第九章 不等式和不等式组 培优讲义 2023-2024学年人教版七年级数学下册

不等式 知识点一：不等式的定义 用符号“＜”和“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式。用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式。 有些不等式中不含有未知数，例如3＜4，－1＞－2；有些不等式中含有未知数，例如，2x＜8。 【典例精析】 例1．下列式子：① 5＜7；② 2x＜3； ③ y≠0； ④ 2a＋1； ⑤ ； ⑥ x＞5；⑦ x＝1，其中， 是不等式的有( )个 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 例2．用不等式表示： （1）a是正数 ；a是负数 ； （2）a与5的和小于7 ；a与2的差大于－1 ； （3）a的4倍大于8 ；a的一半小于3 。 【随堂练习】 1．数学表达式中：①－5＜7，②3y－6＞0，③a＝6，④x－2x，⑤a≠2，⑥7y－6＞5y＋2中是不等式 的有 )个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．用不等式表示下列各语句所描述的不等关系： （1）a的绝对值与它本身的差是非负数 ； （2）x与－5的差不大于2 ； （3）a与3的差大于a与a的积 ； （4）b的与3c的和既不大于9又大于－13 . 知识点二：不等式的解、解集 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。 【典例精析】 例1．不等式的解集，可以表示成，它也可以在数轴上直观地表示出来，如图所示： 思考：如果某个不等式的解集为呢？动手画画看，它们有什么区别？ 例2．在－，－1，0，，2，4中，x取哪些值能使不等式x－2＜0成立？ 例3．下列说法正确的是(　　) A．x＝－3是不等式x＞－2的一个解 B．x＝－1是不等式x＞－2的一个解 C．不等式x＞－2的解是x＝－3 D．不等式x＞－2的解是x＝－1 【随堂练习】 1．在数轴上表示下列不等式的解集： （1）x＜2.5 （2）x≥3 （3）大于3而不超过6的数 （4）绝对值不大于3的非负数 2．请用不等式表示如图所示的解集。 （1） （2） 3．在－4，－2，－1，0，1，3中，找出使不等式成立的x值： （1）； （2） 4．下列说法中，错误的是( ) A．不等式x＜5的整数解是无数个 B．不等式x＞－5的负数解有有限个 C．不等式x＋4＞0的解集是x＞－4 D．－40是不等式2x＜－8的一个解 知识点三：不等式的性质 不等式的性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变。 不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除去）同一个正数，不等号方向不变。 不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除去）同一个负数，不等号方向改变。 【典例精析】 例1．用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律： （1）5＞3，5＋2 3＋2；5－2 3－2 （2）－1＜3，－1＋2 3＋2；－1－3 3－3 （3）6＞2，6×5 2×5，6×() 2×() （4）－2＜3，－2×6 3×6，－2×(－6) 3×(－6) 例2．（1）当a＞b时，a＋5 b＋5； （2）当时， 例3．.x＞y，得到ax≥ay，a应满足的条件是( ) A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0 例4．若(a＋3)x＞－a－3的解集为x＞－1，则a____ ； 【随堂练习】 1．已知x＞y，填空：x－6 y－6；x＋4 y＋4；___；1－x ___1－y。 2．若a＞b，则下列结论中，不成立的是( ) A．a＋1＞b＋1 B．＞ C．2a－1＞2b－1 D．1－a＞1－b 3．由，得的条件是( ) A． B． C． D． 4．（1）若(m－3)x＜3－m的解集为x＞－1，则m____ ； （2）若不等式－3x＋n＞0的解集是x＜2，则不等式－3x＋n＜0的解集是______。 知识点四：一元一次不等式 一元一次不等式的定义:只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式, 未知数的次数是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式 【典例精析】 例1．下列不等式中，是一元一次不等式的是( ) A．x＞0 B． C．x＋y＞1 D． 例2．已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是( ) A．m＝1 B．m＝±1 C．m＝－1 D．不能确定 【随堂练习】 1．下列不等式中，是一元一次不等式的是( ) A．3x－2y≤－1 B． C． 2x－1＞0 D．2＜3 2．已知是一元一次不等式，那么n=________． 3．已知不等式是关于x的一元一次不等式。试确定a，b的值应满足什么条件。 知识点五：一元一次不等式解法 【典例精析】 例1．解一元一次不等式: （1）去分母(如果有分母)； （2）去括号(如果有括号)； x＋1＞15x＋18 （3）移项(注意变号)； x－15x＞18－1 （4）合并同类项(和方程一样)； －14x＞17 （5）系数化为一(注意“＜”“＞”的符号改变)； 根据例题，我们可以很清楚的看到解一元一次不等式的步骤，思考下：这个过程和解一元一次方程有什么区别呢？ 例2．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式： （1）x－5＞－1 （2）－2x＞3 例3．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集． （1） （2） 【随堂练习】 1．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： （1）3x＋2＜2x－8 （2）3－2x≥9＋4x （3） （4） （5） （6） 【巩固练习】 1．下列不等式中，是一元一次不等式的是( ) A． B． C． D． 2．“x大于－6且小于6”表示为( ) A． B．， C． D． 3．当x＝1时，下列不等式成立的是( ) A．x＋3＞4 B． x－1 ＜0 C．x＋1＜0 D． x－2 ＜01 4．下列命题中正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．互为倒数的两数之积必为正 5．由－x＜3，得x＞－6，其根据是(　　) A．不等式的两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，不等号方向不变 B．不等式的两边都乘以(或都除以)同一个正数，不等号的方向不变 C．不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数，不等号的方向改变 D．乘法分配律 6．设▲，●，■表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么▲，●，■这三种物体的质量从大到小的顺序排列应为(　　) A．▲，●，■ B．▲，■，● C．■，●，▲ D．●，▲，■ 7．用不等式表示： （1） x是负数； （2）x是非负数； （2） x与4的和大于0.5； （4）x的与y的的差是非负数． 8．解下列不等式；并将解集在数轴上表示出来： （1） （2） （3） 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$