8.4空间点、线、面位置关系及空间角讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2023-2024学年度第二学期高一期末专题复习 ---05空间点、线、面的位置关系及空间角专题 1、 考点分析 1. 空间点、线、面位置关系的判定 2. 空间角的求解 2、 典例剖析 （1） 空间点、线、面位置关系的判定 【例1】下列说法正确的是（    ） A．过空间中的任意三点有且只有一个平面 B．四棱柱各面所在平面将空间分成27部分 C．空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面 D．若直线a在平面外，则平面内一定存在直线与a平行 【跟踪训练1-1】下列命题正确的是（   ） A．过三个点有且只有一个平面 B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面 C．四边形为平面图形 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【跟踪训练1-2】下列命题错误的是（    ） A．在正方体中，直线与是异面直线 B．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，平行四边形的直观图是平行四边形 C．棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点 D．圆心和圆上两点可确定一个平面 【跟踪训练1-3】如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 【例2】已知平面及空间中的任意一条直线，那么在平面内一定存在直线使得（    ） A． B．与相交 C．与是异面直线 D． 【跟踪训练2-1】已知平面平面β，，，则直线a和b的位置关系为（    ） A．平行 B．平行或异面 C．异面或相交 D．平行或异面或相交 【跟踪训练2-2】如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是（    ） A．AB与CD是异面直线 B．GH与CD相交 C． D．EF与AB异面 【例3】下列说法错误的是（    ） A．平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 B．一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．平行于同一平面的两个平面互相平行 【跟踪训练3-1】已知和是两个不重合的平面，则下列条件中可判定的是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．和垂直于同一条直线 C．和平行于同一条直线 D．和都垂直于同一平面 【跟踪训练3-2】下列命题正确的有（    ） ①若一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行 ②若一条直线在平面外，则该直线与此平面可能有公共点 ③采用斜二测画法画一个边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为 ④长方体各个面所在的平面将空间分成27部分 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪训练3-3】下列命题是真命题的是（    ） A．若是空间中的两条直线，且，则 B．若直线在平面外，则 C．若平面与平面满足，则 D．正方形的直观图还是正方形 【跟踪训练3-4】下列命题中正确的有 ①四边形可以确定一个平面； ②若一条直线与一个平面平行，则这条直线平行于这个平面内的任意一条直线； ③若两平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面； ④若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ⑤过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直； ⑥过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行. 【例4】已知、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，则（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，且，则 【跟踪训练4-1】已知平面，直线，满足，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【跟踪训练4-2】已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【跟踪训练4-3】已知，，为三个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 （2） 空间角的求解 【例5】如图，在正四棱柱中，是棱的中点，则直线与BE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练5-1】如图，在正三棱锥中，分别为的中点，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练5-2】如图，在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例6】如图，已知边长为2的正方体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值为 . 【跟踪训练6】如图所示，在三棱柱中，底面，，，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为 .    【例7】如图，已知三棱锥的各棱长均为2，则平面和平面所成角的余弦值为： ． 【跟踪训练7】在三棱锥中（如图所示），，则二面角的余弦值为 .    学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期高一期末专题复习 ---05空间点、线、面的位置关系及空间角专题 1、 考点分析 1. 空间点、线、面位置关系的判定 2. 空间角的求解 2、 典例剖析 （1） 空间点、线、面位置关系的判定 【例1】下列说法正确的是（    ） A．过空间中的任意三点有且只有一个平面 B．四棱柱各面所在平面将空间分成27部分 C．空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面 D．若直线a在平面外，则平面内一定存在直线与a平行 【答案】B 【分析】根据基本事实可判断A错误，由四棱柱的空间结构可判断B正确；利用异面直线定义可得C错误；当直线和平面相交时可知D错误. 【详解】对于A，若空间中的三点共线，可以有无数个平面，即A错误； 对于B，如下图所示，四棱柱的上下底面所在平面将空间分成了三层， 每一层又被四个侧面分成了9个小部分，所以四棱柱各面所在平面将空间分成27部分,即B正确； 对于C，如选项B中图所示，与异面，与异面，但与在同一平面内，即C错误； 对于D，若直线a在平面外，当直线a在平面相交时，如下图所示： 则平面内不存在直线与a平行，即D错误. 故选：B 【跟踪训练1-1】下列命题正确的是（   ） A．