一 圆柱与圆锥(课件)--2023-2024学年六年级下册数学北师大版

[单元思维图解] -1- 圆 柱 与 圆 锥 面的旋转 一 圆柱与圆锥 点、线、面、体”之间的联系:点的运动形成线, 线的运动形成面,面的运动形成体。 圆柱的各部分名称及特征:圆柱有两个底面和一个侧面,两个底面是完全相同的圆, 侧面是一个曲面,圆柱有无数条高。 圆锥的各部分名称及特征:圆锥的底面是一个圆,侧面是一个曲面,圆锥只有一条高。 测量圆柱与圆锥高的方法:测量圆柱的高要用直尺,测量圆锥的高要用直尺和平板。 圆柱的表面积 圆柱侧面积的计算方法:圆柱的侧面沿高展开后是长方形(或正方形),圆柱的侧面积=底面周长×高。 圆柱表面积的计算方法:圆柱的表面积=侧面积+底面积×2。 运用圆柱的表面积计算公式解决实际问题:在解决实际问题时,并不是所有的圆柱形物体都有两个底面,根据实际情况选择合适的解题方法。 -2- 一 圆柱与圆锥 圆 柱 与 圆 锥 圆柱的体积 圆锥的体积 圆柱体积的计算方法:圆柱的体积=底面积x高,即V=Sh。 圆柱体积计算公式的应用:在计算圆柱体积的过程中,如果已知圆柱的高和底面半径、直径或周长,先求底面积,再求体积。公式:V=πr2h, V=π( )2h, V=π(C÷π÷2)2h。 圆锥体积的计算公式:圆锥的体积= ×底面积×高,即V= Sh。 圆锥体积计算公式的应用:结合圆锥物体给出的已知量,求圆锥物体的体积或相关量,灵活运用圆锥的体积公式。 ■考点一 “点、线、面、体”之间的联系 1.点的运动形成线,线的运动形成面,面的运动形成体。 2.长方形硬纸片快速旋转后,所形成的图形是圆柱;直角三角形硬纸片快速旋转后，所形成的图形是圆锥;半圆形硬纸片快速旋转后,所形成的图形是球;直角梯形硬纸片快速旋转后，所形成的图形是圆台。 -3- 第 1 课时 面的旋转 一 圆柱与圆锥 -4- 例 1 由左边的平面图形绕所给直线旋转后,得到的图形是( )。 解析:观察图形可以发现,将长方形的一边作为旋转轴快速旋转后,会形成一个圆柱，应选B。 正确答案：B 易错答案：A 错因分析：错解错在没有对旋转运动展开想象，想当然地认为长方形对应的立体图形为长方体。若要形成长方体，可以将长方形沿垂直宽的直线平移得到。 满分备考：面的运动形成体,常见的有长方形转动后形成圆柱，直角三角形转动形成圆锥,半圆转动形成球，直角梯形转动形成圆台等。 一 圆柱与圆锥 -5- ■考点二 圆柱(或圆锥)的各部分组成及其特征与测量圆柱（或圆锥）高的方法 1.圆柱的各部分名称及特征。圆柱的底面:圆柱的上、下两个面,叫作圆柱的底面。圆柱的两个底面是完全相同的两个圆。 圆柱的侧面:围成圆柱的曲面叫作圆柱的侧面。圆柱的侧面是一个曲面。 圆柱的高:圆柱两底面之间的距离，叫作圆柱的高。圆柱有无数条高。 一 圆柱与圆锥 -6- 2.圆锥的各部分名称及特征。圆锥的底面:圆锥的底面是一个圆。底面的圆心、半径和直径分别叫作圆锥的底面圆心、底面半径和底面直径，分别用字母o、r和d表示。 侧面:圆锥的侧面是一个曲面,展开后是一个扇形。 圆锥的高:从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高,用h表示,圆锥只有一条高。 一 圆柱与圆锥 -7- 3.测量圆柱(或圆锥)高的方法:把圆柱(或圆锥)的底面放平,测量圆柱时，用一把直尺紧靠圆柱，并使直尺的0刻度线与圆柱的下底面对齐;测量圆锥时,将一块平板水平放在圆锥顶点上面,并与底面平行,然后测出两个底面之间(或平板与圆锥底面)的距离即为圆柱(或圆锥)的高。 一 圆柱与圆锥 -8- 例 2 圆柱有( )条高,圆锥有( )条高。 解析：本题考查圆柱与圆锥的高的定义，圆柱的高是两个底面之间的距离,有无数条,圆锥的高是从顶点到底面圆心的距离,只有一条。 正确答案：无数 1 易错答案：1 1 错因分析：错解错在误认为圆柱上、下两个底面的圆心之间的距离为圆柱的高。 满分备考：牢记圆柱、圆锥各部分名称与特征，灵活运用相关知识解决问题。 