第11讲 函数的奇偶性及函数性质（3大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第11讲 函数的奇偶性及函数性质（3大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 函数奇偶性的定义与判断 题型二 由奇偶性求函数解析式 题型三 函数奇偶性的应用 题型四 抽象函数的奇偶性 题型五 由奇偶性求参数 题型六 由函数奇偶性解不等式 题型七 奇偶函数对称性的应用 知识点01：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点02：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 知识点03：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 【典型例题一 函数奇偶性的定义与判断】 1．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）若函数是在R上的奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数满足：（1）为奇函数；（2）定义域内任意都有，试写出满足以上条件的一个函数 ． 4．（23-24高一上·新疆喀什·期中）下列函数是奇函数的是 ． ① ②③ 5．（22-23高一上·新疆克孜勒苏·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； 【典型例题二 由奇偶性求函数解析式】 1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）请写出一个满足以下两个条件的函数 . ①是偶函数；②在上单调递增. 4．（23-24高一上·福建漳州·期中）若是奇函数，且当时，，则当时， ． 5．（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．    (1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间； (2)写出当时，的解析式； 【典型例题三 函数奇偶性的应用】 1．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东泰安·三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024高二下·陕西西安·学业考试）设是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 4．（2024·青海西宁·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则 . 5．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）图中给出了奇函数的局部图像，已知的定义域为    (1)求的值； (2)试补全其图像； (3)并比较与的大小． 【典型例题四 抽象函数的奇偶性】 1．（22-23高一上·全国·单元测试）奇函数在上是增函数，在上的最大值是8，最小值为，则（     ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·全国·课后作业）为奇函数，为偶函数，且则（    ） A．3 B．-1 C．1 D．-3 3．（2023·内蒙古包头·一模）设是定义域为R的奇函数，且．若，则 ． 4．（2020高一·上海·专题练习）已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则 ． 5．（23-24高一·全国·课后作业）若函数的定义域是R,且对任意,都有成立.试判断的奇偶性. 【典型例题五 由奇偶性求参数】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）若为偶函数，则（    ） A．0 B．5 C．7 D．9 3．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 4．（23-24高一上·陕西商洛·期末）已知函数是偶函数，则 ． 5．（23-24高一上·河南新乡·期末）已知函数为偶函数. (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【典型例题六 由函数奇偶性解不等式】 1．（23-24高一上·河南周口·阶段练习）设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西商洛·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，在上单调递增，，那么的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知奇函数在上是减函数，若，则的解集为 ． 4．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知定义域为的偶函数在区间上严格减，且，则不等式的解集为 . 5．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知函数，． (1)用定义法证明：函数在上单调递增； (2)求不等式的解集． 【典型例题七 奇偶函数对称性的应用】 1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 2．（23-24高一上·湖南株洲·期中）若奇函数在区间上单调递增且有最大值，则函数在区间上（    ） A．单调递增且最小值为 B．单调递增且最大值为 C．单调递减且最小值为 D．单调递减且最大值为 3．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）设是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 4．（22-23高一上·云南大理·期末）已知函数在上是偶函数，则实数 . 5．（23-24高一上·全国·课前预习）已知奇函数在区间上是恒大于的减函数，试问函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论. 【变式训练1 函数奇偶性的定义与判断】 1．（23-24高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 2．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 3．（23-24高一上·四川凉山·期末）请任意写出一个既是偶函数又在区间上单调递增的函数解析式 ． 