过三个点有且只有一个平面 B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面 C．四边形为平面图形 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质可判断A，D，由推论可判断B，根据特例可判断C. 【详解】根据公理知，过不共线的三点确定一个平面，故A错误； 因为两条平行直线确定一个平面，而两个交点都在这个平面内，故这条直线也在这个平面内，所以三条直线共面，故B错误； 由空间四边形不是平面图形可知，C错误； 由公理知，两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确. 故选：D 【跟踪训练1-2】下列命题错误的是（    ） A．在正方体中，直线与是异面直线 B．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，平行四边形的直观图是平行四边形 C．棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点 D．圆心和圆上两点可确定一个平面 【答案】D 【分析】根据正方体的性质判断A，根据斜二测画法判断B，根据棱台的定义判断C，根据基本事实判断D. 【详解】对于A：在正方体中，直线与既不平行也不相交，所以直线与是异面直线，故A正确， 对于B：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，平行四边形的直观图是平行四边形，故B正确； 对于C：棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点，故C正确； 对于D：圆上两点在直径的端点时，三点共线，不能唯一确定一个平面，故D错误. 故选：D 【跟踪训练1-3】如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 【答案】D 【分析】利用基本事实2,3可得正确的选项. 【详解】 对于AB， 因为直线在平面内，且，所以点必在平面内，故A正确； 同理直线在平面内，且，所以点必在平面内，故B正确； 由A，B选项得点在平面内，也在平面内， 对于CD， 由基本事实3得点在交线上，故C正确；直线与直线为相交直线， 故D不正确， 故选：D. 【例2】已知平面及空间中的任意一条直线，那么在平面内一定存在直线使得（    ） A． B．与相交 C．与是异面直线 D． 【答案】D 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 【详解】对于A：当直线与平面相交时，平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：异面、相交， 此时就不可能平行了，故A错； 对于B：当直线与平面平行时，平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：异面、平行， 此时就不可能相交了，故B错； 对于C：当直线在平面内时，平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：平行、相交， 此时就不可能异面了，故C错； 对于D：不管直线与平面的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面内找到一条直线与直线垂直， 因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故D正确. 故选：D 【跟踪训练2-1】已知平面平面β，，，则直线a和b的位置关系为（    ） A．平行 B．平行或异面 C．异面或相交 D．平行或异面或相交 【答案】D 【分析】借助正方体观察即可求解. 【详解】平面平面平面β，直线， 如图在正方体中，令平面，平面， 当时，显然有相交， 当时，显然有， 当时，显然有异面， 所以直线a，b的位置关系为平行或异面或相交. 故选：D. 【跟踪训练2-2】如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是（    ） A．AB与CD是异面直线 B．GH与CD相交 C． D．EF与AB异面 【答案】D 【分析】还原几何体，再判断线与线的位置关系. 【详解】展开图还原为几何体后，如图， 由图可知与是异面直线，与相交，，与相交， 所以A,B,C正确，D错误. 故选：D 【例3】下列说法错误的是（    ） A．平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 B．一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．平行于同一平面的两个平面互相平行 【答案】C 【分析】借助平行和垂直的判定定理和性质，结合长方体模型可以解决. 【详解】如图， 对于A,由线面平行的定理直接推出.故A正确. 对于B,由线面平行的性质直接推出.故B正确. 对于C, ，但是，故C错误. 对于D,相互平行的平面都不会有交点，故平行.故D正确. 故选:C. 【跟踪训练3-1】已知和是两个不重合的平面，则下列条件中可判定的是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．和垂直于同一条直线 C．和平行于同一条直线 D．和都垂直于同一平面 【答案】B 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A，内有无数条直线与平行，则，可能相交或， 当与相交时，这无数条直线都与两平面的交线平行，故内有无数条直线与平行得不出与平行，所以A错误； 对于B，，垂直于同一条直线时，可得与平行，所以B正确； 对于C，，平行于同一条直线，与相交或，所以C错误； 对于D，，垂直于同一平面，与相交或，所以D错误． 故选：B． 【跟踪训练3-2】下列命题正确的有（    ） ①若一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行 ②若一条直线在平面外，则该直线与此平面可能有公共点 ③采用斜二测画法画一个边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为 ④长方体各个面所在的平面将空间分成27部分 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】对于①，根据线面平行的判定定理分析判断，对于②，根据直线在平面外的定义判断，对于③，根据直观图与原图形的关系分析判断，对于④，利用两个平行平面将空间分成3部分分析判断. 【详解】对于①，若一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行或在平面内，故①错误； 对于②，若一条直线在平面外，则该直线与此平面相交或平行，所以直线与此平面可能有公共点，故②正确； 对于③，因为斜二测画法中，所以，故③正确； 对于④，看成上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，所以共分27个部分，故④正确， 故选：D． 【跟踪训练3-3】下列命题是真命题的是（    ） A．若是空间中的两条直线，且，则 B．若直线在平面外，则 C．若平面与平面满足，则 D．正方形的直观图还是正方形 【答案】C 【分析】对于A，利用空间两直线的位置关系进行判定；对于B，利直线与平面的位置关系进行判定；对于C，利用平面与平面的位置关系进行判定；对于D，根据平面图形的斜二测画法进行判断. 