【变式5-2】（2024·高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合. (1)大于3的全体偶数构成的集合； (2)平面直角坐标系中，轴上的所有点. 【变式5-3】（2024·高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合. (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数图象上的所有点组成的集合. 【变式5-4】（2024·高一·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 题型六：集合表示法的综合应用 【典例6-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知，若，则实数的值为 ． 【典例6-2】（2024·高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【变式6-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 题型七：集合含义的拓展 【典例7-1】（2024·高一·全国·期末）定义运算，若集合，则 . 【典例7-2】（2024·高一·上海青浦·期中）已知非空数集满足：对任意给定的（可以相同），有且.若集合中最小的正数为6，则集合 . 【变式7-1】定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 【变式7-2】（2024·高一·山东淄博·阶段练习）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【变式7-3】（2024·高一·上海松江·期中）定义集合运算，设集合，则集合 . 【变式7-4】（2024·高一·北京·期中）设A是实数集的非空子集，称集合为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 2．（2024·高一·江苏·专题练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 3．（2024·高一·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 4．（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·河南南阳·阶段练习）已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（  ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 6．（2024·高一·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 7．（2024·高二·河南焦作·阶段练习）已知集合，且，则取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高一·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2024·高一·全国·专题练习）已知，问：三个数中，的元素是 . 10．（2024·高一·江苏·专题练习）用符号“”或“”填空：①设集合A是由正整数的全体构成的集合，则0 A， A， A；②设集合B是由小于的实数的全体构成的集合，则 B， B. 11．（2024·高一·四川德阳·期末）若，则 ． 12．（2024·高一·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 13．（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）用列举法表示集合可以是 ． 14．（2024·高一·河北沧州·阶段练习）定义集合､的一种运算：，若，，则 . 15．（2024·高一·上海普陀·期末）对于任意非空集合、，定义，若，则 （用列举法表示） 16．（2024·高一·上海闵行·期中）任意两个正整数、，定义某种运算：，则集合中元素的个数是 三、解答题 17．（2024·高一·全国·课堂例题）用列举法表示下列集合： (1)由方程的所有实数解构成的集合； (2)平方小于200的所有素数之集． 18．（2024·高一·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)方程组的解集； (2)所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (6)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 19．（2024·高一·北京·阶段练习）若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)设集合是“好集”，求证：若，则； 20．（2024·高一·全国·课后作业）集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求： (1)A中至少有几个元素？ (2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？ (3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 集合的概念 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 知识点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 知识点诠释： （1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 【典例例题】 题型一：集合的含义 【典例1-1】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将；③方程的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（    ） A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【解析】①联合国常任理事国有5个国家，满足确定性，可以构成集合； ②坪高全体游泳健将，元素不具有确定性，不能构成集合； ③方程的实数根，具有确定性，能构成集合； ④全国著名的歌手，元素不具有确定性，不能构成集合. 故选：A 【典例1-2】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）下列各组对象可构成一个集合的是（    ） A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生 C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生 【答案】D 【解析】由集合的确定性可得，仅“我校学生中的女生”满足确定性. 故选：D 【变式1-1】（2024·高一·江苏淮安·开学考试）下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 【答案】C 【解析】A、B、D：由于描述中标准不明确，无法确定集合； C：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合. 故选：C 【变式1-2】（2024·高一·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的偶数 B．π的近似值 C．方程的实数根 D．最小的正整数 【答案】B 【解析】对A，不超过20的偶数是确定的，可以组成集合； 对B，π的近似值无法确切取到，不能组成集合； 对C，方程的实数根是确定的，就是1，可以组成集合； 对D，最小的正整数是确定的，是1，可以组成集合， 故选：B 题型二：元素与集合的关系 【典例2-1】（2024·高一·江西·阶段练习）若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 故选：B. 【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A 【变式2-1】（2024·高一·全国·专题练习）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3. 故选：D. 【变式2-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 集合中的方程为， 解得或， ， 故选：C． 【变式2-3】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【变式2-4】（2024·高一·全国·专题练习）用符号“”或“”填空： （1）若，则-1 A； （2）若，则3 B； （3）若，则8 C，9.1 C. （4） ； （5） ； （6）2017 . （7） ， ， ， ． 