第09讲 函数的概念及其表示（8大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第09讲 函数的概念及其表示（8大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 函数关系的判断 题型二 求函数值 题型三 区间的定义、表示与运算 题型四 具体函数、抽象函数定义域 题型五 复合函数的定义域 题型六 常见、复杂函数的值域 题型七 根据函数的值域求定义域 题型八 已知函数类型求解析式 题型九 已知f（g（x））求解析式 题型十 函数的表示法 题型十一 分段函数 题型十二 已知分段函数的值求参数或自变量 题型十三 根据分段函数的单调性求参数 题型十四 分段函数的值域或最值 题型十五 求分段函数值 知识点01：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点02：函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【即学即练2】（2023·上海普陀·统考二模）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】， ，或 所以定义域为：. 故答案为： 知识点03：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 知识点04：区间的概念 1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 知识点05：函数的表示法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点06：求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点07：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 知识点08：函数的图象 1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【典型例题一 函数关系的判断】 1．（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．B．C． D． 3．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列关于函数的说法正确的是 ． ①是的函数；②是的函数；③对于不同的，也不同；④表示当时，的函数值是一个常数． 4．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）写出一个同时满足下列三个条件的函数 . 定义域为；②；③ 5．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【典型例题二 求函数值】 1．（2024·江苏南通·二模）已知对于任意，都有，且，则（    ） A．4 B．8 C．64 D．256 2．（2024高一·全国·专题练习）函数不恒为零，且满足，若，则（    ） A．0 B．-2 C．2 D．4 3．（2007高一·全国·竞赛）如果函数满足，且，那么 . 4．（23-24高三下·上海·阶段练习）设函数的定义域为，满足，当时，，则 5．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知函数（且）． (1)求的值； (2)求证：是定值； 【典型例题三 区间的定义、表示与运算】 1．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·陕西宝鸡·阶段练习）设全集，，，则图中阴影部分表示的区间是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·山东东营·阶段练习）已知区间，，若，则a的范围是 4．（23-24高一上·广东江门·期中）不等式的解集用区间表达为 ． 5．（23-24高一上·湖南湘西·期中）解下列不等式，并把解集用区间表达. (1) (2) 【典型例题四 具体函数、抽象函数定义域】 1．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数的定义域是，则下列函数中，定义域为且的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）已知的定义域为，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 4．（23-24高一下·河南·开学考试）函数的定义域是，则函数的定义域是 . 5．（23-24高一上·辽宁大连·期中）求下列函数的定义域： (1)； (2)已知函数的定义域为，则函数的定义域. 【典型例题五 复合函数的定义域】 1．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3、（23-24高一上·湖南常德·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域用区间表示为 ． 4．（23-24高一上·广西柳州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 5．（23-24高一·全国·课后作业）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【典型例题六 常见、复杂函数的值域】 1．（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）函数在上的值域是 ． 4．（2022高一上·全国·专题练习）已知函数的最大值为，最小值为，则的值为 ． 5．（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）已知函数. (1)若，求的值； (2)求函数的值域. 【典型例题七 根据函数的值域求定义域】 1．（22-23高三上·福建厦门·阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对（a，b）的不可能值为（    ） A．（-2，4） B．（-2，1） C．（1，4） D．（-1，1） 3．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数 的值域为，则的定义域可以是 4．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有 个. 5．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）（1）已知，，求的值域； （2）已知的值域为，求此函数的定义域. 【典型例题八 已知函数类型求解析式】 1．（23-24高一上·全国·课后作业）图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三·全国·对口高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川内江·期中）已知一次函数是R上的减函数，且，则= . 4．（23-24高一上·浙江温州·期中）若是上单调递减的一次函数，且，则 . 5．（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 【典型例题九 已知f（g（x））求解析式】 1．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，且，则=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的值域为 . 4．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则的解析式为 ． 5．（23-24高一上·山东淄博·期中）求下列函数的解析式 (1)若，求； (2)已知是一次函数，且，求 【典型例题十 函数的表示法】 1．（23-24高一上·广东惠州·期末）已知定义在上的函数表示为: x 0 y 1 0 2 设，的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） 1 2 3 2023 0 A．2023 B．0 C． D． 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）若函数，则 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则 ， . 7．（2023高一·全国·课后作业）已知集合，． (1)试写出一个上的函数，使其值域为； (2)试写出一个上的函数，使其值域为的子集． 