10.1.2事件的关系和运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1.2 事件的关系和运算 随机事件 我们将样本空间Ω的______称为E的随机事件，简称事件，并把只包含______样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C等表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为______事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为________事件 子集 一个 必然 不可能 复习 （1）集合之间的包含关系： （3）集合之间的运算： B A A B ①交集： A∩B B A A∩B ③补集： A （2）集合之间的相等关系A = B ②并集： A ∪ B A B A∪B 两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、相等集合、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？ A U A 探究： 在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如: Ci =“点数为i”，i=1，2，3，4，5，6； D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”； E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”； F=“点数为偶数”； G=“点数为奇数”; …… 你还能写出这个试验中其他一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件. 探究一：事件的关系和运算 如：Ｈ1={出现的点数小于7}；Ｈ2={出现的点数大于4}； 借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗? 思考1： 观察事件C1=“点数为1 ”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ C1={1}，G={1，3，5}. 显然，如果事件C1发生，那么事件G一定发生. 用集合表示就是 也就是说，事件G包含事件C1. 5 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含B，即 　　　　　　　则称事件A与事件B相等，记作A=B. 归纳:包含和相等关系 6 D1={1,2,3}，E1={1,2}和E2={2,3}. 可以发现，事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生. 用集合表示就是 这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件. 思考2： 观察事件D1=“点数不大于3 ”、事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ 7 一般地，若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们就称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作 如图：绿色区域和黄色区域表示 这个并事件. 归纳:并事件（和事件） 8 C2={2}，E1={1,2}和E2={2,3} 可以发现，事件E1和事件 E2同时发生，相当于事件C2发生． 用集合表示就是 这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件. 思考3：用集合的形式表示事件C2=“点数为2 ”，事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件C2与之间的联系吗？ 9 一般地，若事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们就称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作 如图所示，蓝色区域表示这个交事件. 归纳:交事件（积事件） 10 C3={3}，C4={4}. 可以发现，事件C3与事件C4不可能同时发生. 用集合表示： 这时我们称事件C3与事件C4互斥. 思考4：用集合的形式表示事件C3=“点数为3 ”和事件C4=“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ 11 一般地，若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=Φ，我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容）. 如图所示. 归纳:互斥事件 12 F={2，4，6}，G={1，3，5} 在任何一次试验中，事件F与事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一. 用集合表示为{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即F∪G=Ω，且{2，4，6}∩{1，3，5}=Φ，即F∩G=Φ 这时我们称事件F与事件G互为对立事件. D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”. 事件D1与D2也有这种关系. 思考5：用集合的形式表示事件F=“点数为偶数 ”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ 13 一般地，若事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=Φ，我们就称事件A与事件B互为对立. 事件A的对立事件记作 . 如图所示. 归纳:对立事件 14 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 AUB或A+B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Φ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=Φ,AUB=Ω 事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件. 例如，对于三个事件A，B，C， ①互斥事件可以是两个或两个以上事件的关系，而对立事件只针对两个事件而言. ②从定义上看，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，也就是不可能同时发生；而对立事件除了要求这两个事件不同时发生外，还要求这二者之间必须要有一个发生. 说明：互斥事件与对立事件的区别： 因此，对立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情况， 但互斥事件不一定是对立事件. 1.某人打靶时连续射击两次,下列事件中与事件“至少 一次中靶”互为对立的是( ) A．至多一次中靶 　　　B．两次都中靶 C．只有一次中靶 　　　D．两次都没有中靶 解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和 “中靶两次”两种情况，由对立事件的定义，可知 “两次都没有中靶”与之互为对立． 答案：D 课本233页练习 2.抛挪一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci=“点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”，D2=“点数大于2”，D3=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”. 判断下列结论是否正确. (1)C1与C2互斥； (2)C2,C3为对立事件; (3)C3⊆D2; (4)D3 ⊆D2; (5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ; 　(6)D3=C5∪C6; (7)E=C1∪C3∪C5; (8)E,F为对立事件； (9)D2∪D3=D2; (10)D2∩D3=D3. 