利用导数研究恒（能）成立问题课件-2025届高三数学一轮复习

第四章 一元函数的导数及其应用 第四节 导数的综合应用 第1课时 利用导数研究恒（能）成立问题 类型1 参变分离 [例1] 已知， . （1）求函数 的单调区间； （1）因为，所以. 令 ，解得，所以的单调递减区间是,. 令 ，解得，所以的单调递增区间是, . 综上，的单调递减区间是,，单调递增区间是， . （2）若对任意，恒成立，求实数 的取值范围. （2）因为， 由题意得 恒成立. 因为，所以在 上恒成立. 设，则 . 令，得， （舍去）. 1 0 — 极大值 则 ，则 故实数 的取值范围是 . 分离参数法解决恒（能）成立问题的策略 （1）分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. （2）恒成立 ； 恒成立 ； 存在,成立 ； 存在,成立 . 【跟踪训练】 1.已知函数 ． （1）求曲线在 处的切线方程； （1）由， 得，则 ， 又 ， 所以曲线在处的切线方程为, 即 . （2）若时,单调递增，求 的取值范围． （2）因为时， 单调递增， 所以时， 恒成立， 即在 时恒成立， 设,则 ， 则时，，时， ， 可知时，取极小值，该极小值也即为 上的最小值， 所以,即,所以,单调递增时，的取值范围是 . 类型2 构造函数 [例2] 已知函数， . （1）当时，讨论函数 的单调性； （1），其定义域为 ， ，当时，或 ， ①当，即时， 时，； 时，； 所以在和上单调递增，在上单调递减， （2）当时，求证： . ②当，即 时， ； 所以在 上单调递增； ③当， 时， 或时， ； 时， ； 所以在和上单调递增，在上单调递减， ④当，即 时， 时， ；时，， 所以在上单调递减，在 上单调递增. （2）当时， 欲证 ， 即证 . 设，则， 因为，且 ,，所以， 所以在 上单调递增， 故 ，原不等 式成立. 构造函数解决恒成立问题的策略 遇到 型的不等式恒成立问题时，如何构造函数是难点！！！ 一般采用作差法，构造函数只需满足 ，但不是所有题型均可作差，需考生灵活运用. 类型3 双变量 [例3] 已知函数, . （1）讨论函数 的单调性； （2）当时，对任意的实数,，证明： . 此时在 上单调递增； 当时，，于是 ，此时在 上单调递减； （1） , ①当时，，此时，在 上单调递增； ②当时，令 ， 因在 上是单调递减的， 且, , 则必存在使得 ，即 , 且当时， ，于是 ， （2）当时，对于给定的 ， 令, , 则 , 因此在 上单调递增，于是， ， 即 . 所以当时,对任意的实数,, . 双变量恒成立问题的策略 （1）一般策略： （1），， . （2），， . （3），， . （4），， . （2）构造函数： 将双变量中的之一看作函数变量，构造函数，通过研究函数单调性证明 其成立 【跟踪训练】 已知函数， . （1）当时，求 的最小值； （2）当时，若存在，，使得对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围. （1）的定义域为 ， . ①若，当时， ， 在上单调递增， . ②若 ， 当时，， 单调递减； 当时，， 单调递增, 所以 . ③若，当时，，在 上单调递减， . 综上，当时， ； 当时， ； 当时， . （2）由题意知，)的最小值小于 的最小值. 由（1）知在， 上单调递增， 所以 ， 又 ， 所以当时，，在 上单调递减， 则 ， 所以，解得 ， 所以的取值范围为， . $$