一 圆柱与圆锥 -9- ■没有掌握圆柱的特征而导致错误 例 3 如下图,圆柱的底面是( )。 A.两个大小相同的椭圆 B.两个大小不同的圆 C.两个大小相同的圆 解析：根据圆柱的特征可知,它的.上、下两个底面是完全相同的圆。 答案：C 易错警示：圆柱的底面是圆,而不是椭圆。 [易错易混分析] 一 圆柱与圆锥 ■考点一 圆柱的侧面积与表面积的意义和计算方法 圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形(或正方形),这个长方形(或正方形)的长(或边长)等于圆柱的底面周长，宽(或边长)等于圆柱的高。 1.圆柱的侧面积=底面周长×高。如果用C表示圆柱的底面周长,h表示圆柱的高,S侧表示圆柱的侧面积,那么S侧= Ch。 2.圆柱表面积的意义：圆柱的表面积是指圆柱的侧面积和两个底面的面积和。 -10- 第 2 课时 圆柱的表面积 一 圆柱与圆锥 -11- 3.圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2,如果用S侧表示圆柱的侧面积, S表表示圆柱的表面积,S底表示圆柱的底面积,那么S表=S侧+ 2S底。 一 圆柱与圆锥 -12- 例 1 工人师傅要砌一个圆柱形水泥台，水泥台高1.51m,底面直径是8dm。 (1)水泥台的占地面积是多少? (2)水泥台的侧面积是多少? 解析:求水泥台的占地面积实际就是求圆柱的底面积;求水泥台的侧面积,可直接利用侧面积公式S=Ch列式解答。 一 圆柱与圆锥 -13- 正确答案：(1)8 dm=0.8 m 3.14×(0.8÷2)2 =0.5024( m2) 答:水泥台的占地面积是0.5024m2。 (2)3.14×0.8×1.5 =3.768( m2) 答:水泥台的侧面积是3.768m2。 易错答案：(1)3.14 ×8 =25.12(m) 答:水泥台的占地面积是25.12 m2。 (2)3.14 ×8 ×1.5 =37.68(m2) 答:水泥台的侧面积是37.68 m2。 错因分析：错解错在没有统一单位,且对圆的周长和圆柱的底面积理解不准确。误把水泥台的占地面积当成了底面周长。 满分备考：掌握圆柱底面周长、底面积和侧面积的意义。水泥台的占地面积就是圆柱的底面面积。 一 圆柱与圆锥 -14- ■考点二 圆柱表面积的应用 在解决实际问题中,并不是所有的圆柱形物体都有两个底面,有的有-一个底面,有的没有底面,如圆柱形水管。解题时要根据实际情况选择恰当的解题方法。 一 圆柱与圆锥 -15- 例 2 用铁皮做一个高 5 dm,底面直径是4 dm的圆柱形无盖水桶，一共需要铁皮多少平方分米? 解析:圆柱形无盖铁皮水桶的表面积等于侧面积与一个底面圆的面积和，根据圆柱侧面积和圆面积的计算方法即可求出需要多少平方分米的铁皮。 正确答案：3.14 ×4 ×5 +3.14 × (4+2)2=75.36(dm2) 答:一共需要铁皮75.36 dm2。 易错答案：3.14 ×4 ×5 +3.14 × (4+2)2 ×2 =87.92(dm2) 答:一共需要铁皮87.92 dm2。 错因分析：此题求的是“无盖水桶”所用铁皮的面积,所以所用铁皮的面积是圆柱的侧面积加上一个底面积。 满分备考：在解决实际问题时,并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面,有的没有底面,解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。 一 圆柱与圆锥 -16- ■解决问题时没有联系实际情况而导致解题错误 例 3 做一节长4m,直径是0.4m的圆柱形铁皮烟囱，需要多少平方米的铁皮? 解析：求做烟囱需要的铁皮面积实际是求圆柱的侧面积,因为烟囱没有两个底面。 答案：3.14 ×0.4 ×4 =5.024(m2) 答:需要5.024 m2的铁皮。 易错警示：在解决有关圆柱表面积的实际问题时，一定要注意底面的数量。像通风管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是它们的侧面积。 [易错易混分析] 一 圆柱与圆锥 ■考点一 圆柱体积的计算方法 1.一个圆柱形物体所占空间的大小,就是这个圆柱形物体的体积。 2.把圆柱等分为16等份,拼成一个近似的长方体,如下图所示: 圆柱的体积=底面积×高,如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积,用h表示圆柱的高,那么圆柱的体积公式可以用字母表示为V=Sh。 3.钢管的体积=底面圆环的面积×钢管的长。 -17- 第 3 课时 圆柱的体积 一 圆柱与圆锥 -18- 例 1 把一段长50cm的圆柱形木料沿着与底面平行的方向横着平均截成两段,表面积增加了100.48 cm2,原来这段木料的体积是多少立方厘米? 解析:已知圆柱形木料增加的表面积,可以求出木料的底面面积,然后利用圆柱的体积公式V = Sh计算可得。 正确答案：100.48÷2 ×50 =2512(cm3) 答:原来这段木料的体积是2512 cm3。 易错答案：100.48 ×50 = 5024(cm3) 答:原来这段木料的体积是5024 cm3。 错因分析：错解错在把增加的表面积当作圆柱形木料的底面积。 满分备考：在计算圆柱体积的时候要找准底面积和高。 一 圆柱与圆锥 -19- ■考点二 圆柱体积公式的应用 灵活应用圆柱的体积公式可以帮助我们解决生活中的许多问题。如圆柱形罐头盒、茶叶盒及圆柱形水杯的体积等。在计算中，可以根据已知条件灵活代人公式求解,如V= πr2h,V=π( )2h,V=π(C÷π÷2)2h。 一 圆柱与圆锥 -20- 例 2 一个圆柱形水杯的底面半径是5cm，高是18 cm。它的体积是多少? 解析:已知圆柱形水杯的底面半径和高,应用圆柱的体积公式V=πr2h可以直接计算出体积。 正确答案：V=πr2h =3.14×52 ×18 = 1413(cm3) 答:它的体积是1413cm3。 易错答案：3.14 ×182 ×5 = 5086.8(cm3) 答:它的体积是5086.8 cm3。 错因分析：错解错在把半径看成了高,把高看成了半径。 满分备考：圆柱体积的计算公式:圆柱的体积=底面积×高,用字母表示为V=Sh=πr2h。 一 圆柱与圆锥 -21- ■没有正确理解体积公式而导致误判 例 3 圆柱的高不变,底面半径扩大到原来的2倍,体积就扩大到原来的2倍。( ) 解析：圆柱的底面半径扩大到原来的2倍,则底面积扩大到原来的22=4倍，圆柱的高不变,根据圓柱的体积公式V=Sh,圆柱的体积也应扩大到原来的4倍。 答案：× 易错警示：圆柱的高不变,底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍,则体积扩大到原来的n2倍;若底面半径、直径或周长缩小到原来的 ,则体积缩小到原来的 。 [易错易混分析] 一 圆柱与圆锥 ■考点一 圆锥体积的计算公式 1.通过实验可知,等底等高的圆柱和圆锥的体积关系:圆柱的体积是圆锥体积的3倍,也可以说圆锥的体积是圆柱体积的 。 2.圆锥体积的计算公式:圆锥的体积=底面积×高× 。用V表示体积,S表示底面积,h表示高,则圆锥的体积用字母表示为V= Sh。 -22- 第 4 课时 圆锥的体积 一 圆柱与圆锥 -23- 例 1 如下图,以边AB所在直线为轴旋转周得到一个圆锥,求得到圆锥的体积。(单位:cm) 解析:以边AB所在直线为轴旋转一周得到的圆锥如右图所示， 由图可知，圆锥的半径r=BC =3 cm,高h=AB =4 cm,根据圆锥的体积公式 V= Sh即可求出圆锥的体积。 一 圆柱与圆锥 -24- 正确答案：由上图可以看出r= BC=3 cm,h=AB=4 cm，圆锥的体积= Sh= ×3.14×32 ×4 = 37.68( cm3) 答:得到圆锥的体积是37.68cm3。 易错答案：r=AB=4 cm,h=BC=3 cm, 圆锥的体积= Sh = ×3.14 ×42×3 =50.24(cm3) 答:得到圆锥的体积是50.24cm3。 错因分析：错解错在把底面半径和圆锥的高弄混了。