专题05 三角形 -2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题05 三角形 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部. 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 知识点2：几种特殊的三角形 结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上. 结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心. 【典例例题】 题型一：重心问题 【典例1-1】（2024·宁夏银川·二模）综合与实践 莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心． 教材重现： 如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）如图，是的边上的中线． (1)初步观察：连接，则与的数量关系是：________； (2)初步探究：请帮助莹莹求出的面积； (3)猜想验证：莹莹通过测量惊奇地发现，．她的发现正确吗？请说明理由． 【典例1-2】（2024·河南周口·三模）（1）古往今来，人们在生产和生活中对三角形的应用层出不穷，三角形也是我们平时研究的重点，如图1，已知是等边三角形． P是的重心，连接并延长分别交边于点E，D． 试判断： ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系： ；（填写“>”“<”或“=”） （2）如图2，若在等边中，点E是射线上一动点（其中点E不与点A 重合，且），连接，作边关于直线 的对称线段 ，直线相交于点 P，试探究线段的数量关系，并说明理由． 【变式1-1】（2024·浙江舟山·三模）如图，在的正方形网格中，点A、点B均为格点，请只利用无刻度直尺完成以下作图． (1)在图1中，过点A 作出线段的垂线段，点C为格点； (2)在图2中，作出面积最小的等腰三角形，点D为格点； (3)在图2的基础上，继续在图 2中作出△的重心E． 【变式1-2】（2024·江苏无锡·一模）如图，在大小为的正方形网格中，的顶点均是网格线的交点，对角线、交于点．如果对于一个平行四边形，两条对角线将它分成4个小三角形（对角线的交点是每个小三角形的一个顶点），那么我们把依次连接每个小三角形的重心所得的四边形称为这个平行四边形的重心四边形． (1)请在图中仅用无刻度的直尺作出的重心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若的面积记为，的重心四边形的面积记为，求的值． 题型二：垂心问题 【典例2-1】（2024·浙江绍兴·一模）在学习三角形高线时，发现三角形三条高线交于一点，我们把这个交点叫做三角形的垂心．课后小明同学继续探究，上网搜索得到了三角形重心的一条性质，制作了如下表格进行探究． 三角形关型 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 垂心的位置 直角顶点 ① 在三角形外部 垂心的性质 三角形任意顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍． 图形 图1 图2 (1)表格中①处应填： ． (2)小明先选择了直角三角形来探究重心的性质，写出了已知求证，请完成证明． 已知：如图1，⊙O是的外接圆，，H是的垂心，，垂足为E． 求证：． (3)如图2，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，高线AF与高线CG交于点H，于点E，为了证明．小明想把锐角三角形的问题转化为直角三角形，为此他过点B作了⊙O的直径BD，请继续小明的思路证明． 【典例2-2】（21-22八年级上·江西上饶·期末）用无可度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图1中，找一个点，使它到△ABC的三个顶点的距离相等； (2)在图2中，作△DEF的垂心（三高的交点）． 【变式2-1】（2024·安徽马鞍山·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请画出； (2)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (3)画出的垂心（三条高的交点）． 【变式2-2】（20-21八年级上·浙江台州·期中）定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的“中垂心”．如图1，在△ABC中，PA=PB，则点P叫做△ABC的“中垂心”． （1）根据定义，中垂心可能在三角形顶点处的三角形有________（举一个例子即可）； （2）应用：如图2；在△ABC中，请画出“中垂心”P，使PA=PB=PC．（保留作图痕迹，不写画法） （3）探究：①如图3，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，“中垂心”P在AC边上，求PA的长． ②如图4，若PA=PB且“中垂心”P在△ABC内部，总有AC+BC2AP，请说明理由．      题型三：内心问题 【典例3-1】（2024·江苏无锡·一模）如图，已知中，．    (1)请在图1中用圆规和无刻度的直尺作，使得经过点，同时圆心落在边上，且与边相切于． (2)在（1）的条件下，若，，为的内心，则的半径长为______，______． 【典例3-2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，点E是内心，延长交的外接圆于点D，连接，．求证：． 【变式3-1】（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）在和中，固定，将绕点A旋转一周，连接相交于H，经过C 、E、H三点作⊙O．    (1)如图1： ①求证：． ②求证：是的直径； (2)如图2，若，在旋转过程中，连接．若点A恰好是的内心，求的长； 【变式3-2】（23-24九年级下·吉林长春·期中）【模型提出】如图，已知线段的长度为，在线段所在直线外有一点，且，想确定满足条件的点的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点为圆心，长为半径画圆，则点在的优弧上.即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型. 【模型应用】如图，在正方形中，，点分别是边、上的动点，，连接、，与交于点.    (1)求证：； (2)点从点到点的运动过程中，点经过的路径长为______； (3)若点是的内心，连接，则线段的最小值为______. 题型四：外心问题 【典例4-1】（2024·北京·模拟预测）问题探究： (1)如图1，在等边中，，点P是它的外心，则＝ ； (2)如图2，在矩形中，，边上存在点P，使，求矩形面积的最小值； 问题解决： (3)如图3，在四边形中，，，，边上存在点P，使，在此条件下，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【典例4-2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）【概念认识】 在中，，直线l分别交边于点D，E. 若，则称直线l为等腰的“和谐分割线”. 【探索发现】 （1）在中，，直线l为等腰的“和谐分割线”. 小美，小丽探索发现了下列结论. （i）如图①，小美过点D作，交于点H. 证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格. （ii）请证明小丽所发现的结论. 【解决问题】 （2）如图③，在中，，点P为外一点，P过点P作一条直线l，使直线l是等腰的“和谐分割线”.（要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【拓展延申】 （3）在中，，，点O为的外心，P为平面内一点，过点P可作出等腰的“和谐分割线”，则的最小值为 . 【变式4-1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，在等腰中，，点O是的外心，作外接圆，延长，交于点D．              (1)若与相似，求度数； (2)连，求证：； (3)如图2，在的延长线上取点E，连接，若为切线，，， ． 【变式4-2】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）图1是一块含（即）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边与量角器所在圆的直径重合，长度为，量角器最外缘的读数是从点开始（即点的读数为），现有射线绕点从方向顺时针以每秒度的速度旋转到方向，在旋转过程中，射线与量角器的半圆弧交于点． (1)如图2，当射线经过的外心时，求此时处的读数及线段扫过的面积； (2)设旋转秒后，处的读数为，求与的函数表达式（不必写自变量的取值范围）； (3)与的长度能相等吗？若能，求旋转的时间；若不能，请说明理由． 题型五：等腰三角形 【典例5-1】（吉林省松原市前郭县北部学区2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上． (1)在图①中以为腰画一个锐角等腰三角形ABC； (2)在图②中以为边画一个面积为8的平行四边形； (3)在图③中以为边画一个正方形． 【典例5-2】（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【变式5-1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分．数学是自然科学的重要基础，在社会科学中发挥着重要的作用，数学的应用渗透到现代社会的各个方面．比如： (1)数学在生活中的应用：如图所示，木工师傅把曲尺的一边紧靠木板边缘，从曲尺的另一边上可以读出木板另一边缘的刻度，然后将曲尺移动到另一处紧靠木板边缘，如果两次读数相同，说明木板两个边缘平行，其中蕴涵的道理是 ． (2)数学在航海中的应用：如图，一艘船从处向正北航行海里到达处，分别从，望灯塔，测得，，则利用数学知识可得处到灯塔的距离是 海里． (3)数学在建设中的应用：如图：某地有两个村庄、和两条相交叉的公路，，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该点．注意保留作图痕迹，不用写作法) 【变式5-2】（2024·北京·模拟预测）在等腰中，，，是边中点，是线段上一动点（可与点，重合），边关于对称的线段为，连接． (1)如图1若，依题意补全图形，此时__________°． (2)如图2依题意补全图后，延长，交射线于点． ①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若，面积的最大值是__________，此时的长是__________． 题型六：等边三角形 【典例6-1】（吉林省松原市前郭县北部学区2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上． (1)在图①中以为腰画一个锐角等腰三角形ABC； (2)在图②中以为边画一个面积为8的平行四边形； (3)在图③中以为边画一个正方形． 