6.4 简单的三元一次方程组 课件-2023-2024学年冀教版数学七年级下册

[考点解读] -1- ■考点一 三元一次方程组的概念与解法 1. 三元一次方程（组） 6.4 简单的三元一次方程组* 概念 内容 三元一次方程 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做三元一次方程 三元一次方程组 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组，叫做三元一次方程组 三元一次方程组的解 三元一次方程组中各方程的公共解叫做这个三元一次方程组的解 特别注意 三元一次方程组中，每一个方程都是一次方程，但不是每一个方程中都必须含有三个未知数，如： -2- 续表 6.4 简单的三元一次方程组* 基本思路 （转化思想） 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 流程图 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 一般步骤 ①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方 程中，得到一个一元一次方程；④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；⑤将求得的三个未知数的值用符号“{”联立起来，即得原方程组的解 -3- 6.4 简单的三元一次方程组* 2. 解三元一次方程组 -4- 6.4 简单的三元一次方程组* 典题精析 例 1 解三元一次方程组 -5- 6.4 简单的三元一次方程组* 解析：可以把三个方程相加，再进行整体消元，也可以先将其中的两个方程相减消元，再结合另一个方程，组成二元一次方程组，解二元一次方程组 即可. 答案：解： 方法一：①+②+③，得 2x+2y+2z=2， 即 x+y+z=1④， 把①代入④，得 z=-4，把②代入④，得 y=2， 把③代入④，得 x=3，故原方程组的解为 -6- 6.4 简单的三元一次方程组* 方法二：①-②，得 y-z=6④， 由③④组成方程组 ③+④，得 2y=4，解得 y=2， ③-④，得 2z=-8，解得 z=-4， 将 y=2 代入①，得 x=3， 故原方程组的解为 易错：方程组的解为 错因：没有找到正确的解方程组的方法，从而得出错误的解. -7- 满分备考：本题方法一采用了整体消元的方法得到方程组的解，这是一种比较简单的求解方法；方法二先用方程①②进行消元，消去 x，得到一个二元一次方程组再求解. 6.4 简单的三元一次方程组* -8- 6.4 简单的三元一次方程组* ■考点二 三元一次方程组的应用 应用三元一次方程组解决实际问题的步骤与列二元一次方程组解决实际问题的步骤基本相同，需要注意的是列三元一次方程组时，需要设出三个未知数，找到三个等量关系，有时可能需要设出多余的未知数帮助解题. -9- 6.4 简单的三元一次方程组* 典题精析 例 2 球类运动室有篮球、排球和足球共 26 个．已知篮球比排球多 1 个，排球与足球个数的和比篮球多 6 个．问这三种球各多少个？ -10- 6.4 简单的三元一次方程组* 解析：设篮球有 x 个，排球有 y 个，足球有 z个，则依据“篮球、排球和足球共 26 个，篮球比排球多 1 个，排球与足球个数的和比篮球多 6 个”列出方程组并解答． 答案：解：设篮球有 x 个，排球有 y 个，足球有 z 个， 答：篮球有 10 个，排球有 9 个，足球有 7 个． 易错：设篮球有 x 个，排球有 y 个，足球有 z 个，则 错因：由“篮球比排球多 1 个”找错等量关系. -11- 6.4 简单的三元一次方程组* 满分备考：解决三元一次方程组的实际应用问题时，一般需要设出三个相关的未知量，再找出这三个未知量之间的等量关系，一般需要找出三个，再根据等量关系列出三元一次方程组，解三元一次方程组，即可使问题得到解决. -12- 6.4 简单的三元一次方程组* [易错分析] ■解三元一次方程组时漏乘常数项 例 解方程组： -13- 6.4 简单的三元一次方程组* 解析：运用加减消元法解答即可. 答案：解：①+②，得 2x+z=27④， ①+③，得 3x+2z=44⑤， ④×2-⑤，得 x=10. 把 x=10 代入④，得 z=7， 把 x=10 代入②，得 y=9， 所以原方程组的解为 易错： 错因：解三元一次方程组时，由于粗心漏乘常数项. 易错警示：在给方程变形时一定要注意，在方程两边同时乘一个常数时，注意不要漏乘任何一项. -14- 6.4 简单的三元一次方程组* [题型探究] ■题型一 三元一次方程组与非负数性质的综合 例 1 若 ，求 x-y-z 的值. 解析：根据非负数的性质列出三元一次方程组，即可求得 x，y，z 的值，然后代入 x-y-z 中即可. 答案：解：因为 ， 所以 x-y-z=1.5-（-3）-（-1）=5.5. 题型解法：如果几个非负数的和为 0，那么每一个非负数都是 0.利用非负数的这条性质可以建立方程组，进而求出有关字母的取值. -15- 6.4 简单的三元一次方程组* ■题型二 利用三元一次方程组的解求未知字母的值 例 2 已知方程组 的解使式子 x- 2y+3z 的值等于 -10，求 a 的值. -16- 6.4 简单的三元一次方程组* 解析：将三个方程相加可得，x+y+z=6a，用 x+ y+z=6a 减方程组中的每个方程即可得到方程组的解，最后通过 x-2y+3z=-10 即可求得 a 的值. 