【典型例题十一 分段函数】 1．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．1 C．7 D．5 2．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京朝阳·期中）若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 4．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数，令，则不等式的解集是 5．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）已知 (1)画出的图象； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围. 【典型例题十二 已知分段函数的值求参数或自变量】 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设函数，若，则（     ） A． B． C．或 D．或 2．（22-23高一上·天津西青·期末）已知函数．若．则实数（    ） A． B．1 C． D．2 3．（2024·陕西·模拟预测）已知，若，则 ． 4．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数，若，则实数的值为 ． 5．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数的值. 【典型例题十三 根据分段函数的单调性求参数】 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·湖北咸宁·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）若函数是上的减函数，则实数的取值范围是 . 4．（22-23高一上·山西·阶段练习）已知函数，对，有，则实数的取值范围是 ． 5．（23-24高一上·福建漳州·期中）设， （1）在所给直角坐标系中画出的图象； （2）若，求的值； （3）若有三个根，求的范围． 【典型例题十四 分段函数的值域或最值】 1．（23-24高一上·云南大理·期末）已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南南阳·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）设a，，记，则函数的最大值 ． 4．（22-23高一上·山东枣庄·期中）函数的值域为 ． 5．（2023高一·江苏·专题练习）已知函数 (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 【典型例题十五 求分段函数值】 1．（2023·陕西·模拟预测）已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D． 2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C． D．5 3．（23-24高一上·广东·期末）已知函数，则 ． 4．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数，则 ． 5．（23-24高一上·河南安阳·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求的值. 【变式训练1 函数关系的判断】 1．（23-24高一上·安徽淮南·期中）设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为 ． 3．（22-23高一·全国·课堂例题）判断下列对应是否为函数： (1)，，； (2)，这里，，； (3)当x为有理数时，；当x为无理数时，. 【变式训练2 求函数值】 1．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知函数的定义域为，对于任意实数满足，且，则（    ） A．1011 B．2022 C．3033 D．4044 2．（22-23高一下·全国·开学考试）已知函数，则 . 3．（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数，. (1)求，，及的值. (2)求，并证明为常数. 【变式训练3 区间的定义、表示与运算】 1．（22-23高一上·甘肃兰州·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海浦东新·一模）设集合，，则 . 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若AB，求实数m的取值范围． 【变式训练4 具体函数、抽象函数定义域】 1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2023高一·全国·竞赛）若函数的定义域为，，则的定义域为 . 3．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数， (1)求的定义域； (2)求，的值； 【变式训练5 复合函数的定义域】 1．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 3．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）（1）已知y＝f(x)的定义域为[0,1]，求函数y＝f(x2+1)的定义域； （2）已知y＝f(2x﹣1)的定义域为[0,1]，求y＝f(x)的定义域； 【变式训练6 常见、复杂函数的值域】 1．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·上海·专题练习）若函数的值域为，则实数a的值为 ． 3．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知，. (1)求，的值； (2)求，的值； (3)求，的值域. 【变式训练7 根据函数的值域求定义域】 1．（23-24高一上·河南开封·阶段练习）若函数f(x)=5x+4的值域是[9，+∞)，则函数f(x)的定义域为（    ） A．R B．[9，+∞) C．[1，+∞) D．(-∞，1) 2．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）已知函数的值域是，则它的定义域可能是 ． 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为,值域为,求. 【变式训练8 已知函数类型求解析式】 1．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数是一次函数，满足，则 . 3．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知函数是一次函数，且满足.求的解析式. 【变式训练9 已知f（g（x））求解析式】 1．（23-24高一上·重庆黔江·阶段练习）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)＝ ． 3．（23-24高一上·山东淄博·期中）（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； 【变式训练10 函数的表示法】 1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数的部分与的对应关系如下表：则（    ） 0 1 2 3 4 3 2 1 0 0 A． B． C． D．3 2．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知函数分别由右表给出：满足的x的集合是 . x 1 2 3 x 1 2 3 1 3 1 3 2 1 3．（2023高一上·上海·专题练习）某工厂有一面长14米的旧墙，现在准备利用这面墙建造平面图为矩形的面积为126平方米的厂房，考虑到要节约费用因此利用旧墙（长度不得超过其总长），而没有利用的部分可拆去作为修建新墙的材料，具体工程条件如下： ①建1米新墙的费用为a元； ②修1米旧墙的费用为元； ③拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙费用为元； 问：设利用旧墙为x，建墙费用为y，试建立y与x的函数关系式y=f(x). 【变式训练11 分段函数】 1．