4．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且，则 . 5．（23-24高一上·天津·期中）已知函数且． (1)求的值； (2)判定的奇偶性． 【变式训练2 由奇偶性求函数解析式】 1．（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数是偶函数，且当时，，那么当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数同时满足以下条件： ①定义域为；②值域为；③，都有. 试写出一个函数解析式 . 4．（22-23高三下·安徽·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， . 5．（22-23高一上·海南·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上单调递减. 【变式训练3 函数奇偶性的应用】 1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，则的值为（    ） A．－l B．0 C．1 D．2 2．（23-24高一下·上海·开学考试）已知函数，且，那么等于（    ） A． B． C．6 D．10 3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若定义域为R的奇函数在上的解析式为，则 . 4．（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知奇函数，已知时，，则 的值 ． 5．（23-24高一上·黑龙江·期中）定义在R上的奇函数在上的图象如图所示．      (1)请在坐标系中补全函数的图象； (2)结合图象求不等式的解集． 【变式训练4 抽象函数的奇偶性】 1．（23-24高一上·浙江台州·期末）设f（x）是定义在R上的奇函数，若，则f（1）=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．（23-24高一·全国·课后作业）已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，若实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，对任意x，，恒有成立，则是 （填“奇”或“偶”）函数． 4．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 . 5．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数不恒为0,,若对于任意实数,都有.求证:为偶函数. 【变式训练5 由奇偶性求参数】 1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数为定义在上的偶函数，则实数等于（    ） A． B．1 C．0 D．无法确定 2．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．0 3．（23-24高一上·广东潮州·期中）若奇函数，则 . 4．（23-24高一上·上海嘉定·期末）函数为偶函数，则实数 . 5．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在上的单调性，并用定义证明． 【变式训练6 由函数奇偶性解不等式】 1．（23-24高一上·河北张家口·期中）已知偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使函数值的的取值集合为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）若奇函数在上是增函数，且，则使得的取值范围是 . 4．（22-23高一上·四川内江·期中）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的解集 . 5．（22-23高一上·湖北孝感·期中）已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立. (1)证明：函数是奇函数； (2)用单调性定义证明：在定义域上单调递增； (3)，求的取值范围. 【变式训练7 奇偶函数对称性的应用】 1．（22-23高一上·天津滨海新·期中）如果奇函数在上是增函数，则在上是（    ） A．减函数 B．增函数 C．既可能是减函数也可能是增函数 D．不具有单调性 2．（2023高二·河北·学业考试）已知定义在上的偶函数在上是增函数，且，则使的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·河南·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，在上的图象如图所示，则的单调递增区间为 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）若函数是偶函数，且方程有4个实数根，则这4个实数根之和为 ；若函数是奇函数，且方程有2023个实数根，则这2023个实数根之和为 ． 5．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)证明：函数在区间单调递减； (2)若是奇函数，其定义域为，当时，，求时，的解析式，并求的最大值和最小值． 1．（2024·安徽合肥·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数在上单调递增，且是奇函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川内江·三模）已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1012 D．2024 5．（23-24高一下·山东淄博·期中）定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数为偶函数，则实数的值为 ． 7．（23-24高一上·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 8．（2024·安徽六安·模拟预测）若偶函数对任意都有，且当时，，则 ． 9．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知函数满足对任意实数，都有，是的零点，不是的零点，则 ． 10．（23-24高一上·云南曲靖·期末）设为常数，是定义在上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为 ． 