【典例6-2】（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【变式6-1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分．数学是自然科学的重要基础，在社会科学中发挥着重要的作用，数学的应用渗透到现代社会的各个方面．比如： (1)数学在生活中的应用：如图所示，木工师傅把曲尺的一边紧靠木板边缘，从曲尺的另一边上可以读出木板另一边缘的刻度，然后将曲尺移动到另一处紧靠木板边缘，如果两次读数相同，说明木板两个边缘平行，其中蕴涵的道理是 ． (2)数学在航海中的应用：如图，一艘船从处向正北航行海里到达处，分别从，望灯塔，测得，，则利用数学知识可得处到灯塔的距离是 海里． (3)数学在建设中的应用：如图：某地有两个村庄、和两条相交叉的公路，，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该点．注意保留作图痕迹，不用写作法) 【变式6-2】（2024·北京·模拟预测）在等腰中，，，是边中点，是线段上一动点（可与点，重合），边关于对称的线段为，连接． (1)如图1若，依题意补全图形，此时__________°． (2)如图2依题意补全图后，延长，交射线于点． ①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若，面积的最大值是__________，此时的长是__________． 【过关测试】 1．（23-24九年级下·湖南怀化·期中）阅读材料：三角形在生产和生活中广泛应用，三角形的三条中线交于一点，我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心．    【特例感知】 （1）如图1，已知边长为6的等边的重心为点，求与的面积； 【性质探究】 （2）如图2，已知的重心为点O，求的值； 【性质应用】 （3）如图3，在矩形中，点E是的中点，连接交对角线于点M．若，求矩形的面积． 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2  如图，中，D、E分别是边、的中点，、相交于G．求证：． 证明  连结， 根据教材内容，结合图①，给出例2的完整证明过程． 【结论概括】 如果在图①中，取的中点F，假设与交于，如图②，那么我们同理有，所以有，即两图中的点G与是重合的． 于是，我们有以下结论： 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的_______． 【结论应用】 如图③所示，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，、相较于点O，且，则四边形的面积值为_______． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）综合与实践 周末小亮遇到了这样一道题： 【作业】如图1，中，，G为其重心，D为的中点，以G为圆心，长为半径画，过A点作的两条切线，切点分别为E、F，求的值． 【小亮的解答】连接． G为重心，D为的中点， A、G、D在一直线上， ， ， 、与相切， ， 在中，， ，同理，， ， ． 小明阅读了以上内容进行了一些反思，请你根据反思内容完成对应的任务 【反思1】小亮的解答过程中得到“”的依据是重心的一个性质：三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍．课本中并没有给出这样的结论，所以不能直接应用得到“”．要想证明，只要作出如图2的辅助线（连接并延长交于H，连接）即可． 【任务1】请你在图2的基础上，帮小亮完善得到“”的过程． 【反思2】若将【作业】中“如图”去掉，其它条件保持不变，的值是否会发生改变？ 【任务2】请你求出满足什么条件时，的值保持为？ 【反思3】若将【作业】中“G为其重心，D为的中点”改为“D为边上一动点，G为线段上一点，”其它条件保持不变，的值是否会发生改变？ 【任务3】若，，请你直接写出的长度在什么范围内时，的值保持为？ 4．（2024·江苏镇江·一模）【阅读】 我们知道，a、b两数的算术平均数是，如图1，数轴上点A、B（点A在点B的左侧）分别表示数a和b，那么线段的中点表示的数是．它们的表达形式之所以是一致的，其原因就是算术平均数的意义与线段中点的意义是一致的．同样的，若点M在线段上且，即，说明点M更靠近点A，则可以利用加权平均数的意义，将点M表示为． 【理解与运用】 (1)数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，点N在线段上，且，则点N表示的数为 ； (2)在平面直角坐标系中，点P的坐标是，点Q的坐标是，线段的中点坐标是．线段的三等分点也有相类似的结论，例如，点T在线段上，，直接写出T点的坐标为（ ， ）； (3)如图2，在平面直角坐标系中，点H、I、K分别是三边上的三等分点，且，，．试证明：的重心与的重心重合．（三角形的三条中线的交点称为三角形的重心，重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为） 5．（23-24九年级下·浙江·自主招生）如图，G为的重心．    (1)当时，求的面积； (2)当时，求证：． 6．（2024·山西吕梁·二模）阅读下列材料，并完成相应的学习任务： 我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．由于三角形的三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心．下面我们以锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点． 如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，且AD与BE相交于点P．连接CP并延长，交AB于点F． 求证：CF⊥AB． 证明：分别过点A，B，C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M，N，Q．分别连接PM，PN，PQ． ∵MNBC，MQAB，NQAC， ∴四边形MABC，四边形ANBC，四边形ABQC都是平行四边形． ∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ． ∵AD⊥BC， ∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN． ∴PM=PN． … 学习任务： （1）请将上面剩余的证明过程补充完整； （2）点P是△MNQ的 ．（填出字母代号即可） A．内心        B．外心        C．垂心            D．重心 （3）若∠CAB=40°，则∠MPN= °． 7．（17-18九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图①，小聪在学习圆的性质时发现一个结论，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，则∠BAD=∠OAC． (1)请你帮小聪证明这个结论； (2)运用以上结论解决问题：如图②，H为△ABC的垂心，若∠ABC的平分线BE⊥HO，⊙O的半径为10，求弦AC的长． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图①，在正方形内有一点，，点是的中点，且．连接，求的最小值； （2）如图②，某小区有五栋楼，刚好围成五边形，米，米，在小区内部建立一个老年活动中心，满足栋楼到栋楼之间的距离与栋楼到老年活动中心的距离相等（即，过点作于点，老年活动中心，，围成直角三角形．在的内心建立一个餐厅，现修建一条小路，使得栋楼的居民到餐厅的距离最小，请问是否存在最小距离？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．    9．（2024·山东济宁·二模）如图，直线与经过原点的抛物线相交于点，，与轴、轴分别相交于点，，抛物线与轴另一个交点为，点的坐标为，点在第一象限内且到轴、轴的距离相等． (1)求抛物线的解析式； (2)在第四象限内，是抛物线上一动点．当以点为圆心，以为半径的圆与直线相切于点时，求点的坐标； (3)在第一象限内，抛物线的对称轴上是否存在一点，使的内心也在抛物线的对称轴上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． (1)求的长； (2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论； (3)连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 11．（2024·江苏泰州·一模）已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点． (1)如图，连接，求证：； (2)如图，； 若，求的长； 若，求的值； (3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 12．（2024·浙江杭州·一模）如图，为的直径，点是直线上方的上一点，点是的内心，连接，，．延长交于点． (1)若，，求的长； (2)求的度数； (3)当点在直线上方的上运动时，求证：． 13．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图在四边形中，，动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． (1)的长为___________； (2)当时，求t的值； (3)试探究：t为何值时，为等腰三角形； (4)若点P是的外心，直接写出是锐角三角形时t持续的时长． 14．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图1，直角三角板和一个量角器拼在一起，，三角板的斜边与量角器所在圆的直径重合，长度为4.量角器最外缘的读数是从点开始（即点的读数为0），现有射线CP绕点C从CA方向顺时针旋转，在旋转过程中，若射线CP与量角器的半圆弧有交点，记交点为. (1)当射线与的外接圆相切时，为________； (2)如图2，当射线经过的外心时，求处的读数及线段扫过的面积； (3)连接，当时，求的度数. 15．（23-24九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比为； (2)画出的外接圆，写出的外心D的坐标，并计算出弧BC的长． 16．（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，，，直线经过点．设，于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．    (1)判断：__________； (2)若，求的长； (3)若的外心在三角形内部（不包括边上），直接写出的取值范围． 17．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，O都在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．    (1)在图中画出绕点O顺时针旋转所得到的（其中点A，B，C的对应点分别为，，）； (2)D是上一点，在图中画出D关于的对称点； (3)在图中描出的外心P，并直接写出点A到直线的距离． 18．（23-24七年级上·山东济宁·期中）定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图，若，则点为的准外心． 已知为直角三角形，斜边，，准外心在上，求的长．（自己画图）    19．（2024·山西大同·模拟预测）综合与实践 问题情境 在数学活动课上，老师让同学们以“等边三角形的旋转”为主题开展活动，已知完全相同的等边三角形和等边三角形，点A，B，C分别与点D，E，F重合，点O是边，的中点．固定，将绕点O顺时针旋转． 问题解决 （1）如图1，当点E落在边上时，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）在旋转的过程中，连接，，试判断，的位置关系，并在图2与图3中选择一种情况进行证明． 问题拓展 （3）如图4，若与都是等边三角形，但，其他条件不变，在旋转的过程中，当点E落在边上时，连接，，延长交于点N．已知，，请直接写出的长． 20．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，四边形是矩形，连接． (1)实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 21．（2024·广东深圳·三模）【问题呈现】 （1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系；小明同学给出了如下解决思路：以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系 ． 【类比探究】 （2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明． 【实际应用】 （3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件（），如图③所示．其中厘米，厘米，，垂足是，且是的中点，且，连接．在尝试画图的过程中，王师傅发现，和之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出，和之间的数量关系，并证明此结论．    22．（23-24八年级下·河南郑州·期末）类比三角形中位线，连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1在四边形中，设，与不平行，E，F分别为的中点，连接，则是四边形的中位线． (1)在横线上填写内容，探索中位线与线段之间的关系； 如图2，连接并延长至点G，使，连接， ∵，， ∴是______的中位线，______， ∵，， ∴______， ______， 在中，， 则____________ (2)用不同方法证明上述结论，请你将下面的证明过程补充完整； 如图3，连接，取的中点M，连接， ∵点E，点M分别是和的中点， … (3)如图4，在五边形中，，，，，若点F，G分别是边的中点，则线段长的取值范围是______． 23．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，在中，．将绕点A按逆时针方向旋转得到，连结BD．当时，求旋转角的度数和的度数．（提示：在一个三角形中，若两条边相等，则它们所对的角也相等） 24．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）综合与实践 【发现问题】在学习旋转时，小明发现，如图1，将线段绕点A逆时针旋转后得到线段，连接，则为等边三角形； 【提出问题】依据小明的发现，小红提出这样的问题：如图2，为等边三角形，点D在边上，将绕着点A逆时针旋转后得到，连接，则是绕点A旋转后得到的图形吗？请做出判断并说明理由； 【解决问题】如图3，点P为等边三角形内一点，且，求的长； 【学以致用】如图4，设村庄A、B、C的连线构成一个三角形，且已知，，现欲建设中转站P沿直线向A、B、C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A、B、C的铺设成本均为4万元，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为________万元． 25．（2024·山东青岛·一模）（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点O． ①如图1，容易得到______； ②探究：如图1，______； 如图2，______； 如图3，______； （2）如图4，已知：是以为边向外所作正n边形的一组邻边；，是以为边向外所作正n边形的一组邻边，与的延长线相交于点O，则______（用含n的式子表示）． 26．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点． +   (1)如图①，点与点重合时，点，分别在线段，上，求证：； (2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段上，试探索三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)点O在线段上，若，，当时，请直接写出的长． 27．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)你所知道的特殊四边形中，是勾股四边形有__________（一个即可） (2)如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形． (3)如图（2），是正三角形，，且．求证：，即四边形ABCD是勾股四边形． 28．（2024·河南洛阳·一模）同学们，“在同一个圆中，同弧对的圆周角相等”，这个命题的逆命题是“在一条线段的同侧，若干个点对线段两端点张角相等，那么这些点与线段的两端是共圆的”．这是真命题．如右图，若，则、、、共圆．这个命题可以解决很多问题． (1)如图1，和均为正三角形，、、三点共线，的度数是______，线段、之间的数量关系是______． (2)如图2，在等腰直角和等腰直角中，，、、三点共线，线段、交于点．求出的度数． (3)如图3所示，在中，，，，连接，，将绕点逆时针方向旋转，当所在直线与直线交于点时，请直接写出的长． 29．（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务． 圆内接正三角形的有趣结论 我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论. 如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程： 以点为顶点，作，交于点D，            在等边三角形中，，， （依据）， ， 是等边三角形， ， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴ 任务： (1)小宇的日记中的“依据”是 ， (2)如图，若，，则线段的长度是 ， (3)如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由． 30．（23-24九年级上·辽宁本溪·期末）如图1所示，在正三角形中，是边（不含端点）上任意一点，是延长线上一点，是的平分线上一点，连接，若． (1)求证：； (2)若将试题中的“正三角形”改为“正方形”（如图2），是的平分线上一点，则当时，结论是否还成立？（直接给出结论，不需要证明） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部. 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 知识点2：几种特殊的三角形 结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上. 结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心. 【典例例题】 题型一：重心问题 【典例1-1】（2024·宁夏银川·二模）综合与实践 莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心． 教材重现： 如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）如图，是的边上的中线． (1)初步观察：连接，则与的数量关系是：________； (2)初步探究：请帮助莹莹求出的面积； (3)猜想验证：莹莹通过测量惊奇地发现，．她的发现正确吗？请说明理由． 【解析】（1）， 理由如下， 由折叠可得，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由折叠可得，， ∵， ∴， 连接， ∵点D、E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）正确，理由如下： 连接， ∵点D、E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例1-2】（2024·河南周口·三模）（1）古往今来，人们在生产和生活中对三角形的应用层出不穷，三角形也是我们平时研究的重点，如图1，已知是等边三角形． P是的重心，连接并延长分别交边于点E，D． 试判断： ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系： ；（填写“>”“<”或“=”） （2）如图2，若在等边中，点E是射线上一动点（其中点E不与点A 重合，且），连接，作边关于直线 的对称线段 ，直线相交于点 P，试探究线段的数量关系，并说明理由． 【解析】（1）①∵是等边三角形， ∴ ∵P是等边的重心， ∴分别平分， ∴， ∴， 故答案为； ②∵分别平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当点E在延长线上时， 在上截取， ∵是等边三角形， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， ∴， 由翻折得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴； 当点E在线段上时，如图，延长，使， 由由翻折得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】（2024·浙江舟山·三模）如图，在的正方形网格中，点A、点B均为格点，请只利用无刻度直尺完成以下作图． (1)在图1中，过点A 作出线段的垂线段，点C为格点； (2)在图2中，作出面积最小的等腰三角形，点D为格点； (3)在图2的基础上，继续在图 2中作出△的重心E． 