解：(1)因为C1∩C2={1}∩{2}=Φ，所以C1与C2互斥，故（1）正确. (2))因为C2∩C3={2}∩{3}=Φ,但C2∪C3={2}∪{3}={2，3}≠Ω，所以互斥但不对立，故（2）错误. (3)因为C3={3}，D2={3，4，5，6}，所以C3⊆D2，故(3)正确. (4)因为D2={3，4，5，6}，D3={5，6} ，所以D3⊆D2，故(4)正确. (5)因为D1∪D2={1，2}∪{3，4，5，6}={1，2，3，4，5，6}=Ω, D1D2={1，2}∩{3，4，5，6}=Φ，故(5)正确. (6)因为D3={5，6}，C5∪C6={5}∪{6},所以D3=C5∪C6,故(6)正确. (7))因为E={1，3，5}，C1∪C3∪C5={1}∪{3}∪{5}= {1，3，5}，所以E=C1∪C3∪C5，故(7)正确. (8)因为E={1，3，5}，F={2，4，6}，E∩F=Φ，E∪F=Ω，所以E,F为对立事件，故(8)正确. (9)因为D2={3，4，5，6}，D3={5，6}， 所以D2∪D3={3，4，5，6}∪{5，6}={3，4，5，6}， 所以D2∪D3=D2，故（9）正确. (10))因为D2∩D3={3，4，5，6}∩{5，6}={5，6}，所以 D2∩D3=D3，故（10）正确. 解：用x1，x2分别表示元件甲，乙两个 元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这 个并联电路的状态．以1表示元件正常，0表示元件失效， 则样本空间为Ω={(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)}． 例5：如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”． (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； 乙 甲 22 (2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件； 解：A={(1，0)，(1，1)}， 　　B={(0，1)，(1，1)}， A={(0，0)，(0，1)}， B={(0，0)，(1，0)}． 乙 甲 例5：如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”． 23 (3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并说明它们的含义及关系． A∪B表示电路工作正常，A∩B表示电路工作不正常． 解：A∪B ={(1，0)，(0，1)，(1，1)}，A∩B={(0，0)}. A∪B和A∩B互为对立事件． 乙 甲 例5：如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”． 24 例6：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”． （1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； （2）事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？ （3）事件R与G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与R2的交事件与事件R有什么关系？ 25 （1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； 解：所有的试验结果如图所示. 用数组(x1，x2)表示可能的结果， x1是第一次摸到的球的标号， x2是第二次摸到的球的标号， 则试验的样本空间 Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)， (3，1)，(3，2)， (3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3) }． 26 解：R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4) }； R2={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2) }； R ={(1，2)，(2，1)}; G={(3，4)，(4，3)}； M={(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}； N={(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}． 27 解：(2)因为R⊆R1，所以事件R1包含事件 R； 因为R∩G=Ø，所以事件R与事件G互斥； 因为M∩N=Ø,M∪N=Ω,所以事件R与事件G互为对立事件． （2）事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？ R1={(1，2),(1，3),(1，4),(2，1),(2，3),(2，4) }； R2={(2，1),(3，1),(4，1),(1，2),(3，2),(4，2) }； R ={(1，2),(2，1)}; G={(3，4),(4，3)}； M={(1，2),(2，1)，(3，4)，(4，3)}； N={(1，3),(1，4),(2，3),(2，4),(3，1),(3，2),(4，1),(4，2)}． 28 解：（３）因为R∪G=M，所以事件M是事件R与事件G的并事件； 因为R1∩R2=R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件． （3）事件R与G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与R2的交事件与事件R有什么关系？ R1={(1，2),(1，3),(1，4),(2，1),(2，3),(2，4) }； R2={(2，1),(3，1),(4，1),(1，2),(3，2),(4，2) }； R ={(1，2),(2，1)}; G={(3，4),(4，3)}； M={(1，2),(2，1)，(3，4)，(4，3)}； N={(1，3),(1，4),(2，3),(2，4),(3，1),(3，2),(4，1),(4，2)}． 29 (1)包含关系、相等关系的判定 ①事件的包含关系与集合的包含关系相似； ②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生． (2)判断事件是否互斥的两个步骤 第一步，确定每个事件包含的结果； 第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的． (3)判断事件是否对立的两个步骤 第一步，判断是互斥事件； 第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立． 课堂小结 30 当堂检测 1、若从装有大小和质地完全相同的2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,则下列为互斥的两个事件是(　　) A.“至少有1个黑球”与“都是黑球” B.“1个红球也没有”与“都是黑球” C.“至少有1个红球”与“都是红球” D.“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球” √ √ 3.打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示(　 　) A.全部击中 B.至少击中1发 C.至少击中2发 D.以上均不正确 解析:A1∪A2∪A3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发.故选B. √ 3.某人打靶时连续射击两次,击中靶心分别记为A,B,不中分别记为,,事件“至少有一次击中靶心”可记为(　 　) A.A B.+AB C.B+ D.B+A+AB 解析:事件“至少有一次击中靶心”包括“第一次击中靶心和第二次击不中靶心”“第一次击不中靶心和第二次击中靶心”和“两次都击中靶心”, 即B+A+AB.故选D. $$