11．（23-24高一上·吉林延边·期中）（1）已知二次函数满足，且，求的解析式； （2）已知是上的奇函数，当，求的解析式. 12．（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 13．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数的最小值为，且关于的不等式的解集为 (1)求函数的解析式； (2)若函数与的图象关于轴对称，且当时，的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围． 14．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，， (1)求函数的解析式； (2)在给定的直角坐标系内画出的图像，并指出的减区间（不必说明理由）； (3)求在上的最大值和最小值（不必说明理由）. 15．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知函数． (1)判断函数奇偶性，并用定义法证明； (2)写出函数的单调区间，并用定义法证明某一个区间的单调性； (3)求函数在上的最大值和最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 函数的奇偶性及函数性质（3大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 函数奇偶性的定义与判断 题型二 由奇偶性求函数解析式 题型三 函数奇偶性的应用 题型四 抽象函数的奇偶性 题型五 由奇偶性求参数 题型六 由函数奇偶性解不等式 题型七 奇偶函数对称性的应用 知识点01：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点02：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 知识点03：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 【典型例题一 函数奇偶性的定义与判断】 1．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】对于A，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 对于B，因为的定义域为，且，所以不是奇函数； 对于C，因为的定义域为，且，所以为奇函数； 对于D，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 故选：. 2．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）若函数是在R上的奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】ABC选项，根据函数的奇偶性得到和，故ABC正确，D选项，可能无意义，D错误. 【详解】A选项，因为是在R上的奇函数，所以，且，AB正确； C选项，因为，所以，当时，等号成立，C正确； D选项，当时，，此时无意义，D错误. 故选：D 3．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数满足：（1）为奇函数；（2）定义域内任意都有，试写出满足以上条件的一个函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】直接根据条件写出函数即可. 【详解】（1）为奇函数；（2）定义域内任意都有， 满足条件的函数有， 明显其为奇函数，并且. 故答案为：（答案不唯一） 4．（23-24高一上·新疆喀什·期中）下列函数是奇函数的是 ． ① ②③ 【答案】②③ 【分析】利用奇函数的定义直接判断得解. 【详解】对于①，令，其定义域为R，，则函数是偶函数，①不是奇函数； 对于②，令，其定义域为R，，则函数是奇函数，②是； 对于③，令，其定义域为，， 则函数是奇函数，③是， 所以是奇函数的是②③. 故答案为：②③ 5．（22-23高一上·新疆克孜勒苏·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数. 【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断. 【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称. ，故为偶函数. （2）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. （3）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. 【典型例题二 由奇偶性求函数解析式】 1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，，，所以. 故选：C 2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义，直接求函数解析式. 【详解】由函数为偶函数， 得当时，，， 故选：D. 3．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）请写出一个满足以下两个条件的函数 . ①是偶函数；②在上单调递增. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据偶函数和增函数的定义结合基本函数求解即可. 【详解】因为是偶函数，且在上单调递增， 所以函数可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 4．（23-24高一上·福建漳州·期中）若是奇函数，且当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】由，根据可求得结果. 【详解】当时，，， 又为奇函数，， 当时，. 故答案为：. 5．（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．    (1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间； (2)写出当时，的解析式； 【答案】(1)图象见详解，的增区间为：. (2). 【分析】（1）利用偶函数的性质，结合图象求出函数的单调区间. （2）根据已知，利用函数的奇偶性求解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象为：    由题可知，结合图象有：函数的增区间为：. （2）当时，，由题可知： ， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以当时，. 【典型例题三 函数奇偶性的应用】 1．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的性质和对各选项逐一判断即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，， 因为，所以，，B错误，D正确； 对于A，C，、与的大小无法判断， 故选：D 2．（2024·山东泰安·三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由奇函数性质可求得的值，结合计算即可. 【详解】由题意得，函数为奇函数，且定义域为， 由奇函数的性质得，，解得，经过检验符合题意， 所以当时，， 所以. 故选：D. 3．（2024高二下·陕西西安·学业考试）设是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，结合函数解析式易得. 【详解】依题意，. 故答案为：. 4．（2024·青海西宁·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则 . 【答案】 【分析】由题意可得且，直接计算即可求解. 【详解】设函数的最小正周期为，则. 因为是定义在上的偶函数，所以， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）图中给出了奇函数的局部图像，已知的定义域为    (1)求的值； (2)试补全其图像； (3)并比较与的大小． 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）根据函数定义域和函数为奇函数得到； （2）根据函数图象和奇偶性画出函数图象； （3）结合函数图象和单调性得到大小关系. 【详解】（1）为定义在上的奇函数，故； （2）图象如下：    （3）由函数图象可以看出在上单调递增， 故. 【典型例题四 抽象函数的奇偶性】 1．（22-23高一上·全国·单元测试）奇函数在上是增函数，在上的最大值是8，最小值为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性，得到，求出答案. 【详解】因为奇函数在上是增函数，故在上是增函数， 因为在上的最大值是8，最小值为，所以在上最小值是-8，最大值为1， 即，故. 故选：C 2．（22-23高一上·全国·课后作业）为奇函数，为偶函数，且则（    ） A．3 B．-1 C．1 D．-3 【答案】A 【分析】 根据函数奇偶性可知，解方程组即可求得. 【详解】 因为为奇函数，为偶函数， 则 所以 两式相加可得，即 故选：A. 3．（2023·内蒙古包头·一模）设是定义域为R的奇函数，且．若，则 ． 【答案】3 【分析】由题意可得是周期为4的函数，即可求解. 【详解】因为是定义域为R的奇函数， 则， 所以， 所以是周期为4的函数，则. 故答案为：3. 4．（2020高一·上海·专题练习）已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则 ． 【答案】0 【分析】由，依次令，可求出，，，再令，可求出，从而可求出结果 【详解】解：由可得: ，，， 又∵，∴，，． 又∵，∴． ∴，∴． 故答案为：0 5．（23-24高一·全国·课后作业）若函数的定义域是R,且对任意,都有成立.试判断的奇偶性. 【答案】奇函数 【解析】令得，再利用得解. 【详解】解:令得,即. , ,为奇函数. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 【典型例题五 由奇偶性求参数】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义可得，计算可求的值. 【详解】， 得，所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）若为偶函数，则（    ） A．0 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】求出的表达式，根据偶函数定义即可求出的值. 【详解】由题意， 为偶函数， ∴，， ∴，解得：， 故选：C. 3．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得. 【详解】函数是奇函数，， 当时，，， 而当时，，则， 当时，，， 而当时，，则， 所以，. 故答案为： 4．（23-24高一上·陕西商洛·期末）已知函数是偶函数，则 ． 【答案】1 【分析】利用偶函数的定义即可求解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，即，即， 于是有，解得. 故答案为：. 5．（23-24高一上·河南新乡·期末）已知函数为偶函数. (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1)0 (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）由偶函数的概念即可求解； （2）根据函数单调性的定义，利用定义法证明即可. 【详解】（1）由题意可得， 则， 解得. （2）在上单调递减. 证明：令，则， ， 即， 故在上单调递减. 【典型例题六 由函数奇偶性解不等式】 1．（23-24高一上·河南周口·阶段练习）设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分析函数的单调性结合，即可得出不等式的解集. 【详解】由题意， 在中，函数是定义在上的偶函数，且在内是增函数， ∴，函数在单调递减， ∵， ∴当和时，， 故选：B. 2．（23-24高一上·陕西商洛·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，在上单调递增，，那么的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质和函数单调性相关知识直接求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，在上单调递增，， 所以在上单调递增，， 所以当和时，， 当和时，， 若，则或， 所以或， 所以原不等式的解集为. 故选：B 3．（23-24高一上·北京·期中）已知奇函数在上是减函数，若，则的解集为 ． 【答案】或 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，结合图形，即可求解. 【详解】由题意知，奇函数在单调递减，， 所以函数在单调递减，且，如图， 由图可知，的解集为或. 故答案为：或. 4．