【答案】 【解析】（1），故； （2），故； （3），故； （4），； （5） （6）因为2017不能被表示为的形式，所以； （7） 题型三：集合中元素的特性及应用 【典例3-1】（2024·高一·云南昆明·期中）英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 【答案】A 【解析】interesting的所有字母组成的集合为，共有7个元素． 故选：A 【典例3-2】（2024·高一·安徽铜陵·阶段练习）已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【解析】根据集合中元素互异性可知，构成的四边形边长不相等， 其中平行四边形，矩形和菱形对边均相等，不合要求，梯形的四边可能互不相等，故可能为梯形. 故选：D 【变式3-1】（2024·高三·全国·专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 【变式3-2】（2024·高一·全国·专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 【答案】且且 【解析】由元素的互异性，可知， 解得:且且. 故答案为：且且 【变式3-3】（2024·高一·山东枣庄·阶段练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】0 【解析】因为，且，所以， 则有， 所以，且，得， 所以， 故答案为：0 【变式3-4】（2024·高一·重庆渝中·阶段练习）已知集合，其中，则实数 . 【答案】 【解析】①当时，解得， 当时，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去； 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； ②当时，解得， 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； 当时，， 得到，符合题意，所以. 故答案为：. 题型四：用列举法表示集合 【典例4-1】（2024·高一·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 【答案】 【解析】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 【典例4-2】（2024·高一·北京·期中）已知集合，,则 （用列举法表示）. 【答案】 【解析】因为，， 所以. 故答案为： 【变式4-1】（2024·高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 【解析】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为； （2） （3） （4） （5）由题意， 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋， 故由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合为. 【变式4-2】（2024·高一·江苏·专题练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程的实数根组成的集合B； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C. 【解析】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）因为方程的实数根为，所以. （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. 【变式4-3】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）已知，用列举法表示A. 【解析】由，则， 所以，，，，，，， 则列举法表示A为. 【变式4-4】（2024·高一·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1) (2)． 【解析】（1），∴或，； （2），，． 题型五：用描述法表示集合 【典例5-1】（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    【答案】 【解析】由图知，，，所以由集合的描述法可知 . 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【解析】（1） 因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3）设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 【变式5-1】（2024·高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【解析】（1）不等式的解集用描述法表示为. （2）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （3）集合用描述法表示为. （4）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （5）集合用描述法表示为. （6）集合用描述法表示为. （7）方程的解集用描述法表示为. 【变式5-2】（2024·高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合. (1)大于3的全体偶数构成的集合； (2)平面直角坐标系中，轴上的所有点. 【解析】（1）大于3的全体偶数构成的集合为. （2）平面直角坐标系中，轴上的所有点为 【变式5-3】（2024·高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合. (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数图象上的所有点组成的集合. 【解析】（1）设方程的实数根为，并且满足条件， 用描述法表示为. （2）设大于10且小于20的整数为x，它满足条件，且， 故用描述法表示为. （3）二次函数图象上的所有的点用描述法表示为. 【变式5-4】（2024·高一·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【解析】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为 ． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． 题型六：集合表示法的综合应用 【典例6-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知，若，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】由题意知集合， 所以当时，得，所以，故满足； 当时，得，所以，故不满足； 当时，无解，故不满足； 综上，可得实数的值为. 故答案为：. 【典例6-2】（2024·高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【解析】（1），故，解得. （2）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 【变式6-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 【解析】（1）由题意，若，则， 则， 若，则， 所以集合A中还有另外两个元素和. （2）否，理由如下： 由题意，若（且），则， 则， 若，则， 所以集合A中应包含，，，而， 所以集合的元素个数为3的倍数， 故集合A不是只含有两个元素的集合. （3）由（2）知，，且集合的元素个数为3的倍数， 因为集合A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以集合的元素个数为6，其中一个元素为， 由结合已知条件可得，， 由， 解得或或， 所以. 题型七：集合含义的拓展 【典例7-1】（2024·高一·全国·期末）定义运算，若集合，则 . 【答案】 【解析】依题意，由，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以. 故答案为： 【典例7-2】（2024·高一·上海青浦·期中）已知非空数集满足：对任意给定的（可以相同），有且.若集合中最小的正数为6，则集合 . 【答案】 【解析】由对任意给定的（可以相同），有且， 又6是集合中的最小正整数，则也在集合里， 假设里有形如，那么， 与6是集合中的最小正整数矛盾， 故答案为： 【变式7-1】定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 【答案】26 【解析】． 