【解析】（1）由勾股定理可知，， 取格点可知，，则， ∴， 如图所示，即为所求； （2）当以为顶点，时，有以下三种个情况： 可得：， ， ， 当以为顶点，时，有以下两种种个情况： 可得：， ， 当以为顶点，时，有以下两种种个情况： ，当，则， ∴此时为等腰直角三角形，， 当，此时， 综上，面积最小的等腰三角形如图所示，即为所求； （3）如图所示，取格点，，连接交于， 由矩形性质可知，点为的中点，连接，即为边上的中线， 由（2）知，，，则垂直平分，延长交于，则为边上的中线， ∴与的交点即为的重心， 即：点即为所求． 【变式1-2】（2024·江苏无锡·一模）如图，在大小为的正方形网格中，的顶点均是网格线的交点，对角线、交于点．如果对于一个平行四边形，两条对角线将它分成4个小三角形（对角线的交点是每个小三角形的一个顶点），那么我们把依次连接每个小三角形的重心所得的四边形称为这个平行四边形的重心四边形． (1)请在图中仅用无刻度的直尺作出的重心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若的面积记为，的重心四边形的面积记为，求的值． 【解析】（1）如图1所示，则 的重心即为所求； （2）如图2， 可知， ， ， ， ， 设 的面积为，则 的面积为， 的面积为， 的面积为， ． 题型二：垂心问题 【典例2-1】（2024·浙江绍兴·一模）在学习三角形高线时，发现三角形三条高线交于一点，我们把这个交点叫做三角形的垂心．课后小明同学继续探究，上网搜索得到了三角形重心的一条性质，制作了如下表格进行探究． 三角形关型 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 垂心的位置 直角顶点 ① 在三角形外部 垂心的性质 三角形任意顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍． 图形 图1 图2 (1)表格中①处应填： ． (2)小明先选择了直角三角形来探究重心的性质，写出了已知求证，请完成证明． 已知：如图1，⊙O是的外接圆，，H是的垂心，，垂足为E． 求证：． (3)如图2，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，高线AF与高线CG交于点H，于点E，为了证明．小明想把锐角三角形的问题转化为直角三角形，为此他过点B作了⊙O的直径BD，请继续小明的思路证明． 【解析】（1）∵锐角三角形的三条高都在三角形内部， ∴锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部在三角形内部， ∴锐角三角形的垂心在三角形的内部； （2）如图1，⊙O是的外接圆，， ∴点O为AC中点． ∵， ∴E为BC中点． ∴OE为的中位线， ∴即； （3）证明：如图2，连结AD、CD， ∵BD是⊙O的直径， ∴， 由（2）可知， 又∵， ∴． 同理． ∴四边形ADCH是平行四边形， ∴． ∴． 【典例2-2】（21-22八年级上·江西上饶·期末）用无可度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图1中，找一个点，使它到△ABC的三个顶点的距离相等； (2)在图2中，作△DEF的垂心（三高的交点）． 【解析】（1）图1中的点O即为所作． （2）图2中的点H即为所作． 【变式2-1】（2024·安徽马鞍山·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请画出； (2)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (3)画出的垂心（三条高的交点）． 【解析】（1）如解图所示： （2）如解图所示； （3）点如解图所示（作法不唯一，任意两条高即可确定点）． 如图，是直角边为1和4的直角三角形的斜边，是直角边为1和4的直角三角形的斜边，两个直角三角形中直角边分别垂直，则斜边互相垂直，即，同理可得，所以，中任意两条的交点即为点． 【变式2-2】（20-21八年级上·浙江台州·期中）定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的“中垂心”．如图1，在△ABC中，PA=PB，则点P叫做△ABC的“中垂心”． （1）根据定义，中垂心可能在三角形顶点处的三角形有________（举一个例子即可）； （2）应用：如图2；在△ABC中，请画出“中垂心”P，使PA=PB=PC．（保留作图痕迹，不写画法） （3）探究：①如图3，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，“中垂心”P在AC边上，求PA的长． ②如图4，若PA=PB且“中垂心”P在△ABC内部，总有AC+BC2AP，请说明理由．      【解析】（1）根据题意，若点C为△ABC的“中垂心” 可得CA=CB ∴△ABC为等腰三角形 故答案为：等腰三角形（答案不唯一）； （2）分别作出BC和AB的垂直平分线，交于点P 根据垂直平分线的性质可得PA=PB=PC ∴点P即为所求； （3）①∵∠C=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=90°－∠ABC=30° ∴AB=2BC 设BC=x，则AB=2x ∵BC2＋AC2=AB2 ∴x2＋（）2=（2x）2 解得：x=4或-4（不符合实际，舍去） ∴BC=4，AB=8 ∵P在AC边上，∠C=90° ∴PB＞PC，即不存在“中垂心”P，使PB=PC 若PA=PB，如下图所示 设PA=PB=a，则PC=AC－PA=－a ∵PC2＋BC2=BP2 ∴（－a）2＋42=a2 解得：a= 即PA=； 若PA=PC，如下图所示 则点P为AC的中点 ∴PA== 综上：PA=或； ②理由如下 延长AP交BC于D 根据三角形的三边关系可得：AC＋CD＞AD，DP＋DB＞PB ∴AC＋CD＋DP＋DB＞AD＋PB ∴AC＋（CD＋DB）＋DP＞PA＋DP＋PB ∴AC＋BC＞PA＋PB ∵PA=PB ∴AC+BC2AP 题型三：内心问题 【典例3-1】（2024·江苏无锡·一模）如图，已知中，．    (1)请在图1中用圆规和无刻度的直尺作，使得经过点，同时圆心落在边上，且与边相切于． (2)在（1）的条件下，若，，为的内心，则的半径长为______，______． 【解析】（1）如图所示：   即为所求； （2）由（1）知，， ， ， ， ， 是等腰底边上的中线，即， ，， 在中，，则， 设半径为，则，解得； 如图所示：   为的内心， 是的内切圆， 设其半径为，则，即，解得， ， ，即，解得，则， 在中，； 故答案为：，． 【典例3-2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，点E是内心，延长交的外接圆于点D，连接，．求证：． 【解析】证明：如图， 连接， ∵为内心， ∴平分平分， ∴． ∴和所对的圆心角相等． ∴，， ∴． ∴，          ∵， ∴． ∴． ∴； 【变式3-1】（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）在和中，固定，将绕点A旋转一周，连接相交于H，经过C 、E、H三点作⊙O．    (1)如图1： ①求证：． ②求证：是的直径； (2)如图2，若，在旋转过程中，连接．若点A恰好是的内心，求的长； 【解析】（1）①如图1， ， ， 即：， ，， ∴， ②∵ ， 点、、、共圆， ， ， 是的直径； （2）如图2， 由（1）知：， ， 点是的内心， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 作于， ， ， ； 【变式3-2】（23-24九年级下·吉林长春·期中）【模型提出】如图，已知线段的长度为，在线段所在直线外有一点，且，想确定满足条件的点的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点为圆心，长为半径画圆，则点在的优弧上.即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型. 【模型应用】如图，在正方形中，，点分别是边、上的动点，，连接、，与交于点.    (1)求证：； (2)点从点到点的运动过程中，点经过的路径长为______； (3)若点是的内心，连接，则线段的最小值为______. 【解析】（1）证明：正方形中，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，由（）得， ∴点在以为直径的圆上运动， 取的中点，则， 以点为圆心，以为半径画， 连接相交于点，则，， 连接，则， ∴点在上， 当与重合时，与重合，则与重合， 当与重合时，与重合，则与重合， ∴点的路径为， ∵，为中点， ∴， ∴的长度为， ∴点经过的路径长为， 故答案为：； （3）如图，连接， ∵点是的内心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，过点作的延长线于点，则点在上运动， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 连接，与相交于点， 当点与点重合时，线段最短， ∵， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 题型四：外心问题 【典例4-1】（2024·北京·模拟预测）问题探究： (1)如图1，在等边中，，点P是它的外心，则＝ ； (2)如图2，在矩形中，，边上存在点P，使，求矩形面积的最小值； 问题解决： (3)如图3，在四边形中，，，，边上存在点P，使，在此条件下，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图， ∵在等边中，， ∴， ∵点P是等边的外心， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，当以为直径的与相切时，切点为P，此时，的长最小． 连接． ∵与相切， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形，四边形都是正方形， ∴ ∴，， ∴矩形面积的最小值为：． （3）存在．如图，在的右边作等边三角形的外接圆，当直线与相切与P时，四边形的面积最大，此时根据圆周角定理可知：满足条件． 延长交于E，过点O作于F，过点P作于T，连接，交于R．的延长线交的延长线于点N， ∵ ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∵是等边三角形，圆外接等边三角形， ∴， 结合、、， 即四边形、四边形、四边形、四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ∴． 【典例4-2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）【概念认识】 在中，，直线l分别交边于点D，E. 若，则称直线l为等腰的“和谐分割线”. 【探索发现】 （1）在中，，直线l为等腰的“和谐分割线”. 小美，小丽探索发现了下列结论. （i）如图①，小美过点D作，交于点H. 证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格. （ii）请证明小丽所发现的结论. 【解决问题】 （2）如图③，在中，，点P为外一点，P过点P作一条直线l，使直线l是等腰的“和谐分割线”.（要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【拓展延申】 （3）在中，，，点O为的外心，P为平面内一点，过点P可作出等腰的“和谐分割线”，则的最小值为 . 