【详解】对于A，若是空间中的两条直线，且，则或是异面直线，故A错误； 对于B，若直线在平面外，则或直线与平面相交，故B错误； 对于C，若平面与平面满足，则，故C正确； 对于D，正方形的直观图是平行四边形，故D错误. 故选：C. 【跟踪训练3-4】下列命题中正确的有 ①四边形可以确定一个平面； ②若一条直线与一个平面平行，则这条直线平行于这个平面内的任意一条直线； ③若两平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面； ④若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ⑤过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直； ⑥过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行. 【答案】③⑤ 【分析】利用空间的平行与垂直的判定定理和性质定理，就可以作出判断. 【详解】①错误，因为不共线的三点确定一个平面，第四点可能不在同一个平面内； ②错误，若一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与平行平面相交有一条交线，则这条直线与交线平行，所以它并不平行于平面内的任意一条直线； ③正确，根据两平面平行的性质，可知一个平面内的任意直线必平行于另一个平面； ④错误，根据线面垂直的判定定理，是需要垂直于平面内的两条相交直线，而平面内无数条直线有可能都不相交，所以不能判定线面垂直； ⑤正确，过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直； ⑥错误，因为过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行. 故答案为：③⑤. 【例4】已知、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，则（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，且，则 【答案】B 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与相交或与异面，故A错误； 对于B：根据面面平行的性质定理可知，若，且，，则，故B正确； 对于C：若，，则，又，则或与相交或与异面，故C错误； 对于D：若，且，则或，故D错误. 故选：B 【跟踪训练4-1】已知平面，直线，满足，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】因为直线，满足，， 若“”则“”成立，故充分性成立； 若，则不一定平行，与可能平行或异面，故必要性不成立； 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：D 【跟踪训练4-2】已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】用具体事物比如教室作为长方体，再根据面面平行的判定定理及线面平行的判定定理判断． 【详解】对于A，比如教室的一角三个面相互垂直，故A不正确； 对于B，若，，，此时与可能相交或平行，故B不正确； 对于C，若，，此时或，由线面平行的判定定理可知，或，故C不正确； 对于D，若，，则，而，所以，故D正确. 故选：D 【跟踪训练4-3】已知，，为三个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由空间中的线面位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，，则可能平行，可能相交，可能异面，故A错误； 若，，则，故B错误； 若，，则可能平行，可能相交，故C错误； 若，，由线面垂直的性质定理可得，故D正确； 故选：D （2） 空间角的求解 【例5】如图，在正四棱柱中，是棱的中点，则直线与BE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知即可（或其补角）即为直线与BE所成的角，设，则可求得，，，在中，由余弦定理即可得到答案. 【详解】 如图,连接， 在正四棱柱中，设，， 则， 又是棱的中点，所以， 所以， 又在正四棱柱中，， 所以四边形为平行四边形，则， 所以（或其补角）即为直线与BE所成的角， 由，则， 又， 在中，由余弦定理得 . 故选：D. 【跟踪训练5-1】如图，在正三棱锥中，分别为的中点，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，是异面直线与所成的角，进而求即可. 【详解】因为分别为的中点，所以， 则是异面直线与所成的角. 因为三棱锥为正三棱锥，所以是等边三角形， 于是. 故异面直线与所成的角为. 故选：A. 【跟踪训练5-2】如图，在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知这是一个正四面体，即各面都是等边三角形，通过平移，就可作出异面直线所成的角，再进行解三角形计算,就可得到结果. 【详解】 取线段的中点G，连接由点是棱的中点，可得， 所以为直线与所成角或其补角． 不妨设，由等边三角形可得，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以．在中，由余弦定理得， 即直线PD与CE所成角的余弦值为． 故选：C． 【例6】如图，已知边长为2的正方体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值为 . 【答案】 【分析】连接，交与，利用线面垂直的判定定理可得平面，为与平面所成角，在直角三角形中，求出，可得答案. 【详解】 连接，交与，所以，连接， 因为平面，平面， 所以，又，所以，且， 平面，所以平面， 所以为与平面所成角， 在直角三角形中，，， 所以. 故答案为：. 【跟踪训练6】如图所示，在三棱柱中，底面，，，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为 .    【答案】/ 【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，得到直线与侧面所成的角为，然后由题目条件可得，的长度，从而可得侧面积. 【详解】    连接， 因为底面，，底面， 所以，， 又，所以， 又，，，平面， 所以平面， 所以直线与侧面所成的角为，即， 所以， 所以在中，， 该三棱柱的侧面积为. 故答案为：. 【例7】如图，已知三棱锥的各棱长均为2，则平面和平面所成角的余弦值为： ． 【答案】 【分析】取的中点，连接、，依题意可得，，即可得到即为平面和平面所成角，再由余弦定理计算可得； 【详解】解：取的中点，连接、，因为三棱锥的各棱长均为， 所以，且， 所以即为平面和平面所成角， 由余弦定理， 即，解得； 故答案为： 【跟踪训练7】在三棱锥中（如图所示），，则二面角的余弦值为 .    【答案】 【分析】利用二面角平面角的定义作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可. 【详解】    如图，取AB的中点M，连接PM，CM， 在中，，所以，， 同理可得，，， 所以即为二面角的平面角. 因为，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$