精品解析：贵州省黔西南州金成实验学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

秘密★启用前 2023—2024学年度第二学期0328第一次质量检测 高二年级数学 答卷注意事项： 1.学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题. 2.填涂答题卡必须使用2B铅笔. 3.答题时字迹要清楚、工整 4.本卷共19小题，总150分. 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某质点运动的方程是，当t由1变到2时，其路程的增量等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的定义计算即可. 【详解】. 故选：B 2. 设在处可导，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义判断即可. 【详解】因为在处可导， 所以. 故选：C 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数后代入计算. 【详解】由已知， 所以， 故选：B. 4. 曲线在处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而得到倾斜角. 【详解】因为，所以，所以， 所以曲线在处的切线的斜率为，则倾斜角为. 故选：C 5. 已知函数的导数为，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接求导，令求出，再将带入原函数即可求解. 【详解】由得，当时，，解得，所以，. 故选：B 6. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】因为函数在点处的切线方程为， 所以，且，所以， 所以． 故选：A. 7. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由得，再由在处取得最大值，分析得，得. 【详解】当时，函数取得最大值-2， 所以，即，，定义域为， 又因为在处取得最大值，所以在上单调递增，在上单调递减，， 则，所以. 故选：A. 8. 已知函数若函数有三个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为与图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出图象，即可确定k的范围. 【详解】由题意，与图象有三个交点， 当时，，则， ∴在上，递增，在上，递减， ∴时，有最大值，且在上，在上. 当时，单调递增， ∴图象如下 ∴由图知：要使函数有三个零点，则. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导函数，判断各选项的正误. 【详解】A：，故正确； B：，故错误； C：，故错误； D：，故正确. 故选：AD 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 叫做函数值的增量 B. 叫做函数在上的平均变化率 C. 在处的导数记为 D. 在处的导数记为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数值的增量的意义判断A；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD. 【详解】A中，叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A正确； B中，称为函数在到之间的平均变化率，B正确； 由导数的定义知函数在处的导数记为，故C错误，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的单调递减区间是 B. 函数的单调递增区间是， C. 处是函数的极值点 D. 时，函数的导函数小于0 【答案】BD 【解析】 【分析】综合应用函数的单调性与导函数的关系即可解决. 【详解】根据导函数的图象，对于A项，在上，，可得函数的单调递减区间是，故A错误； 对于B项，在上，，在上，可得函数的单调递增区间是，，故B正确； 对于C项，是的变号零点，且时，，当时，，故是函数的极大值点， 是的不变号零点，不是函数的极值点，故C错误； 对于D项，，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的图象在点处的切线平行于轴，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意得， 由函数的图象在点处的切线平行于轴， 可得，得， 故答案为：-2 13. 设函数，则的最大值为__________，最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用导数求出在上的单调性，从而可求最值. 【详解】由得， 令，则，解得； 令，则，解得． ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 且，， ∴的最大值为，的最小值为． 故答案为:,0. 14. 一个箱子的容积与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，______． 【答案】60 【解析】 【分析】根据，利用导数法求解. 【详解】解：因为， 所以， ， 令，得， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， 故答案为：60 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】结合复合函数导数以及导数运算求得函数的导数. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以 . 【小问4详解】 因为， 所以. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）若直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 【答案】（1） （2），切点为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程； （2）设切点为，得到切线的斜率，再由切线过点，求出的值，即可求出切点坐标与切线方程； 【小问1详解】 由题意，函数的导数为，所以， 即曲线在点处的切线斜率为4，且切点为， 所以切线方程为，即为； 【小问2详解】 设切点为，可得切线的斜率为， 所以切线方程为， 又切线过原点，可得，解得， 即切点为， 所以切线方程为，即． 17. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【小问1详解】 ，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上的最小值是，求a的值. 【答案】（1）的单调递增区间为，无单调递减区间；（2） 【解析】 【分析】（1）确定函数的定义域，根据可得在定义域上的单调性; （2）求导函数，分类讨论,确定函数在上的单调性利用在上的最小值为即可求的值. 【详解】解：（1）函数的定义域为, 且, 当时，，即函数在定义域上为增函数， 的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）由（1）知,, ①若，则，即在上恒成立, 此时在上为增函数, 在上的最小值为, , （舍去） ②若,则，即在上恒成立, 此时在上为减函数, ，（舍去）. ③若，令，得. 当时,,在上为减函数； 当时，，在上为增函数， ， 综上可知： 19. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求证：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）设函数， 则，， 因为递增，递增， 可得在上单调递增，且， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，故， 即得证． 【解析】 【分析】（1）利用求导得出的递增区间和递减区间，即可得到结果； （2）构造新函数，利用导数判断函数的单调性，即可得证. 【小问1详解】 ，∴， 令，解得， 所以当时，， 当时，， 的单调递减区间为，单调递增区间为， 有极小值且为，无极大值． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 2023—2024学年度第二学期0328第一次质量检测 高二年级数学 答卷注意事项： 1.学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题. 2.填涂答题卡必须使用2B铅笔. 3.答题时字迹要清楚、工整 4.本卷共19小题，总150分. 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某质点运动的方程是，当t由1变到2时，其路程的增量等于（ ） A. B. C. 1 D. 2. 设在处可导，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导数为，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 7. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 已知函数若函数有三个零点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 叫做函数值的增量 B. 叫做函数在上的平均变化率 C. 在处的导数记为 D. 在处的导数记为 11. 已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的单调递减区间是 B. 函数的单调递增区间是， C. 处是函数的极值点 D. 时，函数的导函数小于0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的图象在点处的切线平行于轴，则_________. 13. 设函数，则的最大值为__________，最小值为__________． 14. 一个箱子的容积与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； （4）； 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）若直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 17. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上的最小值是，求a的值. 19. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $