第二十二章二次函数常考考点2023-2024学年人教版数学九年级上册

二次函数的图象及性质（8个高频考点） 【考点1 二次函数的定义】 1 【考点2 二次函数的图象与性质】 2 【考点3 二次函数的图象与系数的关系】 3 【考点4 二次函数的对称性】 4 【考点5 二次函数的最值】 6 【考点6 待定系数法求二次函数的解析式】 7 【考点7 二次函数图象的平移】 8 【考点8 二次函数与一元二次方程】 9 【题型9 销售问题】 10 【题型10 拱桥问题】 12 【题型12 二次函数中求面积最值】 15 【要点1 二次函数的概念】 一般地，形如y=+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【考点1 二次函数的定义】 【例1】（2022·安徽合肥·校考一模）已知是关于x的二次函数，那么m的值为______ 【变式1-1】（2022·湖南怀化·中考真题）下列函数是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022·重庆永川·统考一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【要点2 二次函数的图象与性质】 二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 【考点2 二次函数的图象与性质】 【例2】（2024·湖北·中考真题）抛物线 的顶点为 ,抛物线与 轴的交点位于 轴上方. 以下结论正确的是 ( ) A. B. C. D. 【变式2-1】（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(   ) A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对 【变式22】（2022·湖南郴州·统考中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数有最大值，是大值是5 D．当时，y随x的增大而增大 【变式2-3】.（2023·浙江温州·校考三模）已知点（-1，y1），（2，y2），（4，y3）都在二次函数y=ax2-2ax+3的图象上，当x=1时，y＜3，则y1，y2，y3的大小比较正确的是（    ） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 【要点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】 ① 二次项系数：总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． ②一次项系数：在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置，对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” ③常数项：总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置． 【考点3 二次函数的图象与系数的关系】 【例3】.(2023河北沧州青县月考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么(　　) A.a<0,b<0,c>0　　　　B.a<0,b>0,c>0 C.a>0,b>0,c<0　　　　D.a>0,b<0,c<0 【变式3-1】（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．3a+c＞0 C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣ 【变式3-2】（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】(2016·长沙 12 题) 已知抛物线 与 轴最多有一个交点. 现有以下四个结论: ① 该抛物线的对称轴在 轴左侧; ② 关于 的方程 无实数根; ③ ; ④ 的最小值为 3 。其中, 正确结论的个数为 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【考点4 二次函数的对称性】 【例4】.已知二次函数y=3(x-5)2,当x分别取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取时,函数值为　　　　.  【变式4-1】（2022秋•甘州区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 … 则该二次函数图象的对称轴为（　　） A．y轴 B．直线x C．直线x＝1 D．直线x 【变式4-2】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（    ） A． B．当时，的值随值的增大而增大 C．点的坐标为 D． 【变式4-3】（2022·北京昌平·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线过点． ①求抛物线的对称轴； ②当时，图像在轴的下方，当时，图像在轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式； (2)若，，为抛物线上的三点且，设抛物线的对称轴为直线，直接写出的取值范围． 【考点5 二次函数的最值】 【例5】（2024·四川乐山·中考真题） 已知二次函数 ,当 时,函数取得最大值; 当 时,函数取得最小值,则 的取值范围是 A. B. C. D. 【变式5-1】（2022·浙江衢州·统考中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A． 或4 B．或 C．或4 D．或4 【变式5-2】（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，已知点在二次函数的图像上，且． (1)若二次函数的图像经过点． ①求这个二次函数的表达式； ②若，求顶点到的距离； 【变式5-3】（2022·天津滨海新·统考二模）已知：抛物线（b，c为常数），经过点A（－2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标； 【考点6 待定系数法求二次函数的解析式】 【例6】(2023北京门头沟期中)一抛物线与抛物线y=x2-2x+3的形状、开口方向相同,顶点为(-2,1),则此抛物线的解析式为 (　　) A.y=-(x-2)2+1　　　　B.y=-(x+2)2-1 C.y=(x+2)2+1　　　　D.y=(x-2)2-1 【变式6-1】．若抛物线的顶点坐标是且经过点，则该抛物线的解析式为（    ） A．B． C． D． 【变式6-2】.(2022安徽淮南月考)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过(-1,0),(0,5)两点,则这个二次函数的解析式为　　　　　　.  【变式6-3】（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的解析式和点C的坐标； (2)若点M在直线上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索） 【要点4 二次函数图象的平移变换】 （1）平移步骤： ①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2）平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【考点7 二次函数图象的平移】 【例7】（2022•澄城县二模）要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象（　　） A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 【变式7-1】将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度．若得到的抛物线经过点，则的值是______． 【变式7-2】将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位后，所得抛物线为，则抛物线解析式为________． 【变式7-3】．已知y＝x2＋bx＋c的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图像的表达式为y＝x2－2x－3. (1)b＝________，c＝________； (2)求原函数图像的顶点坐标； (3)求两个图像顶点之间的距离． 