福建省上杭县第一中学2023-2024学年高二下学期数学期末复习卷八

上杭一中2023-2024第二学期高二数学期末复习卷八 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．函数的极大值点是（　　   ） A． B． C． D． 2．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（       ） A．若随机变量满足且，则 B．已知随机变量～，若，则 C．若事件相互独立，则 D．若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强 4．定义：对于定义域内的任意一个自变量的值，都存在唯一一个使得成立，则称函数为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（    ） A． B． C． D． 5．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动六次后位于点的概率是（    ） A． B． C． D． 7．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设，用符号表示不大于的最大整数，如，则叫做高斯函数.给定函数，若关于的方程有5个解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（      ） A．在上单调递增 B．是的零点 C．的极小值为 D．是奇函数 10．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（      ） A． B． C． D． 11．已知正方体的棱长为2，棱的中点分别为E，F，点G在底面上，且平面平面，则下列说法正确的是（　　） A．若存在λ使得，则 B．若，则平面 C．三棱锥体积的最大值为2 D．二面角的余弦值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为 . 13．某企业有两条生产某种零件的生产线，其中第 1 条生产线的生产效率是第 2 条生产线的生产效率的两倍．若第 1 条生产线出现废品的概率约为 0.015，第 2 条生产线出现废品的概率约为 0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立．现从该企业生产的该零件中随机抽取一件，则该零件为废品的概率为 . 14．已知函数，，若，且，则的最大值为 ． 四、解答题（15题13分，16-17题15分，18-19题17分，共77分） 15．已知函数. (1)若是函数的极值点，求的值，并求其单调区间与极值； (2)若函数在上仅有2个零点，求的取值范围. 16．为贯彻落实全国教育大会精神，全面加强和改进新时代学校体育工作，某校开展阳光体育“冬季长跑活动”．为了解学生对“冬季长跑活动”的兴趣度是否与性别有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占80%． (1)根据所给数据，完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别是否有关？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男 12 女 36 合计 100 (2)若不感兴趣的男学生中恰有5名是高三学生，现从不感兴趣的男学生中随机抽取3名进行二次调查，记选出高三男学生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17．在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 18．近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格： 大学 大学 大学 大学 当年毕业人数（千人） 3 4 5 6 自主创业人数（千人） 0.1 0.2 0.4 0.5 (1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程； (2)假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴． （ⅰ）若该市大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额； （ⅱ）若大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为，，该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求的取值范围． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为． 19．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． (1)类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 2．A 3．D 4．B 5．D. 6．C 7．B 8．D【详解】 所以函数是以为周期的周期函数，当时，，则 要使得有5个解，即函数与函数的图象有5个交点. 当时，函数与函数，的图象如下图所示   不满足题意 当时，函数与函数，的图象如下图所示   要使得函数与函数的图象有5个交点，则函数的图象低于点A，不低于点B 故有 ，解得： 9．BC 10．ABD11．BCD【详解】如图，建立空间直角坐标系，依题意，，设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，所以，令，则，即， 设平面的一个法向量，则， 所以，令，则 即，因为平面平面，所以，即，所以， 选项A：若存在λ使得，则点G在线段上，所以，即， 所以G为的中点，即，故A错误； 选项B：若，则，即，所以G为的中点， 因为E为的中点，所以,故四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面，故B正确； 选项C：因为，设平面的一个法向量为， 则，所以，令，则， 即，设G到平面的距离为， 又为等边三角形且边长为，则， 所以，又， 所以当时，三棱锥体积的最大值为2，故C正确； 选项D：因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 则， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为，故D正确； 12． 13．/ 14．/ 【详解】，时，，单调递增， 又，，所以，又，所以， 由，有，即， 又，，在上单调递增，所以， 即，所以，令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，即，，所以的最大值为. 15、详解】（1）是函数的极值点， ，解得， ， 可知：是函数的极大值点，满足题意.. 令可得或；令可得， 所以的单调增区间为：，单调减区间为：. （2）函数在上仅有2个零点不是函数的零点） 则令，所以， 可转化为函数的图象与函数的图象有2个不同的交点， 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增， 时，函数取得极小值即最小值，. 当趋近于时，趋近正无穷，因为， 所以，解得： 的取值范围是. 16．(1)无关 (2)分布列见解析， 【详解】（1）抽取的该校100名高中学生中感兴趣的人数为人， 列联表补充如下： 感兴趣 不感兴趣 合计 男 女 合计 零假设学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别无关． 则， 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据推断不成立， 因此可以认为学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别无关． （2）所有可能的值为. ，， ，， 的分布列为： 3 的数学期望：. 17．(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于， 因为，所以四边形为等腰梯形， 所以，故，， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 又，所以平面，又因为平面，所以； （2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ，则， 则，设平面的法向量， 则有，可取，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 18．(1)(2)（ⅰ）万元（ⅱ） 【详解】（1）由题意得，     ，    所以故得关于的线性回归方程为 （2）（ⅰ）将代入, 所以估计该市政府需要给大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为（万元）      （ⅱ）设小明、小红两人中选择自主创业的人数为X,则X的所有可能值为0，1，2      ，       ∴       ,故的取值范围为 19．(1), (2) (3)0 【详解】（1）求导易知,. （2）构造函数，，由（1）可知， ①当时，由, 可知，，故单调递增， 此时，故对任意，恒成立，满足题意； ②当时，令，， 则，可知单调递增， 由与可知， 存在唯一，使得， 故当时，， 则在内单调递减， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数的取值范围为． （3），， 令，则； 令，则， 当时，由（2）可知，， 则， 令，则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 因为， 即为偶函数，故在内单调递减， 则，故当且仅当时，取得最小值0． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$