【解析】（1）（i）证明：，为中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， 故答案为：；； （ii）证明：如图，连接 是的外心， ， ， , ， ， ， ， ， 是的中点； （2）作的垂直平分线，找到外心以及中位线，连接，以为直径作圆与交于点，连接即为直线 ； （3）由（2）可知，当以为直径的圆与中位线没有交点时，无法作出“和谐分割线”， 如图，连接并延长，交与点，交于点，连接，如图： 是的中位线，是的外心， , ， 是的中点， ， 在中，， 在中，, 解得， 在中， , 在中， , 的最小值为， 故答案为：． 【变式4-1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，在等腰中，，点O是的外心，作外接圆，延长，交于点D．              (1)若与相似，求度数； (2)连，求证：； (3)如图2，在的延长线上取点E，连接，若为切线，，， ． 【解析】（1）如图1， 连接，， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 设， ， ， ，， ， ， ， ， 由得，， ， ； （2）证明：如图1， 由（1）得，， ， ， ， ； （3）如图2， 延长，交于G， 由（1）知：， 由（2）得：， ， ， ， ， 设， 由得，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-2】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）图1是一块含（即）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边与量角器所在圆的直径重合，长度为，量角器最外缘的读数是从点开始（即点的读数为），现有射线绕点从方向顺时针以每秒度的速度旋转到方向，在旋转过程中，射线与量角器的半圆弧交于点． (1)如图2，当射线经过的外心时，求此时处的读数及线段扫过的面积； (2)设旋转秒后，处的读数为，求与的函数表达式（不必写自变量的取值范围）； (3)与的长度能相等吗？若能，求旋转的时间；若不能，请说明理由． 【解析】（1） 的外接圆就是量角器所在的圆，当过外心时 (即过点) , ， ， , 即处的读数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即, 线段扫过的面积为 （2）旋转秒后, 的度数为,的度数为, 故可得与的函数式为:； （3）在图2中, ∵，， ∴， 又∵, ∴, ∴运动时间为：秒 题型五：等腰三角形 【典例5-1】（吉林省松原市前郭县北部学区2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上． (1)在图①中以为腰画一个锐角等腰三角形ABC； (2)在图②中以为边画一个面积为8的平行四边形； (3)在图③中以为边画一个正方形． 【解析】（1）如图，为所求： （2）如图，为所求： （3）如图，正方形为所求： 【典例5-2】（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【解析】（1）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴ 又∵，， ∴； ∴， ∴. （2）证明：如图， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. （3）设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当是等腰三角形时，有三种情况讨论： 当时，，，解得：； 当时，，，解得：； 当时，，，此方程无解； 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 【变式5-1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分．数学是自然科学的重要基础，在社会科学中发挥着重要的作用，数学的应用渗透到现代社会的各个方面．比如： (1)数学在生活中的应用：如图所示，木工师傅把曲尺的一边紧靠木板边缘，从曲尺的另一边上可以读出木板另一边缘的刻度，然后将曲尺移动到另一处紧靠木板边缘，如果两次读数相同，说明木板两个边缘平行，其中蕴涵的道理是 ． (2)数学在航海中的应用：如图，一艘船从处向正北航行海里到达处，分别从，望灯塔，测得，，则利用数学知识可得处到灯塔的距离是 海里． (3)数学在建设中的应用：如图：某地有两个村庄、和两条相交叉的公路，，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该点．注意保留作图痕迹，不用写作法) 【解析】（1）根据题意得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴如果两次读数相同，说明木板两个边缘平行，其中蕴涵的道理是平行四边形的对边平行， 故答案为∶平行四边形的对边平行； （2）∵，， ∴， ∴海里， ∴处到灯塔的距离是海里 （3）点为线段的垂直平分线与的平分线的交点，则点到点、的距离相等，到、的距离也相等，作图如下： 【变式5-2】（2024·北京·模拟预测）在等腰中，，，是边中点，是线段上一动点（可与点，重合），边关于对称的线段为，连接． (1)如图1若，依题意补全图形，此时__________°． (2)如图2依题意补全图后，延长，交射线于点． ①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若，面积的最大值是__________，此时的长是__________． 【解析】（1）补全图形如图所示∶ ∵，， ∴， ∵边关于对称的线段为， ∴， ∴， 故答案为：90． （2）①， 理由如下：如图，连接，过点B作于点H， ∵边关于对称的线段为， ∴，，， 设， ∵， ∴A、E、B、F四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ． ， 即， ∴， ∵， ∴， ②由①知：， ∵， ∴点G在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点O作于H，交优弧于点，连接， 当时，即点G位于点时，底边上的高最大，故的面积最大， ∵， ∴，即垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴, ∴， ∴， ∴面积最大值是． 此时，点E的位置如图所示，过点E作于K， 则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 题型六：等边三角形 【典例6-1】（吉林省松原市前郭县北部学区2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上． (1)在图①中以为腰画一个锐角等腰三角形ABC； (2)在图②中以为边画一个面积为8的平行四边形； (3)在图③中以为边画一个正方形． 【解析】（1）如图，为所求： （2）如图，为所求： （3）如图，正方形为所求： 【典例6-2】（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【解析】（1）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴ 又∵，， ∴； ∴， ∴. （2）证明：如图， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. （3）设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当是等腰三角形时，有三种情况讨论： 当时，，，解得：； 当时，，，解得：； 当时，，，此方程无解； 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 【变式6-1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分．数学是自然科学的重要基础，在社会科学中发挥着重要的作用，数学的应用渗透到现代社会的各个方面．比如： (1)数学在生活中的应用：如图所示，木工师傅把曲尺的一边紧靠木板边缘，从曲尺的另一边上可以读出木板另一边缘的刻度，然后将曲尺移动到另一处紧靠木板边缘，如果两次读数相同，说明木板两个边缘平行，其中蕴涵的道理是 ． (2)数学在航海中的应用：如图，一艘船从处向正北航行海里到达处，分别从，望灯塔，测得，，则利用数学知识可得处到灯塔的距离是 海里． (3)数学在建设中的应用：如图：某地有两个村庄、和两条相交叉的公路，，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该点．注意保留作图痕迹，不用写作法) 【解析】（1）根据题意得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴如果两次读数相同，说明木板两个边缘平行，其中蕴涵的道理是平行四边形的对边平行， 故答案为∶平行四边形的对边平行； （2）∵，， ∴， ∴海里， ∴处到灯塔的距离是海里 （3）点为线段的垂直平分线与的平分线的交点，则点到点、的距离相等，到、的距离也相等，作图如下： 【变式6-2】（2024·北京·模拟预测）在等腰中，，，是边中点，是线段上一动点（可与点，重合），边关于对称的线段为，连接． (1)如图1若，依题意补全图形，此时__________°． (2)如图2依题意补全图后，延长，交射线于点． ①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若，面积的最大值是__________，此时的长是__________． 【解析】（1）补全图形如图所示∶ ∵，， ∴， ∵边关于对称的线段为， ∴， ∴， 故答案为：90． （2）①， 理由如下：如图，连接，过点B作于点H， ∵边关于对称的线段为， ∴，，， 设， ∵， ∴A、E、B、F四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ． ， 即， ∴， ∵， ∴， ②由①知：， ∵， ∴点G在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点O作于H，交优弧于点，连接， 当时，即点G位于点时，底边上的高最大，故的面积最大， ∵， ∴，即垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴, ∴， ∴， ∴面积最大值是． 此时，点E的位置如图所示，过点E作于K， 则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 【过关测试】 1．（23-24九年级下·湖南怀化·期中）阅读材料：三角形在生产和生活中广泛应用，三角形的三条中线交于一点，我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心．    【特例感知】 （1）如图1，已知边长为6的等边的重心为点，求与的面积； 【性质探究】 （2）如图2，已知的重心为点O，求的值； 【性质应用】 （3）如图3，在矩形中，点E是的中点，连接交对角线于点M．若，求矩形的面积． 【解析】（1）连接，如图， ∵点O是的重心， ，是，边上的中线， 为，边上的中点， 为的中位线， ∴，， ， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ； （2）连接，作，，垂足分别为，如图， 由（1）得，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）连接与相交于点， ∵矩形， ∴点为中点， ∵点E是的中点， ∴点M是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵矩形， ∴． 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2  如图，中，D、E分别是边、的中点，、相交于G．求证：． 证明  连结， 根据教材内容，结合图①，给出例2的完整证明过程． 【结论概括】 如果在图①中，取的中点F，假设与交于，如图②，那么我们同理有，所以有，即两图中的点G与是重合的． 于是，我们有以下结论： 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的_______． 【结论应用】 如图③所示，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，、相较于点O，且，则四边形的面积值为_______． 【解析】教材呈现：连接，如图①， ∵、分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； 结论概括：由上可知，，，则，即两图中的点与是重合的． 则三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的， 故答案为：； 结论应用：∵，为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴，，则， ∵为的中点，为的中点， ∴，为三角形的重心， 则， ∴， 则四边形的面积为， 故答案为：2． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）综合与实践 周末小亮遇到了这样一道题： 【作业】如图1，中，，G为其重心，D为的中点，以G为圆心，长为半径画，过A点作的两条切线，切点分别为E、F，求的值． 【小亮的解答】连接． G为重心，D为的中点， A、G、D在一直线上， ， ， 、与相切， ， 在中，， ，同理，， ， ． 小明阅读了以上内容进行了一些反思，请你根据反思内容完成对应的任务 【反思1】小亮的解答过程中得到“”的依据是重心的一个性质：三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍．课本中并没有给出这样的结论，所以不能直接应用得到“”．要想证明，只要作出如图2的辅助线（连接并延长交于H，连接）即可． 【任务1】请你在图2的基础上，帮小亮完善得到“”的过程． 【反思2】若将【作业】中“如图”去掉，其它条件保持不变，的值是否会发生改变？ 【任务2】请你求出满足什么条件时，的值保持为？ 【反思3】若将【作业】中“G为其重心，D为的中点”改为“D为边上一动点，G为线段上一点，”其它条件保持不变，的值是否会发生改变？ 【任务3】若，，请你直接写出的长度在什么范围内时，的值保持为？ 【解析】（1）证明：点G是的重心， 、为中和边上的中线， 即D是的中点，H是中点， ，， ，， ， ，即 ； （2）若B、E在异侧，不论为何值，始终等于，不等于 若B、E在同侧，，D为的中点， ， ，， ，， ，， 如图，当E点在外时， ， ， ， ，则， 如图，当F点在外时， ， ， ， ，则， 点E、F在内，包括点E在边上，或点F在边上， 如图，点E在边上，则， 过点D作于点M ，令， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得：， ，， ， 点F在边上，点D在点处，则， 过点作与点N，令， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， ，， ， ， ， ． 4．（2024·江苏镇江·一模）【阅读】 我们知道，a、b两数的算术平均数是，如图1，数轴上点A、B（点A在点B的左侧）分别表示数a和b，那么线段的中点表示的数是．它们的表达形式之所以是一致的，其原因就是算术平均数的意义与线段中点的意义是一致的．同样的，若点M在线段上且，即，说明点M更靠近点A，则可以利用加权平均数的意义，将点M表示为． 【理解与运用】 (1)数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，点N在线段上，且，则点N表示的数为 ； (2)在平面直角坐标系中，点P的坐标是，点Q的坐标是，线段的中点坐标是．线段的三等分点也有相类似的结论，例如，点T在线段上，，直接写出T点的坐标为（ ， ）； (3)如图2，在平面直角坐标系中，点H、I、K分别是三边上的三等分点，且，，．试证明：的重心与的重心重合．（三角形的三条中线的交点称为三角形的重心，重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为） 【解析】（1）∵， ∴点N是线段的四等分点且更靠近点B， ∴点N表示的数为， 故答案为：； （2）∵， ∴点T的横坐标为，纵坐标为 T点的坐标为, 故答案为：，； （3）设， 则的中点为， ∵重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为， ∴的重心坐标为， 化简得，， ∵，，， ∴，，， ∴的中点坐标为， 即， ∴的重心为 即， ∴的重心与的重心重合． 5．（23-24九年级下·浙江·自主招生）如图，G为的重心．    (1)当时，求的面积； (2)当时，求证：． 【解析】（1）延长到，与相交于D，使，如图， 则，， ∴， ∴， ∵G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）延长，，分别交，，于点D，E，F，如图， 由重心的性质可知，点D，E，F分别是，，的中点，且，，， ∵， ∴，则，化简得， 同理：， ∵， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴，化简得， ∴． 6．（2024·山西吕梁·二模）阅读下列材料，并完成相应的学习任务： 我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．由于三角形的三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心．下面我们以锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点． 如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，且AD与BE相交于点P．连接CP并延长，交AB于点F． 求证：CF⊥AB． 证明：分别过点A，B，C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M，N，Q．分别连接PM，PN，PQ． ∵MNBC，MQAB，NQAC， ∴四边形MABC，四边形ANBC，四边形ABQC都是平行四边形． ∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ． ∵AD⊥BC， ∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN． ∴PM=PN． … 学习任务： （1）请将上面剩余的证明过程补充完整； （2）点P是△MNQ的 ．（填出字母代号即可） A．内心        B．外心        C．垂心            D．重心 （3）若∠CAB=40°，则∠MPN= °． 【解析】（1）∵BE⊥AC， ∴∠EBQ=∠BEA=90°，即EB⊥NQ． ∴PN=PQ． ∴PM=PQ． ∴PC⊥MQ， ∴∠CFB=∠FCM=90°． ∴CF⊥AB． （2）∵PM=PQ=PN， ∴点P是△MNQ的外心， 故选B． （3）∵四边形ABQC都是平行四边形， ∴∠BQC=∠CAB=40°， ∵点P是△MNQ的外心， ∴∠MPN=2∠BQC=2×40°=80°， 故答案是：80°． 7．（17-18九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图①，小聪在学习圆的性质时发现一个结论，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，则∠BAD=∠OAC． (1)请你帮小聪证明这个结论； (2)运用以上结论解决问题：如图②，H为△ABC的垂心，若∠ABC的平分线BE⊥HO，⊙O的半径为10，求弦AC的长． 【解析】（1）证明：作直径AE，连结CE，如图①， ∵AE为直径， ∵AD⊥BC， ∵∠AEC=∠ABD， ∴∠BAD=∠EAC， 即∠BAD=∠OAC； （2）作直径CF，延长AH交BC于D，连结AF、BF、BH、OB，如图②， ∵CF为直径， ∵为的垂心， ∴AH⊥BC，BH⊥AC， ∴四边形AHBF为平行四边形， ∴AF=BH， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， 由(1)的结论得∠ABH=∠CBO， ∴∠HBE=∠OBE， ∵OH⊥BE， ∴△BOH为等腰三角形， ∴BH=OB=10， ∴AF=BH=10， 在中， ∵CF=20，AF=10， 8．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图①，在正方形内有一点，，点是的中点，且．连接，求的最小值； （2）如图②，某小区有五栋楼，刚好围成五边形，米，米，在小区内部建立一个老年活动中心，满足栋楼到栋楼之间的距离与栋楼到老年活动中心的距离相等（即，过点作于点，老年活动中心，，围成直角三角形．在的内心建立一个餐厅，现修建一条小路，使得栋楼的居民到餐厅的距离最小，请问是否存在最小距离？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．    【解析】（1）过作于，连接，如图①：   ，， ， ， ，， ， ， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的半圆， 当、、共线时，最小，的最小值为， 在中，， 最小为； （2）存在，如图②，连接，，，   是的内心， 平分，平分， ， ， ， 在与中， ， ∴ ， 如图③，作的外接圆，连接，，   ， 当，，三点共线时，最小， 如图④，连接，，，延长，过点作交的延长线于点， 在中，， ， 米， 米， 米， （米， 在中，由勾股定理得，米， 米， 的最小值为米． 9．（2024·山东济宁·二模）如图，直线与经过原点的抛物线相交于点，，与轴、轴分别相交于点，，抛物线与轴另一个交点为，点的坐标为，点在第一象限内且到轴、轴的距离相等． (1)求抛物线的解析式； (2)在第四象限内，是抛物线上一动点．