10.1.4概率的基本性质课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1.4 概率的基本性质 思考1:你认为可以从哪些角度研究概率的性质? 探究：概率的基本性质 下面我们从定义出发，研究概率的性质，例如概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系；等等. 由概率的定义可知: 任何事件的概率都是非负的; 在每次试验中,必然事件一定发生,不可能事件一定不会发生. 一般地，概率有如下性质: 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 P(Ω)=1，P(Ø)=0. 探究：设事件A与事件B互斥,和事件A∪B的概率与事件A、B的概率之间具有怎样的关系?（P234例6） 例6：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2）,2个绿色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”． 分析：事件R=“两次都摸到红球”与事件G =“两次都摸到绿球”互斥，R∪G=“两次摸到的球颜色相同” ． 试验的样本空间 Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3) }． R ={(1,2)，(2,1)}; G={(3,4)，(4,3)}；R∪G={(1,2)，(2,1)，(3,4)，(4,3)}， 因为n(R)=2，n(G)=2，n(R∪G)=2+2=4， 一般地，因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n(A∪B)=n(A)+n(B)，这等价于P(A∪B)=P(A)+ P(B)，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和.所以我们有互斥事件的概率加法公式： 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 性质3的推论 如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 分析：因为事件A与事件B互为对立事件， 所以事件A与事件B互斥(A∩B= Ø)，事件A∪B为必然事件(A∪B=Ω)， 所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(A∪B)＝1， 所以有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1． 探究：设事件A和事件B互为对立事件，它们的概率有什么关系? 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么 P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 6 因为n(A)≤n(B)，所以 一般地，对于事件A与事件B，如果A⊆B，即只要事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率．于是我们有概率的单调性： 思考1：在古典概型中，对于事件A与事件B，如果A⊆B，那么P(A)与P(B)有什么关系？ 即 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质5的推论：对于任意事件A，0≤P(A)≤1. 思考2：对于任意事件A，P(A)的取值范围是什么？ 因为Ø⊆A⊆Ω， 所以P(Ø)≤P(A)≤P(Ω)， 即0≤P(A)≤1. 7 思考：在P234页例6的摸球试验中,R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,“两个球中有红球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+ P(R2)相等吗?如果不相等,请你说明原因,并思考如何计算P(R1∪R2)？ Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2), (3,4),(4,1),(4,2),(4,3) }． R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4) }； R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2) }； 因为n(Ω)=12，n(R1)=n(R2)=6，n(R1∪R2)=10， 例6：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2）,2个绿色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”． 因为n(Ω)=12，n(R1)=n(R2)=6，n(R1∪R2)=10， 即事件 不是互斥的. 性质6：设A、B是一个随机试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 显然，性质3 是性质6 的特殊情况． 当A，B互斥时，P(A∩B)＝P(Ø)＝0，所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－0＝P(A)＋P(B)． 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即 P(Ω)=1,P(Ø)=0； 性质3 如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4 事件A与事件B互为对立事件,那么P(A)＝1－P(B),P(B)＝1－P(A)； 性质6 设A，B是一个试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 性质5 如果A⊆B,那么P(A) ≤ P(B)； 对于任意事件A,0≤ P(A)≤1； 归纳总结 10 解：（1）因为C=A∪B,且A与B不会同时发生,所以A与B是互斥事件. 根据根据互斥事件的概率加法公式，得 P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)= （2）因为C与D是互斥事件，又因为C∪D为必然事件，所以 C与D互为对立事件.因此 P(D)=1－P(C)= 例11：从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)= ，那么 (1)C=“抽到红花色”，求P(C)； (2)D=“抽到黑花色”，求P(D). 11 例12：为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动: 将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若 从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少? 解法１：设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖”，事件A2=“第二罐中奖”，那么事件AlA2=“两罐都中奖”， 　=“第一罐中奖,第二罐不中奖”, 　　=“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且 A=A1A2∪ 　∪ 　 . 因为A1A2， 　 ， 两两互斥，所以 P(A)=P(A1A2)+P( 　)+P( 　 ). 第一罐 第二罐 可能结果 不中奖 中奖 中奖 不中奖 中奖 不中奖 我们借助树状图来求相应事件的样本点数. P(A)=P(A1A2)+P( 　)+P( 　 ). 可以得到，n(Ω)=6×5=30，且每个样本点都是等可能的. 因为n(A1A2)=2，n( 　 )=8，n( 　 )=8，所以 P(A)= 2 4 1 4 3 2 13 解法２：事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”. 由于 =“两罐都不中奖”，而n( )=4×3=12， 正难则反 所以 课本练习 1.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3. (1)如果B⊆A，那么P(A∪B)= ，P(AB)= 　 . (2)A，B互斥，那么P(A∪B)= ，P(AB)= 　 . 2.指出下列表述中的错误： (1)某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5； (2)如果事件A与事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1 . 解：(1)因为明天下雨与明天不下雨是对立事件，且明天下雨的概率为 0.4，所以明天不下雨的概率为 0.6． (2)当事件A与事件B互斥且不对立时， P(A)+P(B) ＜1；当事件A与事件B对立时，P(A) +P(B)= 1．所以这句表述是错误的． 3. 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即 P(Ω)=1,P(Ø)=0； 性质3 如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4 事件A与事件B互为对立事件,那么P(A)＝1－P(B),P(B)＝1－P(A)； 性质6 设A，B是一个试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 性质5 如果A⊆B,那么P(A) ≤ P(B)； 对于任意事件A,0≤ P(A)≤1； 课堂小结 1.概率的基本性质 2.方法： 正难则反 在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（Ｍ（男）、Ｆ（女））及年级（G1（高一）、G2（高二）、G3（高三））分类统计的人数如下表： G1 G2 G3 Ｍ 18 20 14 Ｆ 17 24 7 若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：P(Ｍ)= ,P(F)= ,P(Ｍ∪F)= ,P(ＭF)= , P(G1)= ,P(Ｍ∪G2)= ,P(FG3)= . $$