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知定义域为的偶函数在区间上严格减，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由偶函数和函数的单调性可得出，可得出，解之即可. 【详解】因为定义域为的偶函数在区间上严格减， 则， 所以，即或，解得或， 即所求解集为. 故答案为：. 5．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知函数，． (1)用定义法证明：函数在上单调递增； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）取值，作差，判号，得到相应结论； （2）先得到，为奇函数，从而根据奇偶性和第一问求出的单调性解不等式，得到答案. 【详解】（1）任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （2），定义域关于原点对称， 且， 所以为奇函数， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为 【典型例题七 奇偶函数对称性的应用】 1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 【答案】B 【分析】根据奇函数的对称性，在区间上的性质，可得到函数在区间上的性质，即可求解. 【详解】由题意，奇函数在区间上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数在 区间上也是减函数，又由奇函数在区间上的最小值是4， 即，所以，所以函数在区间上的 最大值为， 故选：B. 2．（23-24高一上·湖南株洲·期中）若奇函数在区间上单调递增且有最大值，则函数在区间上（    ） A．单调递增且最小值为 B．单调递增且最大值为 C．单调递减且最小值为 D．单调递减且最大值为 【答案】A 【分析】利用奇函数的对称性即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以的图象关于原点对称， 又在区间上单调递增且有最大值， 所以在区间上单调递增且最小值为. 故选：A. 3．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）设是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由函数图象，结合偶函数的对称性求不等式解集即可. 【详解】由图知：在上的解集为， 又是定义在上的偶函数，则在上的解集为， 所以不等式的解集为. 故答案为： 4．（22-23高一上·云南大理·期末）已知函数在上是偶函数，则实数 . 【答案】3 【分析】根据奇偶函数的定义域关于原点对称运算求解. 【详解】由题可得，解得. 故答案为：3. 5．（23-24高一上·全国·课前预习）已知奇函数在区间上是恒大于的减函数，试问函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论. 【答案】在区间上是增函数，证明见解析 【分析】根据奇函数的性质，直接判断单调性. 【详解】解：在区间上是增函数. 证明如下： 任取，且，则， 因为在区间上是恒大于的减函数 所以 又是奇函数，则， 于是，所以 因为 所以函数在区间上是增函数. 【变式训练1 函数奇偶性的定义与判断】 1．（23-24高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】求得函数的定义域为，计算，可得，即可判断的奇偶性. 【详解】函数， 由，可得， 即有函数的定义域关于原点对称， 又， 即有， 则为偶函数. 故选：B. 2．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先计算出，根据函数为奇函数，得到，，从而得到答案. 【详解】由题意得， 由于是定义在上的奇函数，故，， 所以. 故选：C 3．（23-24高一上·四川凉山·期末）请任意写出一个既是偶函数又在区间上单调递增的函数解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，写出符合要求的函数式即可得解. 【详解】函数的定义域为R，且有，即是偶函数， 由二次函数性质知，在区间上单调递增， 所以满足条件的函数解析式可以是. 故答案为： 4．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且，则 . 【答案】8 【分析】根据题意构造奇函数，结合奇函数性质求解答案即可. 【详解】令，定义域， 且， 所以是奇函数， 所以， 代入，得. 故答案为：8 5．（23-24高一上·天津·期中）已知函数且． (1)求的值； (2)判定的奇偶性． 【答案】(1) (2)奇函数 【分析】（1）代入，可得； （2）利用定义法可判断奇偶性. 【详解】（1）由且， 则 解得； （2）由（1）得， 则，， ， 所以函数为奇函数. 【变式训练2 由奇偶性求函数解析式】 1．（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】当时，， 由于是偶函数， 所以. 故选：C 2．（22-23高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数是偶函数，且当时，，那么当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性及时的解析式，求出时的函数解析式. 【详解】因为函数是偶函数，所以， 时，， 故. 故选：A 3．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数同时满足以下条件： ①定义域为；②值域为；③，都有. 试写出一个函数解析式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题设写出一个定义域为R，值域为的偶函数即可. 【详解】由题设，是定义域为R，值域为的偶函数， 所以满足. 故答案为：（答案不唯一） 4．（22-23高三下·安徽·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】 利用奇函数的性质可求时的解析式. 【详解】 当时，， 因为函数是定义在上的奇函数， 故. 故答案为：. 5．（22-23高一上·海南·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上单调递减. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数的奇偶性得到方程，求出，再根据求出，得到解析式； （2）利用定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 所以，所以，则， 此时，所以，解得， 所以； （2）证明：，且， 则， ∵ ∴，，则， 又 ∴，即， 所以在上单调递减. 【变式训练3 函数奇偶性的应用】 1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，则的值为（    ） A．－l B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据为奇函数，得到，根据，得到的周期为4，进而运用周期求解. 【详解】由为定义在上的奇函数，得，得， 由得，所以的周期为4， 所以 故选：B. 2．（23-24高一下·上海·开学考试）已知函数，且，那么等于（    ） A． B． C．6 D．10 【答案】C 【分析】令，由可得答案. 【详解】， 令， 则， 即，可得， 即. 故选：C． 3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若定义域为R的奇函数在上的解析式为，则 . 【答案】 【分析】根据奇偶性有，结合已知解析式可解. 【详解】因为为奇函数， 所以， 又在上的解析式为， 所以. 故答案为： 4．（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知奇函数，已知时，，则 的值 ． 【答案】 【分析】根据函数是奇函数，得到，即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，所以，所以. 故答案为：. 5．（23-24高一上·黑龙江·期中）定义在R上的奇函数在上的图象如图所示．      (1)请在坐标系中补全函数的图象； (2)结合图象求不等式的解集． 【答案】(1)作图见解析 (2). 【分析】（1）由奇函数图象关于原点对称即可作出的图象； （2）分和观察图象可得. 【详解】（1）因为为奇函数，所以图象关于原点对称，故图象如图所示：    （2）不等式可化为或， 结合图象可知或， 故不等式的解集为. 【变式训练4 抽象函数的奇偶性】 1．（23-24高一上·浙江台州·期末）设f（x）是定义在R上的奇函数，若，则f（1）=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性进行求解. 【详解】因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以. 故选：A 2．（23-24高一·全国·课后作业）已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，若实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性和奇偶性可得，由此可求得的取值范围. 【详解】解：由题意得 ∵奇函数的定义域为，且在上单调递增 ∴在定义域内单调递增． 若实数满足，即 故有，解得，所以的取值范围为. 故选：D 3．（2023高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，对任意x，，恒有成立，则是 （填“奇”或“偶”）函数． 【答案】奇 【分析】赋值法得到，再赋值得到与的关系，得到答案. 【详解】由于对任意x，，恒有成立， 先令，，得到，于是， 再令，得到， 因此． 综上所述，函数是奇函数． 故答案为：奇 4．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 . 【答案】0 【分析】根据题意，分析可得，则有，即函数是周期为4的周期函数，进而求出的值，结合周期性分析可得答案． 【详解】 是定义域为的奇函数，满足，则有 ，又由函数 为奇函数，则 ，则有 则函数 是周期为4的周期函数， 【点睛】本题考查函数的奇偶性与对称性的综合应用，涉及函数的周期性，属于基础题． 5．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数不恒为0,,若对于任意实数,都有.求证:为偶函数. 【答案】见解析 【解析】令,,则.再令,,即得证. 【详解】证明:令,,则.① 令,,则.② 由①②,得,是偶函数. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 【变式训练5 由奇偶性求参数】 1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数为定义在上的偶函数，则实数等于（    ） A． B．1 C．0 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称即可得解. 【详解】因为为定义在上的偶函数， 所以，解得. 故选：C. 2．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．0 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的性质列出方程组求解即可得到答案. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数 所以函数定义域关于原点对称，且. 则，解得. 所以. 故选：B 3．（23-24高一上·广东潮州·期中）若奇函数，则 . 【答案】 【分析】 根据函数的奇偶性得到方程，求出，再代入求值即可. 【详解】为奇函数，故， 即，解得， 故， 故答案为：2 4．（23-24高一上·上海嘉定·期末）函数为偶函数，则实数 . 【答案】 【分析】根据偶函数的概念可知恒成立，即可得解. 【详解】由已知定义域为， 又函数为偶函数， 则恒成立， 即， 化简可得恒成立， 又时，不恒成立， 所以，即， 故答案为：. 5．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)； (2)在上递增，证明见解析. 【分析】（1）由奇偶性定义，先确定函数定义域，再由求参数. （2）令，应用作差法比较大小即可证. 【详解】（1）由题设，且定义域为， 又为奇函数，则， 所以. （2）在上递增，证明如下： 令，则， ，，故，即， 所以在上递增. 【变式训练6 由函数奇偶性解不等式】 1．（23-24高一上·河北张家口·期中）已知偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化不等式，解出即可. 【详解】因为偶函数在区间上单调递增， 故由得： ， 解得， 故选：C 2．（23-24高一上·全国·课后作业）设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使函数值的的取值集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图象得到时，，当时，，结合函数的奇偶性得到当时，求出不等式的解集. 【详解】由图象可得到时，，当时，， 因为为奇函数，所以， 所以当时，，故， 当时，，故， 综上，函数值的的取值集合为. 故选：D 3．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）若奇函数在上是增函数，且，则使得的取值范围是 . 【答案】 【分析】由的奇偶性及在上的性质，得在上的性质，解出不等式. 【详解】因为在上是增函数，， 所以时，， 又因为是奇函数，所以在上也是增函数，， 所以时，，综上，的解集为. 故答案为：. 4．（22-23高一上·四川内江·期中）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的解集 . 【答案】 【分析】利用偶函数，单调性解抽象不等式 【详解】因为为定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以， 所以， 即， 故答案为： 5．（22-23高一上·湖北孝感·期中）已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立. (1)证明：函数是奇函数； (2)用单调性定义证明：在定义域上单调递增； (3)，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)利用抽象函数先求出，再令，即可证明；(2) 取，根据题意得即可证明； (3)利用函数的单调性和奇偶性解抽象函数不等式. 【详解】（1）证明：，令，，则. 令，，，即，而， ∴，即函数是奇函数； （2）任取，则， ∵当时，恒成立. ∴， ∴ 即 ∴函数是上的增函数； （3）由，可得， 又函数是奇函数，， ∵在定义域上单调递增∴， 得， ∴，故的取值范围为. 【变式训练7 奇偶函数对称性的应用】 1．（22-23高一上·天津滨海新·期中）如果奇函数在上是增函数，则在上是（    ） A．减函数 B．增函数 C．既可能是减函数也可能是增函数 D．不具有单调性 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和奇偶性确定正确答案. 【详解】由于是奇函数，所以图象关于原点对称， 且在轴两侧单调性相同， 而在上是增函数， 所以在上是增函数. 故选：B 2．（2023高二·河北·学业考试）已知定义在上的偶函数在上是增函数，且，则使的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用函数的奇偶性和单调性进行求解即可. 【详解】∵是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且， ∴在区间上单调递减，且， ∴当时，， 当时，， 综上所述，的取值范围是. 故选：C. 3．（22-23高一上·河南·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，在上的图象如图所示，则的单调递增区间为 ． 【答案】（也可写成） 【分析】根据奇函数的知识求得，结合图象求得的单调递增区间. 【详解】由题意得，得， 所以是定义域为的奇函数， 画出的图象如下图所示，由图可知的单调递增区间为． 故答案为：（也可写成） 4．（23-24高一·全国·课后作业）若函数是偶函数，且方程有4个实数根，则这4个实数根之和为 ；若函数是奇函数，且方程有2023个实数根，则这2023个实数根之和为 ． 【答案】 0 0 【分析】根据奇偶函数的图像性质可得结论. 【详解】因为偶函数的图像关于y轴对称，且方程有4个实数根，所以方程必有2个正实数根，2个负实数根，且它们分别互为相反数，故这4个实数根之和为0; 同理，由奇函数图像的对称性，易知这2023个实数根之和为0． 故答案为：0;0. 5．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)证明：函数在区间单调递减； (2)若是奇函数，其定义域为，当时，，求时，的解析式，并求的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，最大值为，最小值为． 【分析】（1）根据题意，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可求解； （2）根据结合函数是奇函数，结合题意，求得函数的解析式，利用函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】（1）证明：任取，且， 则， 因为，可得，， 所以，即．所以在上单调递减． （2）解：当时，，因为是奇函数， 额的，所以， 由（1）知，当时，单调递减，所以，， 又因为是奇函数，则且当时，单调递减，所以． 综上可知，的最大值为2，最小值为． 1．（2024·安徽合肥·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性、在上的单调性、函数值的正负情况依次判断和排除ABC，即可得解. 【详解】由题定义域为关于原点对称，且， 故是奇函数，故A错； 当时，， 又是增函数，在上是增函数， 故在上是增函数，故BC错； 故选：D. 2．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数在上单调递增，且是奇函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数单调性以及奇偶性分大于1或小于1进行讨论即可得解. 【详解】由是奇函数及在上单调递增， 所以，则关于对称， 当时，，此时若，则，即，所以， 当时，，此时若，则，即，所以， 综上所述，当且仅当或时，. 故选：C. 3．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】因为， 当时，，当时， 当时，， 故满足，所以为奇函数， 又当时，的对称轴为， 即在上是增函数，， 所以在上是增函数， 令，求得或（舍）， 所以不等式，可得， 解得， 故选：C. 4．（2024·四川内江·三模）已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1012 D．2024 【答案】B 【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性、对称性计算即可. 【详解】由，即的一个周期为4， 由为偶函数可知关于轴对称，即， 又可知， 所以， 显然， 所以. 故选：B 5．（23-24高一下·山东淄博·期中）定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得在上单调递增，根据奇偶性和单调性可得不等式的解集. 