答案：解：①+②+③，得 2x+2y+2z=12a， 即 x+y+z=6a④， ④-①，得 z=3a. ④-②，得 x=a. ④-③，得 y=2a， 所以原方程组的解为 把 x=a，y=2a，z=3a 代入 x-2y+3z=-10，得 a-2× 2a+3×3a=-10， 解得 a= . 题型解法：当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以将三个方程相加，再分别减去每个方程，即可求出方程组的解. -17- 6.4 简单的三元一次方程组* [方法总结] ■灵活求解三元一次方程组 解三元一次方程组时，先仔细观察每个方程中同一个未知数的系数的特点，然后灵活选用代入消元法或加减消元法.另外，解三元一次方程组时也常用到参数法，当方程中未知数以比例形式出现时，可设 1 份为 k，然后再根据其比例确定各未知数的值，最后将其代入一个方程中，可求出 k 的值，从而求出未知数的值. -18- 6.4 简单的三元一次方程组* 例 解方程组 -19- 6.4 简单的三元一次方程组* 解析：利用代入法或者参数法即可求解. 答案：解：解法一（代入法）：由①，得 4x=3y， 即 x= y④. 由②，得 4z=5y， 即 z= y⑤. 把④和⑤代入③，得 解得 y=12. 把 y=12 分别代入④和⑤，得 x= ×12=9， z= ×12=15， 所以原方程组的解为 -20- 6.4 简单的三元一次方程组* 解法二（参数法）：由①②，得 x∶y∶z=3∶4∶5. 设 x=3k，y=4k，z=5k，并代入③， 得 3k+4k+5k=36， 解得 k=3， 所以 x=9，y=12，z=15， 所以原方程组的解为 6.4 简单的三元一次方程组 * -1- ■考点1 三元一次方程组的解法 1. 解方程组 若要使运算简便，消元的方法应选取 （ ） A. 先消去 x B. 先消去 y C. 先消去 z D. 以上说法都不对 ▍考点集训/夯实基础 6.4 简单的三元一次方程组 * -2- 2. 三元一次方程组 消去一个未知数 c 后，所得二元一次 方程组是 （ ） 6.4 简单的三元一次方程组 * -3- 3.（教材 P23，BT1 改编）解下列方程组. x+y+z＝12， 2a+b+c＝0， （1） x+2y-z＝6， （2） 4a+2b+c＝5， x+2y-z＝6， 2a-b+c＝4 . -4- ■考点 2 二元一次方程组及二元一次方程组的解 4. 某单位在一快餐店订了 22 份盒饭，盒饭共有甲、乙、丙三种，如果订甲种盒饭 3 份、乙种盒饭 5 份、丙种盒饭 14 份，需要支付 140 元；如果订甲种盒饭 5 份、乙种盒饭 6 份、丙种盒饭 11 份，需要支付 153 元；如果订甲种盒饭 9 份、乙种盒饭 7 份、丙种盒饭 6 份，需要支付 176 元，那么甲、乙、丙三种盒饭的单价分别为 （ ） A. 10 元、8 元、5 元 B. 8 元、10 元、5 元 C. 10 元、8 元、6 元 D. 5 元、8 元、10 元 5. 有甲、乙、丙三种商品，如果购甲 3 件、乙 2 件、丙 1 件共需 315 元钱，购甲 1 件、乙 2 件、丙 3 件共需 285 元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 _______ 元钱． 6.4 简单的三元一次方程组 * 6.4 简单的三元一次方程组 * -5- 6. 琪琪、倩倩、斌斌三位同学去商店买文具用品．琪琪说：“我买了 4 支水笔，2 本笔记本，10 本作文本共用了 19 元．”倩倩说：“我买了 2 支水笔，3 本笔记本，10 本练习本共用了 20 元．”斌斌说：“我买了 12 本练习本，8 本作文本共用了 10 元；作文本与练习本的价格是一样的！”请根据以上内容，求出笔记本、水笔、 练习本的价格. -13- 第六章 二元一次方程组 6.4 简单的三元一次方程组 * 1. B 提示： 方程①+②可直接消去未知数 y，①+③也可直 接消去 y，那么即可得到一个关于 x、z 的二元一次方程组，所以要使运算简便，消元的方法应选取先消去 y． 2. D 提示： ②-①，得 3a+4b=3④， ①×3+③，得 5a-2b=19⑤， 由④⑤可知，选项 D 正确. -14- 第六章 二元一次方程组 3. 解：（1） ①+②得：2x+3y=18④， ②+③得：4x+y=16⑤，由④×2-⑤得：5y=20， 所以 y=4，将 y=4 代入⑤得：x=3，把 x＝3 ， y＝4 代入①得：z=5， 原方程组的解为 （2） ①-③得 2b=-4， 解得 b=-2，②-①得 2a+b=5， 解得 a= ，把a= ，b=-2 代入①得c=-5， 所以原方程组的解为 -15- 第六章 二元一次方程组 4. A 提示：设甲、乙、丙三种盒饭的单价分 别为 x 元、y 元、z 元，由题意 可列方程组 解得 5. 150 提示：设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要 x 元、y 元、z 元，根据题意有： 把这两个方程相加得： 4x+4y+4z=600，4（x+y+z）=600，所以 x+y+z= 150．所以购甲、乙、丙三种商品各一件共 需 150 元钱． 6. 解：设笔记本的价格是 x 元/本，水笔的价格是 y 元/支，练习本或作文本 的价格为 z元/本.根据题意，得 解得 答：笔记本的价格是4元/本，水笔的价格是1.5元/支，练习本的价格是0.5元/本. $$