24.1 圆的有关性质 第三课时 弧、弦、圆心角 学案 2024～2025学年人教版九年级数学上册

24.1圆的有关性质 第三课时 弧、弦、圆心角 2024~2025学年九年级数学上册（人教版）(原卷版) 1．顶点在圆心的角叫做圆心 角． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相 等；两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么其余各组量也相 等． 知识点1：圆心角及其计算 1．下列图形中的∠1是圆心角的是 （ ） 2．如图，下列各角是圆心角的是 （ ） A．∠ODC B．∠OCD C．∠AOB D．∠BDC 3．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆心角的度数是60 °. 【变式】如图，弦AB所对的圆心角是90°，且 AB＝4，则该圆的半径为2 . 知识点2：弧、弦、圆心角之间的关系 4．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是 （ ） A．32° B．60° C．64° D．68° 5．(教材P85T1变式)如图，AB，CD分别为⊙O的两条弦，OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，且OM＝ON，则 （ ） A．AB＝CD B．∠AOB＝∠COD C.＝ D．以上结论都对 6．(大庆中考)在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为 （ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O 上．若＝，∠C＝55°，则∠COD＝140 °. 8．如图，在⊙O中，AB＝CD.求证：AD＝BC. 易错点：忽略“在同圆或等圆中”这一隐含条件 9．在同圆中，下列四个命题：①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等．其中是真命题的有 （ ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．②④ 10．如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，E为的中点，若∠BAC＝44°，则∠AOE的大小为 （ ） A．22° B．44° C．66° D．88° 11．已知AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为点C，D，若＝＝，则∠P＝60° . 12．(核心素养·创新意识)把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，下图中的虚线表示折痕，则所对圆心角的度数是15 °. 13．如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上的两点，且四边形OBCD是菱形．求证：＝. 14．如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在上，且 ＝2，OA＝4. (1)∠COD＝30 °； (2)求弦AD的长； (3)P是半径OC上一动点， 连接AP，PD，求AP＋PD的最小值． 15．(蔡甸区期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是116 °. 24.1圆的有关性质 第三课时 弧、弦、圆心角 2024~2025学年九年级数学上册（人教版）(解析版) 1．顶点在圆心的角叫做圆心 角． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么其余各组量也相等． 知识点1：圆心角及其计算 1．下列图形中的∠1是圆心角的是 （ ） 答案：B 2．如图，下列各角是圆心角的是 （ ） A．∠ODC B．∠OCD C．∠AOB D．∠BDC 答案：C 3．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆心角的度数是60 °. 答案：60° 【变式】如图，弦AB所对的圆心角是90°，且 AB＝4，则该圆的半径为2 . 答案：2 知识点2：弧、弦、圆心角之间的关系 4．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是 （ ） A．32° B．60° C．64° D．68° 答案：C 5．(教材P85T1变式)如图，AB，CD分别为⊙O的两条弦，OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，且OM＝ON，则 （ ） A．AB＝CD B．∠AOB＝∠COD C.＝ D．以上结论都对 答案：D 6．(大庆中考)在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为 （ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：D 7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O 上．若＝，∠C＝55°，则∠COD＝140 °. 答案：140° 8．如图，在⊙O中，AB＝CD.求证：AD＝BC. 证明：∵AB＝CD， ∴＝， ∴－＝－， 即＝， ∴AD＝BC. 易错点：忽略“在同圆或等圆中”这一隐含条件 9．在同圆中，下列四个命题：①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等．其中是真命题的有 （ ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．②④ 答案：B 10．如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，E为的中点，若∠BAC＝44°，则∠AOE的大小为 （ ） A．22° B．44° C．66° D．88° 答案：B 11． 已知AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为点C，D，若＝＝，则∠P＝60° . 答案：60° 12．(核心素养·创新意识)把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，下图中的虚线表示折痕，则所对圆心角的度数是15 °. 答案：150° 13．如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上的两点，且四边形OBCD是菱形．求证：＝. 证明：如图，连接OC. ∵四边形OBCD是菱形， ∴DO＝DC. 又∵DO＝CO， ∴△DOC为等边三角形， ∴∠DOC＝60°. 同理可证∠BOC＝60°， ∴∠AOD＝180°－∠BOC－∠DOC＝60°， ∴∠AOD＝∠DOC，∴＝. 14．如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在上，且 ＝2，OA＝4. (1)∠COD＝30 °； (2)求弦AD的长； (3)P是半径OC上一动点， 连接AP，PD，求AP＋PD的最小值． 答案：(1) 30° 解：(2)由(1)知 ∠AOD＝2∠COD＝2×30°＝60°. ∵OA＝OD＝4， ∴△AOD为等边三角形． ∴AD＝OA＝4. (3)延长AO交⊙O于点B，连接BD交OC于点P.连接AP. ∵OA⊥OC，OA＝OB，∴PA＝PB. ∴PA＋PD＝PB＋PD. ∵两点之间，线段最短， ∴AP＋PD的最小值为BD. 过点O作OH⊥BD于点H. 由(2)知∠AOD＝60°.∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB＝∠AOD＝30°. 在Rt△OBH中，OB＝4，OH＝OB＝2，∴BH＝＝2. ∵OH⊥BD，∴BH＝DH.∴BD＝2BH＝4，即AP＋PD的最小值为4. 15．(蔡甸区期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是116 °. 答案：116° 学科网（北京）股份有限公司 $$