导数与函数的极值、最值课件-2025届高三数学一轮复习

第四章 一元函数的导数及其应用 第三节 导数与函数的极值、最值 活动一 知识回顾 1.函数的极值与导数 条件 在点 附近的左侧 ,右侧 在点 附近的左侧 ,右侧 图象 极值 为极_值 为极_值 极值点 为极_值点 为极_值点 大 小 大 小 2.函数的最值与导数 (1)函数在 上有最值的条件 一般地,如果在区间上函数 的图象是一条_的曲线, 那么它必有最大值和最小值. (2)求函数在区间 上的最大值与最小值的步骤 ①求函数在区间 内的_; ②将函数的各极值与端点处的函数值, 比较,其中 _的一个是最大值,_的一个是最小值. 连续不断 极值 最大 最小 【总结】 ①函数的极大值和极小值都可能有多个,极大值和极小值的大小关系不确定. ②对于可导函数,“”是“函数在 处有极值”的必要不充 分条件. ③函数的最值是对定义域而言的整体概念,而极值是局部概念,在指定区间上 极值可能不止一个,也可能一个也没有,而最值最多有一个,并且有最值的 未必有极值;有极值的未必有最值. 【基础辨析】 1.(多选题)下列结论错误的是( ) A.对于可导函数,若,则 为极值点 B.函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值 C.函数在区间 上不存在最值 D.函数在区间 上一定存在最值 √ √ 活动二 例题精讲 考点一 利用导数求函数的极值问题(图象) [例1] (1)已知定义在上的函数 ,其导函数 的 大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( ) A. B.函数在处取得最大值,在 处取得最小值 C.函数在处取得极大值,在 处取得极小值 D.函数的最小值为 √ (2).设函数在上可导,其导函数为 ,且函数 的图象如图所示,则下列结论正确的是 ( ) A.函数有极大值和 B.函数有极小值和 C.函数有极小值和极大值 D.函数有极小值和极大值 √ 考点一 利用导数求函数的极值问题(求极值) [例2] (1)函数在 处取得极小值,则极小值为( ) A.1 B.2 C. D. √ (2)函数 的极值点为_. 1 (3)已知函数 ,则下列说法正确的是( ) A.的极小值为 B.的极大值为 C.在区间上单调递增 D.在区间 上单调递减 √ 考点一 利用导数求函数的极值问题(求参) [例2](1)已知函数的导函数 ,若1不是 函数的极值点,则实数 的值为( ) A. B.0 C.1 D.2 √ (2)(2023 南京模拟)已知函数在 上有两个极值, 则实数 的取值范围为_. , 【小练】 1.(2023 威海模拟)若函数有两个极值点,则实数 的 取值范围为( ) A., B. , C., D., √ 考点二 利用导数求函数最值问题 [例3] (1)(2022 全国乙卷)函数 在区间 的最小值、最大值分别为( ) A., B., C., D., √ (2)设函数若,且 的最 小值为,则 的值为( ) A. B. C. D. √ 求函数在 上的最值的步骤 (1)判断单调性 (2)求极值、端点处函数值 (3)比大小 【跟踪训练】 1.(2023 苏州模拟)若函数在区间 内存在最小值, 则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 考点三 实际应用 [例4] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底 面半径为米,高为米,体积为 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面 的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总 建造成本为 元( 为圆周率). (1)将表示成的函数 ,并求该函数的定义域; (2)讨论函数的单调性,并确定和 为何值时,该蓄水池的体积最大. 【解析】(1)因为蓄水池的侧面的总成本为 (元), 底面的总成本为 元, 所以蓄水池的总成本为 元. 由题意得 , 所以 . 从而 . 由,且,可得 . 故函数的定义域为 . 【解析】(2)由(1)知 , 故 , 令,解得, (舍). 当时,,故在 上单调递增; 当时,,故在 上单调递减. 由此可知,在处取得最大值,此时 , 即当, 时,该蓄水池的体积最大. 活动三 重难点突破 [例5] (1)若函数,在 处取得极值10, 则_, _. 4 (2)若1是函数的极值点,则 的 极大值为_. 已知函数极值点 (1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数 法求解. (2)验证:因为导数值等于零是此点为极值点的必要条件,所以利用待定 系数法求解后必须验证是否是极值点. [例6] 证明:当时, ; 【解析】①设 ,则 , 所以当时,单调递减, ,即 . ②设 ,则, , 因而当时,, , 则有 . 综上,当时, . [例7]已知函数,其中 . (1)当时,求曲线在 处的切线方程; (2)若函数在 ,上恰有两个极小值点,,求 的取值范围. (1)当时, , 则 , 所以, , 所以曲线在处的切线方程为,即 . (2)因为, 所以 是 , 上的偶函数. 因为函数在 , 上恰有两个极小值点, 所以函数在 上恰有一个极小值点. 现讨论上 上上上, ,则 . ( )当时, ,则在 上单调递减,无极小值; ( )当时, , 则在 上单调递增,所以 . 则,此时在 上单调递增,无极小值; ( )当时,存在 ,使 , 当时, ,所以在 上单调递减, 当时, ,所以在 上单调递增. 因为, , 由零点存在定理知存在,使得 , 当时, ,所以在 上单调递减, 当时, ,所以在 上单调递增, 所以函数在上恰有一个极小值点 . 所以函数在 , 上恰有两个极小值点. 综上所述,的取值范围为, . [例8]已知函数,其中 为常数. (1)若时,求 的最大值; (1)的定义域为 , 当时,,, 令,得 . 当时,;当时,, 所以函数在 上单调递增,在上单调递减, 所以.所以当 时,函数在上的最大值为 . (2)若在区间上的最大值为,求 的值. (2), 时,, 若,则,从而在 上单调递增, 所以,不合题意. ②若, 解得;令解得, 从而在,上单调递增,在, 上单调递减, 所以. 令,得, 所以即为所求.故实数的值为 . $$