当以点为圆心，以为半径的圆与直线相切于点时，求点的坐标； (3)在第一象限内，抛物线的对称轴上是否存在一点，使的内心也在抛物线的对称轴上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）∵点的坐标为在直线上， ∴ 解得： ∴ ∵点在第一象限内且到轴、轴的距离相等 ∴在上， 联立 解得： ∴， ∵抛物线经过原点， ∴ 将，代入得， 解得： ∴ （2）∵与轴、轴分别相交于点，， 当时，，当时，， ∴ ∴， 由，令 ∴， 解得： ∴， ∴ 如图所示，取，则 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴以为半径的圆与直线相切于点， 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：（舍去）或 ∴ （3）∵ ∴抛物线对称轴为直线 ∴关于的对称点为 ∵的内心在抛物线的对称轴上 ∴的角平分线所在的直线为， 如图所示，连接交于点， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 将代入，得， ∴． 10．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． (1)求的长； (2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论； (3)连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 【解析】（1）∵是的直径， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）， 证明如下：延长到，使，连接， ∵，， ∴， 在△ADF和△BDC中， ， ∴， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴； （3）连接，， ∵， ∴， ∵点为的内心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）： 设弧所在圆的圆心为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， ∴点的路径长为． 11．（2024·江苏泰州·一模）已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点． (1)如图，连接，求证：； (2)如图，； 若，求的长； 若，求的值； (3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 【解析】（1）∵点是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由题意知，，直径， ∴由勾股定理得， 连接，，过点作于点， ∵点是的内心， ∴， ∴， 在中， ， ； 连接，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接，，，， ∵点是的内心， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∴， 同理，，， 但，随着点的运动而变化， ∴线段为定值，且． 12．（2024·浙江杭州·一模）如图，为的直径，点是直线上方的上一点，点是的内心，连接，，．延长交于点． (1)若，，求的长； (2)求的度数； (3)当点在直线上方的上运动时，求证：． 【解析】（1）∵是直径， ∴ ∴ ，， 解得： ∵ ∴； （2）∵是的内心 ∴设， ∵， ∴ 即 ∴ ∴； （3）如图，连接，则 点是的内心 ∴平分 ∴ ∴ 是等腰直角三角形 , , ∴． 13．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图在四边形中，，动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． (1)的长为___________； (2)当时，求t的值； (3)试探究：t为何值时，为等腰三角形； (4)若点P是的外心，直接写出是锐角三角形时t持续的时长． 【解析】（1）如图1，过A、D分别作于K， DH⊥BC于H，则则四边形是矩形． ． 在中，，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ； （2）如图2，过D作交于G点， ∵， ∴四边形ADGB是平行四边形， ， ， ， ， 由题意知， ， ∴ ， ， 又， ． ，即， 解得，； （3）分三种情况讨论： ①当时，如图3所示， ∴， 解得． ②当时，如图4所示，过N作于E，过点D作于H， 解法一：由等腰三角形三线合一性质得：， 在中，， 又在中，， ． 解得． 解法二：， ． ，即． ． ③当时．如图5所示，过M作于F点， ∴． 解法一：（方法同②中解法一） 解得． 解法二：， ． ，即， ． 综上所述，当、或时，为等腰三角形． （4）如图6所示，当时， 在中，， ∴， 解得； 如图3所示，当时， 在中，， ∴， 解得； ∵点M从点B运动到图6中点M的位置的过程中，点M从图6中点M的位置运动到图7中点M的位置的过程中，，点M从图7中点M的位置继续向点C运动时，， ∴只有点M从图6中点M的位置运动到图7中点M的位置的过程中，是锐角三角形， ∴是锐角三角形时t持续的时长为秒 14．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图1，直角三角板和一个量角器拼在一起，，三角板的斜边与量角器所在圆的直径重合，长度为4.量角器最外缘的读数是从点开始（即点的读数为0），现有射线CP绕点C从CA方向顺时针旋转，在旋转过程中，若射线CP与量角器的半圆弧有交点，记交点为. (1)当射线与的外接圆相切时，为________； (2)如图2，当射线经过的外心时，求处的读数及线段扫过的面积； (3)连接，当时，求的度数. 【解析】（1）连接，如图所示： 射线与的外接圆相切， ， ， ， 射线旋转的度数是， 故答案为：； （2）， 的外接圆就是量角器所在的圆，当过的外心时（即过点）， ， ， ，即处的读数为60； 在中，，，则，， 边上的高为， 扫过的面积为； （3）连接，如图所示： 由（2）得的外接圆就是量角器所在的圆， ， 当时，， ，即的度数为． 15．（23-24九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比为； (2)画出的外接圆，写出的外心D的坐标，并计算出弧BC的长． 【解析】（1）如图，或即为所求； （2）如图，即为所求．． ∵，， ∴， ∴弧的长． 16．（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，，，直线经过点．设，于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．    (1)判断：__________； (2)若，求的长； (3)若的外心在三角形内部（不包括边上），直接写出的取值范围． 【解析】（1）∵，， ∴， 在四边形中，， 故答案是：； （2）由旋转可知，， 又∵， ∴，， ∴． 由（1）知，而， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵，则是等腰直角三角形， ∴； （3）由（2）可知， 当时，则为直角三角形，外心在其斜边上， 当时，则为钝角三角形，外心在其外部， 当时， ∵，，， ∴，则， ∴， ， 则为锐角三角形，外心在其内部， 故：． 17．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，O都在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．    (1)在图中画出绕点O顺时针旋转所得到的（其中点A，B，C的对应点分别为，，）； (2)D是上一点，在图中画出D关于的对称点； (3)在图中描出的外心P，并直接写出点A到直线的距离． 【解析】（1）如图所示： （2）D关于的对称点，如图所示： （3）的外心P如图所示： 连接，，过点A作交于点，过点P作交于点，如图所示： 根据网格特征以及勾股定理，得， 则，， 因为， 所以 则点A到直线的距离为． 18．（23-24七年级上·山东济宁·期中）定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图，若，则点为的准外心． 已知为直角三角形，斜边，，准外心在上，求的长．（自己画图）    【解析】如图，， 当时，， 当时，设， 在中，， 解得，即的长为， 综上所述，的长为或． 19．（2024·山西大同·模拟预测）综合与实践 问题情境 在数学活动课上，老师让同学们以“等边三角形的旋转”为主题开展活动，已知完全相同的等边三角形和等边三角形，点A，B，C分别与点D，E，F重合，点O是边，的中点．固定，将绕点O顺时针旋转． 问题解决 （1）如图1，当点E落在边上时，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）在旋转的过程中，连接，，试判断，的位置关系，并在图2与图3中选择一种情况进行证明． 问题拓展 （3）如图4，若与都是等边三角形，但，其他条件不变，在旋转的过程中，当点E落在边上时，连接，，延长交于点N．已知，，请直接写出的长． 【解析】四边形是菱形；理由如下： ∵点O是边，的中点， ∴，， ∵和是完全相同的等边三角形； ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）选择图2，连接，，延长，交于点M，如图所示： 由旋转可知：， ∵点O是边，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 选择图3，连接，，设，交于点G，如图所示： 根据旋转可知：， ∵点O是边，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴． （3）连接，，延长交于点M，如图所示： ∵点O是边，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵等边中，，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 20．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，四边形是矩形，连接． (1)实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 【解析】（1）如图，即为所求， （2）猜想， 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵． ∴，， ∵， ∴ ∵的平分线，交于点M． ∴， ∴， ∴ 21．（2024·广东深圳·三模）【问题呈现】 （1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系；小明同学给出了如下解决思路：以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系 ． 【类比探究】 （2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明． 【实际应用】 （3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件（），如图③所示．其中厘米，厘米，，垂足是，且是的中点，且，连接．在尝试画图的过程中，王师傅发现，和之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出，和之间的数量关系，并证明此结论．    【解析】（1）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵以为边作等边，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论改变，，理由如下： ∵，， ∴是等腰直角三角形， 如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）∵，E是的中点， ∴，， ∴， 如图③，将绕点D逆时针旋转得到，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵厘米，厘米， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 22．（23-24八年级下·河南郑州·期末）类比三角形中位线，连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1在四边形中，设，与不平行，E，F分别为的中点，连接，则是四边形的中位线． (1)在横线上填写内容，探索中位线与线段之间的关系； 如图2，连接并延长至点G，使，连接， ∵，， ∴是______的中位线，______， ∵，， ∴______， ______， 在中，， 则____________ (2)用不同方法证明上述结论，请你将下面的证明过程补充完整； 如图3，连接，取的中点M，连接， ∵点E，点M分别是和的中点， … (3)如图4，在五边形中，，，，，若点F，G分别是边的中点，则线段长的取值范围是______． 【解析】（1）如图2，连接并延长至点G，使，连接， ∵，， ∴是的中位线，， ∵，， ∴， ， 在中，，即 则． （2）如图3，连接，取的中点M，连接， ∵点E，点M分别是和的中点， 为的中位线， ， 点F，点M分别是和的中点， 为的中位线，， 在中，， ． （3）连接，作，垂足为，如图所示， ，， ， ，， ， 点F，G分别是边的中点， 由第（1）（2）问的结论得 ， 即， ． 23．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，在中，．将绕点A按逆时针方向旋转得到，连结BD．当时，求旋转角的度数和的度数．（提示：在一个三角形中，若两条边相等，则它们所对的角也相等） 【解析】将绕点A按逆时针方向旋转得到，， ，，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ． 24．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）综合与实践 【发现问题】在学习旋转时，小明发现，如图1，将线段绕点A逆时针旋转后得到线段，连接，则为等边三角形； 【提出问题】依据小明的发现，小红提出这样的问题：如图2，为等边三角形，点D在边上，将绕着点A逆时针旋转后得到，连接，则是绕点A旋转后得到的图形吗？请做出判断并说明理由； 【解决问题】如图3，点P为等边三角形内一点，且，求的长； 【学以致用】如图4，设村庄A、B、C的连线构成一个三角形，且已知，，现欲建设中转站P沿直线向A、B、C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A、B、C的铺设成本均为4万元，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为________万元． 【解析】（提出问题）∵为等边三角形， ∴可以看成将线段绕点A逆时针旋转后得到线段， ∵将绕着点A逆时针旋转后得到， ∴是绕点A逆时针旋转后得到得到的图形； （解决问题）把逆时针旋转，此时与重合，对应点，则，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴, ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴； （学以致用）把顺时针旋转得到，则，，， ∴、是等边三角形， ∴， ∴， ∴当、、、四点共线时，最小， 过作于， ∵， ∴， ∴，， ∴, ∴， ∴最小值为， ∴总的铺设成本最低为万元 故答案为：． 25．（2024·山东青岛·一模）（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点O． ①如图1，容易得到______； ②探究：如图1，______； 如图2，______； 如图3，______； （2）如图4，已知：是以为边向外所作正n边形的一组邻边；，是以为边向外所作正n边形的一组邻边，与的延长线相交于点O，则______（用含n的式子表示）． 【解析】①证明：如图1， ∵和是等边三角， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴． ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，连接， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 如图3，连接， ， ∵五边形和五边形是正五边形， ∴， ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①②； （2）以此类推，当作正n边形时，． 故答案为： 26．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点． +   (1)如图①，点与点重合时，点，分别在线段，上，求证：； (2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段上，试探索三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)点O在线段上，若，，当时，请直接写出的长． 【解析】（1）证明：如图①中， ∵与为正三角形， ∴，， ∵将射线绕点O逆时针旋转， ， ， ， ，， ； （2），理由如下：， 如图②，过点O作交与点H，   ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ∴； （3）作于H． ，为正三角形，， ， ， 如图③中，当点O在线段上，点E在线段上时．   ， ， ， 过点O作，交于N， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图③-2中，当点O在线段上，点E在线段上，点F在线段的延长线上时， 同法可证：， ， ； 如图③-3中，当点O在线段上，点F在线段上，点E在线段上时． 同法可证：， ， ， ； 如图③中，当点O在线段上，点F在线段的延长线上，点E在线段上时． 同法可知：， 而， ， ； 综上所述，满足条件的的值为4或2或6． 27．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)你所知道的特殊四边形中，是勾股四边形有__________（一个即可） (2)如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形． (3)如图（2），是正三角形，，且．求证：，即四边形ABCD是勾股四边形． 【解析】（1）正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方， 故答案为：正方形， （2）由题意得： ∴，即要使， ∴点都满足条件，如图即为所求， （3）如图②，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即四边形是勾股四边形． 28．（2024·河南洛阳·一模）同学们，“在同一个圆中，同弧对的圆周角相等”，这个命题的逆命题是“在一条线段的同侧，若干个点对线段两端点张角相等，那么这些点与线段的两端是共圆的”．这是真命题．如右图，若，则、、、共圆．这个命题可以解决很多问题． (1)如图1，和均为正三角形，、、三点共线，的度数是______，线段、之间的数量关系是______． (2)如图2，在等腰直角和等腰直角中，，、、三点共线，线段、交于点．求出的度数． (3)如图3所示，在中，，，，连接，，将绕点逆时针方向旋转，当所在直线与直线交于点时，请直接写出的长． 【解析】（1）和均为正三角形， ，，，， ，即， 在和中， ， ， ，， 、、三点共线， ， ， ， ，， 故答案为：，； （2）和均为等腰直角三角形， ，， ，， 在和中， ，， ， ， 又， ， ， ； （3）①当直线在直线下方时，如图4， ，， 是的中位线，，， ，，， 在中，， ，， ， ， 由旋转得：， ， ，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ； ②当直线在直线上方时，如图5， 同①得：，则，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，的长为或． 29．（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务． 圆内接正三角形的有趣结论 我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论. 如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程： 以点为顶点，作，交于点D，            在等边三角形中，，， （依据）， ， 是等边三角形， ， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴ 任务： (1)小宇的日记中的“依据”是 ， (2)如图，若，，则线段的长度是 ， (3)如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【解析】（1）在等边三角形中，，， （在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）， 故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 （2） 过点作于点， 在中， ∴，， ∴， ， 在中， ， ， ，． ， 由题可知， ． （3） 连接，过点作交于点 ∵正方形内接于 ，， 是等腰直角三角形 ∴， 即 ． 30．（23-24九年级上·辽宁本溪·期末）如图1所示，在正三角形中，是边（不含端点）上任意一点，是延长线上一点，是的平分线上一点，连接，若． (1)求证：； (2)若将试题中的“正三角形”改为“正方形”（如图2），是的平分线上一点，则当时，结论是否还成立？（直接给出结论，不需要证明） 【解析】（1）证明：在上截取，连结． 是等边三角形， ，． ，， ． 又平分， ， ． 又，， ， 即． 为等边三角形， ∴， ， 即， ∴≌， ． （2）成立． 在上取一点E，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵，，， ∴． ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴≌， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$