故答案为：26 【变式7-2】（2024·高一·山东淄博·阶段练习）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【答案】8 【解析】因为定义集合， 又，，，，，，，，， 所以集合中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个. 故答案为：8． 【变式7-3】（2024·高一·上海松江·期中）定义集合运算，设集合，则集合 . 【答案】 【解析】由题意可知， ①当时，则； ②当，时，； ③当，时，. 综上所述，. 故答案为：. 【变式7-4】（2024·高一·北京·期中）设A是实数集的非空子集，称集合为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值． 【解析】（1）根据题意，， ， （2）设， 不妨设， 所以中元素个数大于等于7个， 所以生成集合中元素个数最小值为7. 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【答案】D 【解析】对于选项A：“无限接近”没有判定标准，不满足确定性，故A错误； 对于选项B：“最美乡村”没有判定标准，不满足确定性，故B错误； 对于选项C：“优秀的学生”没有判定标准，不满足确定性，故C错误； 对于选项D：“2022年度国内GDP超过1万亿的地级市”有统一的判定标准，满足确定性，故D正确； 故选：D. 2．（2024·高一·江苏·专题练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 【答案】C 【解析】对于A，参加杭州亚运会的全体电竞选手是确定的，可以构成集合； 对于B，小于的正整数是确定的，可以构成集合； 对于C，2023年高考数学难题，难题的标准是不确定的，不能构成集合； 对于D，所有无理数都是确定的，能构成集合， 故选：C 3．（2024·高一·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 【答案】B 【解析】对于A，不超过 20的质数是明确可知的，满足确定性，可以组成集合； 对于B，的近似值是不明确的，不满足确定性，不可以组成集合； 对于C，方程的实数根是明确的，满足确定性，可以组成集合； 对于D，函数不存在最小值，可以组成空集； 故选：B 4．（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A，因不是正整数，故A项错误； 对于选项B，是无理数，故必是实数，故B项正确； 对于选项C，是分数，故不是整数，故C项错误； 对于选项D，是自然数，故D项错误. 故选：B. 5．（2024·高一·河南南阳·阶段练习）已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（  ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】A 【解析】由解得， 因为，， 故，且， 故选：A 6．（2024·高一·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【答案】B 【解析】因为，所以或，解得，或或， 当时，，又集合中不能有相同的元素，所以 故选：B 7．（2024·高二·河南焦作·阶段练习）已知集合，且，则取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，且， 所以或. 当时，解得：或. 而，不符合元素的互异性，故或. 故选：B 8．（2024·高一·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，则 ． 故选：C 二、填空题 9．（2024·高一·全国·专题练习）已知，问：三个数中，的元素是 . 【答案】 【解析】令，解得，则，所以 令，解得，则，所以 令，解得，则，所以 所以是A的元素. 故答案为：. 10．（2024·高一·江苏·专题练习）用符号“”或“”填空：①设集合A是由正整数的全体构成的集合，则0 A， A， A；②设集合B是由小于的实数的全体构成的集合，则 B， B. 【答案】 【解析】①0不是正整数，不是整数，是正整数，故依次填，，. ②，由，得，故依次填，. 故答案为：；；；；. 11．（2024·高一·四川德阳·期末）若，则 ． 【答案】2 【解析】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 12．（2024·高一·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 【答案】0或 【解析】因为，则，解得或. 故答案为：0或. 13．（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）用列举法表示集合可以是 ． 【答案】 【解析】. 故答案为：. 14．（2024·高一·河北沧州·阶段练习）定义集合､的一种运算：，若，，则 . 【答案】 【解析】∵ ，，， ∴ 故答案为：{2，3，4，5} 15．（2024·高一·上海普陀·期末）对于任意非空集合、，定义，若，则 （用列举法表示） 【答案】 【解析】根据集合的新定义，分别求出两个集合中各取一个元素求和的所有可能情况.由题：对于任意非空集合、，定义， 若，各取一个元素形成有序数对， 所有可能情况为，所有情况两个数之和构成的集合为： 故答案为： 16．（2024·高一·上海闵行·期中）任意两个正整数、，定义某种运算：，则集合中元素的个数是 【答案】 【解析】集合 若一奇一偶,则取,此时所有个数为,,,,此时共有4个; 若都是偶数,则取,此时所有个数为,,此时共有2个; 若都是奇数,则取,此时所有个数为,, 此时共有3个; 综上可知,满足条件的元素共有9个. 故答案为:9 三、解答题 17．（2024·高一·全国·课堂例题）用列举法表示下列集合： (1)由方程的所有实数解构成的集合； (2)平方小于200的所有素数之集． 【解析】（1）由可得， 所以. （2）由于， 所以平方小于200的所有素数构成的集合. 18．（2024·高一·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)方程组的解集； (2)所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (6)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【解析】（1）解方程组得， 故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为． （2）小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11， 可用列举法表示为． （3）方程的实数根为1，因此可用列举法表示为， 也可用描述法表示为． （4）集合的代表元素是点，可用描述法表示为且． （5）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点， 其中x，y满足，由于点有无数个， 则用描述法表示为． （6）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中， 代表元素y，是实数，故可用描述法表示为． 19．（2024·高一·北京·阶段练习）若集合具有以下性质： ①； ②若，则，且时，. 则称集合是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)设集合是“好集”，求证：若，则； 【解析】（1）B不是“好集”, 理由是： ，，而，∴B不是“好集”； 是“好集”， 理由是：，；对任意，，有， 且时，，∴有理数集Q是“好集”. （2）因为集合是“好集”，所以. 若，则，即. 所以，即. （3）对任意一个“好集”，任取， 若或时，显然. 且时，由定义可知：. 所以，即. 所以. 由（2）可得：，即. 20．（2024·高一·全国·课后作业）集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求： (1)A中至少有几个元素？ (2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？ (3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素. 【解析】（1）因为，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少有3个元素. （2）因为，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少含有的元素是. （3）令，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少含有的其它元素是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$