【要点5 二次函数与一元二次方程之间的关系】 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0 a＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 【考点8 二次函数与一元二次方程】 【例8】(2023广西河池凤山期中)若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则方程ax2+bx+c=0的解为(M912204)(　　) A.x1=0,x2=3　　　　B.x1=1,x2=3 C.x1=1,x2=0　 　D.x1=-1,x2=3 【变式8-1】(2023浙江绍兴上虞期中)下列二次函数的图象与x轴有且只有一个公共点的是(　　) A.y=3x2+9x　　　　 B.y=-x2+4x+4 C.y=2x2+4x+5　　　　D.y=x2-2x+1 【变式8-2】.(2022江苏盐城盐都月考)已知抛物线y=x2-(m-1)x-m与x轴只有一个公共点,则m=　　　　.  【变式8-3】（2022•武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（　　） A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n 【题型9 销售问题】 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题。解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围。 【要点2 销售问题中的常用公式】 （1）利润=售价-进价=进价×利润率 （2）利润率 = （3）总利润=总售价-总进价=销售量×（单件售价-单件成本） 【例9】（2022秋•平谷区期末）某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1﹣8月份这种药材售价（元）与月份之间存在如表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价（元）与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断 　　月份出售这种药材获利最大． 月份 … 3 6 … 每千克售价 … 8 6 … 【变式9-1】(2019春•麓山国际中考三模）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． （1）求出每天的销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？ 【变式9-2】（2022秋•椒江区期末）某一种蜜桔在农贸水果市场的需求量y1（万斤）、市场供应量y2（万斤）与市场价格x（元/斤）分别满足下列关系：y1＝﹣0.2x+2.8，y2＝0.4x﹣0.8，当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量． （1）求平衡价格和平衡需求量； （2）若该蜜桔的市场销售量y（万件）是市场需求量y1和市场供应量y2两者中的较小者，该蜜桔的市场销售额P（万元）等于市场销售量y与市场价格x的乘积．当市场价格x取何值时，市场销售额P取得最大值？ （3）蜜桔的每斤进价为m元，若当3≤x≤10时，随着x的增大，蜜桔的销售利润（万元）会经历先减小后增大再减小的变化，请直接写出m的取值范围． 【变式9-3】（2022•庐阳区校级一模）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润w（元）的部分对应值如表： 售价x（元/件） 40 45 月销售量y（件） 300 250 月销售利润w（元） 3000 3750 注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价） （1）求y关于x的函数表达式； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（m≤6）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围． 【题型10 拱桥问题】 构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题。 【例10】2022秋•明德天心九上期中）国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”．某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹，如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时水平飞行距离为9米，手榴弹离手点离地面高度为1.9米． （1）求此抛物线解析式； （2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远？ 【变式11-1】（2022秋•西城区校级期中）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF．（结果保留根号） 【变式11-2】（2022•威县校级模拟）弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图16，甲站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2． （1）a的值为 　　；点B的横坐标为 　 　； （2）若弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半． ①求弹力球第一次着地后抛物线解析式； ②求弹力球第二次着地点到点O的距离； ③如果摆放一个底面半径为0.5m，高0.5m的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点9m，若要甲能投球成功，需将筐沿x轴向左移动bm，直接写出b的取值范围． 【变式11-3】（2022秋•袁州区校级期中）宜春袁山公园内有一座景观桥，桥洞形状如抛物线ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为yx2+c且过顶点C（0，8）（长度单位：m） （1）直接写出c的值； （2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，求需要多少平方米的地毯？（不计损耗） （3）为了使景观桥夜晚更加漂亮，需在桥洞下方洞壁相同高度处如图示的E、F位置安装两盏LED灯，且点E的横坐标与纵坐标之和为﹣4，求安装的LED灯距离水面AB的高度． 【题型12 二次函数中求面积最值】 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论。 【例12】（2022•三水区校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C． （1）求点A的坐标； （2）若经过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点D． ①当k＞0且a＝﹣1时AD交线段BC于E，交y轴于点F，求S△EBD﹣S△CEF的最大值； ②当k＜0且k＝a时，设P为抛物线对称轴上一动点，点Q是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由． 【变式12-1】（2022•宜兴市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E． （1）求证OCOE； （2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a时，求△CMN的周长的最小值； （3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由． 【变式12-2】（2022秋•九龙坡区校级月考）如图，直线yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2x+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，点P是第一象限抛物线上的点，连结OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，当四边形PACB面积最大时，　　． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$