在计算以三角形直角边为轴旋转得到圆锥的体积时要注意:以哪条直角边为轴,这条直角边就是圆锥的高,另一条直角边就是圆锥底面的半径。 满分备考：在做这类题时需注意看清圆锥的高和底面半径,然后直接利用圆锥的体积公式求出体积即可。 一 圆柱与圆锥 -25- ■考点二 圆锥体积计算公式的应用 在实际生活中有许多立体可以近似地看作圆锥,在求其体积时要正确运用圆锥的体积公式。 一 圆柱与圆锥 -26- 例 2 天坛祈年殿塔的顶端近似于圆锥,它的底面半径是3m,高是6m,求塔的顶端的体积。 解析:顶端近似于圆锥,求塔的顶端的体积就是求圆锥的体积。题中已知塔的底面半径是3 m,高是6m,根据圆锥体积公式V= πr2h,即可求出塔的顶端的体积。 正确答案： ×3.14 ×32 ×6=56.52(m3) 答:塔的顶端的体积是56.52 m3。 易错答案：3.14 ×32 ×6= 169.56(m3) 答:塔的顶端的体积是169.56 m3。 错因分析：错解错在求塔的顶端的体积时，只用它的底面积乘高了,而没有乘 。 满分备考：在运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘 。 一 圆柱与圆锥 -27- ■不能正确判断圆柱与圆锥间的体积关系 例 3 圆锥的体积是圆柱体积的 。( ) 解析：只有在等底等高的前提下，圆锥的体积才是圆柱体积的 。 答案：× 易错警示：判断圆锥与圆柱体积关系时,一定要在“等底等高”的前提下,缺少这一条件,则它们的体积倍数关系是不成立的。 [易错易混分析] 一 圆柱与圆锥 考点 内容梳理 面的旋转 1.“点、线、面、体”之间的联系:点的运动形成线,线的运动形成面,面的运动形成体。 2.圆柱的特征:(1)圆柱的上、下两个面,叫作圆柱的底面。圆柱的两个底面是完全相同的两个圆。(2)围成圆柱的曲面叫作圆柱的侧面。(3)圆柱两底面之间的距离,叫作圆柱的高。圆柱有无数条高。 3.圆锥的特征:(1)圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的。(2)圆锥中圆形的面就是它的底面,它只有一个底面。底面的圆心、半径和直径分别叫作圆锥的底面圆心、底面半径和底面直径,分别用字母0、r和d表示。(3)沿从圆锥的顶点到底面圆周上任意一点的线段剪开,把圆锥的侧面展开,得到一个扇形和一个圆。 -28- 整理和复习 [单元知识梳理] 一 圆柱与圆锥 -29- （续表） 一 圆柱与圆锥 圆柱的表面积 1.圆柱的侧面积:(1)圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形(或正方形),这个长方形(或正方形)的长(或边长)等于圆柱的底面周长,宽(或边长)等于圆柱的高。(2)圆柱的侧面积=底面周长×高。如果用S侧表示圆柱的侧面积，C表示圆柱的底面周长,h表示圆柱的高,那么圆柱的侧面积公式用字母表示为S侧= Ch。 2.圆柱表面积的计算公式:圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2, 如果用S表表示圆柱的表面积，S侧表示圆柱的侧面积,S底表示圆柱的底 面积,那么圆柱的表面积公式用字母表示为S表=S侧+2S底。 3.圆柱表面积计算公式应用的特例:（1）圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积，如无盖水桶。（2）圆柱的表面积只包括侧面积,如排水管。 圆柱的体积 圆柱的体积:圆柱的体积=底面积×高，如果用V表示圆柱的体积,用S 表示圆柱的底面积,用h表示圆柱的高,那么圆柱的体积公式用字母表示 为V= Sh。 圆锥的体积 圆锥的体积:(1)圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的 。(2)如果用V表示圆锥的体积,S表示底面积,h表示高,那么圆锥的体积公式可以用字母表示为V= Sh。 -30- （续表） 一 圆柱与圆锥 $$