【详解】不妨令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递增， 又为定义在上的奇函数，则， 则在上单调递增，又，所以， ①当时，不等式等价于，等价于， 等价于，等价于，解得， ②当时，不等式等价于，等价于， 等价于，等价于，解得， 综上可得，不等式的解集为. 故选：C 6．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数为偶函数，则实数的值为 ． 【答案】-1 【分析】先判断函数为奇函数，再由函数为偶函数得函数为奇函数即可. 【详解】因为函数定义域为， 令，则， 故，知为奇函数， 由于为偶函数， 则函数为奇函数， 即， 解得． 故答案为：． 7．（23-24高一上·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 【答案】-24 【分析】根据奇函数的性质可得，求出，利用，求出，最后代值即可. 【详解】是定义在的奇函数， ， 即， ，且， 解得，或 当时，定义域为，不合题意，舍去； 当时，定义域为，合题意， ， . 故答案为：. 8．（2024·安徽六安·模拟预测）若偶函数对任意都有，且当时，，则 ． 【答案】 【分析】由题意求得，可得的周期为6，则，即可求解. 【详解】由，且当时，， 得， ， 则是以6为周期的函数， 所以. 故答案为： 9．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知函数满足对任意实数，都有，是的零点，不是的零点，则 ． 【答案】50 【分析】根据已知条件，令，可得是周期为的周期函数，进而即可求解. 【详解】由题意得，， 在中， 令，得，令，得， 令，得，令，得， 所以，即是周期为的周期函数， 且，，， 所以， 故答案为： 10．（23-24高一上·云南曲靖·期末）设为常数，是定义在上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，结合基本不等式分类讨论进行求解即可. 【详解】由对一切成立，有，可得． 当时，， （当且仅当时取等号）．又由，有，可得， 综上所述：的取值范围为． 故答案为：． 11．（23-24高一上·吉林延边·期中）（1）已知二次函数满足，且，求的解析式； （2）已知是上的奇函数，当，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设出二次函数解析式,代入后根据对应位置系数相等,即可求得解析式. （2）根据奇函数性质,即可求得当时的解析式,进而得整个定义域内的解析式. 【详解】（1）设二次函数，代入和， 得，化简得， ，，，； （2）设，则， 又函数为奇函数，，， 当时，由，． 故． 12．（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【答案】(1) (2)在区间上为严格增函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，结合函数的解析式求出的值，计算可得答案； （2）根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案． 【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数， 则有，解得， 又由，解得， 所以，定义域为， 且，所以； （2）在区间上为严格增函数． 证明如下：设任意，则， 由，得， 即，，， 所以，即， 故在区间上为严格增函数． 13．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数的最小值为，且关于的不等式的解集为 (1)求函数的解析式； (2)若函数与的图象关于轴对称，且当时，的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两根式设出二次函数解析式，代入条件即可. （2）转化成恒成立问题求最值即可. 【详解】（1）因为是二次函数，且关于的不等式的解集为， 所以， 所以当时，，所以， 故函数的解析式为. （2）因为函数与的图象关于轴对称， 所以， 当时，的图象恒在直线的上方， 所以，在上恒成立， 即，所以， 令，则， 因为(当且仅当，即时，等号成立)， 所以实数的取值范围是. 14．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，， (1)求函数的解析式； (2)在给定的直角坐标系内画出的图像，并指出的减区间（不必说明理由）； (3)求在上的最大值和最小值（不必说明理由）. 【答案】(1) (2)图像见解析，减区间为 (3)最大值为，最小值为. 【分析】（1）根据题意，由函数的奇偶性代入计算，即可得到结果； （2）由分段函数的画法即可得到函数图像，结合图像即可得到单调减区间； （3）由二次函数的性质即可得到结果. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 当时，， 可得时，，即有， 即有， 综上可得； （2）函数的图像如图， 可得减区间为； （3）当时，，其对称轴为， 且时，单调递减，时，单调递增， 则，； 当时，，其对称轴为， 且时，单调递增，时，单调递减， 则，， 综上可得，在上的最大值为，最小值为. 15．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知函数． (1)判断函数奇偶性，并用定义法证明； (2)写出函数的单调区间，并用定义法证明某一个区间的单调性； (3)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)单调递增区间为和，单调递减区间为和，证明见解析； (3)最大值为10，最小值为6. 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义计算即可； （2）利用定义法作差计算函数的单调性即可； （3）利用函数的单调性计算最值即可. 【详解】（1）函数为奇函数． 由函数可知其定义域为，关于原点对称， 设，有． 所以函数为奇函数； （2）函数的单调递增区间为和， 函数的单调递减区间为和． 下面证明单调区间， 设，则， 若，则，此时，即， 若，则，此时，即， 即在上单调递减，在上单调递增， 由函数为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递增， 综上：函数的单调递增区间为和， 函数的单调递减区间为和． （3）由上可知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且． 则函数在上的最大值为10，最小值为6． 学科网（北京）股份有限公司 $$