（22-23高一上·江苏盐城·期中）已知函数 ，若，实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（22-23高一上·浙江宁波·期末）设函数，若函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 3．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数. (1)当，且时，求的值； (2)若存在正实数a､b（）使得函数的定义域为时，值域为（），求m的取值范围. 【变式训练12 已知分段函数的值求参数或自变量】 1．（23-24高一上·广东广州·期末）已知，若，则实数为（    ） A．或2 B．2或 C．或 D．2 2．（23-24高一上·山东青岛·期中）设函数，若，则实数 ； 3．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数，且. (1)求； (2)若，求实数的值. 【变式训练13 根据分段函数的单调性求参数】 1．（22-23高一上·吉林长春·期中）若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是 ． 3．（23-24高二下·安徽淮北·期末）已知函数，. （1）当时，求函数的最小值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 【变式训练14 分段函数的值域或最值】 1．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数，，用表示，中较小者，记为.当时，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）已知表示不超过的最大整数，则函数的值域为 ；的值域为 . 3．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知二次函数满足，且该函数的图象过点，在轴上截得的线段长为2． (1)求函数的解析式； (2)对于每个实数，设取，两个函数值中的最大值，用分段函数的形式写出的解析式,并求出的值域． 【变式训练15 求分段函数值】 1．（22-23高三上·四川成都·阶段练习）已知，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）函数，则 ，不等式的解集是 . 3．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知函数 (1)求,,的值; (2)若,求实数的值; (3)若,求实数的取值范围. 1．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 5．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（    ） A．0 B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则 . 7．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数满足以下条件：图象与轴交于两点，且过点，则函数解析式为 . 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则实数的值为 ． 9．（23-24高一上·广东韶关·期中），用表示中的最小者，记为，则函数的最大值为 . 10．（2024高三·全国·专题练习）设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则 ． 11．（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域 12．（2024高三·全国·专题练习）已知满足，求的解析式. 13．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）（1）已知函数，求函数的解析式. （2）已知是二次函数，且，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式 14．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)当时，求实数的取值范围， 15．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知二次函数满足，， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 函数的概念及其表示（8大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 函数关系的判断 题型二 求函数值 题型三 区间的定义、表示与运算 题型四 具体函数、抽象函数定义域 题型五 复合函数的定义域 题型六 常见、复杂函数的值域 题型七 根据函数的值域求定义域 题型八 已知函数类型求解析式 题型九 已知f（g（x））求解析式 题型十 函数的表示法 题型十一 分段函数 题型十二 已知分段函数的值求参数或自变量 题型十三 根据分段函数的单调性求参数 题型十四 分段函数的值域或最值 题型十五 求分段函数值 知识点01：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点02：函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【即学即练2】（2023·上海普陀·统考二模）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】， ，或 所以定义域为：. 故答案为： 知识点03：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 知识点04：区间的概念 1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 知识点05：函数的表示法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点06：求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点07：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 知识点08：函数的图象 1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【典型例题一 函数关系的判断】 1．（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，利用函数的定义作出判断. 【详解】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求； B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确； CD选项，对于，不妨设，此时，解得， 故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误. 故选：B 2．（23-24高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念判断即可. 【详解】根据函数的定义，在集合中任意一个数在中有且只有一个与之对应， 选项A中集合中2对应的数有两个，故错误； 选项B中集合中3没有对应的数，故错误； 选项C中对应法则为从到的函数，箭头应从指向，故错误； 选项D中集合中任意一个数在集合中都有唯一数与之对应，故D正确， 故选：D 3．（23-24高一上·云南曲靖·期中）下列关于函数的说法正确的是 ． ①是的函数；②是的函数；③对于不同的，也不同；④表示当时，的函数值是一个常数． 【答案】①④ 【分析】根据函数的知识确定正确答案. 【详解】对于函数有： 是的函数，①正确，②错误. 对于不同的，可能相同，③错误. 是一个常数，④正确. 故答案为：①④ 4．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）写出一个同时满足下列三个条件的函数 . 定义域为；②；③ 【答案】0（答案不唯一，符合题意即可） 【分析】根据题意结合函数性质分析求解. 【详解】例如， 则的定义域为，，，满足题意. 故答案为：0（答案不唯一，符合题意即可）. 5．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【答案】(1)不是集合A到集合B的函数 (2)是集合A到集合B的函数 (3)不是集合A到集合B的函数 (4)是集合A到集合B的函数． 【分析】函数要求对于数集A中的任意一个实数，按照对应关系，在集合B中都有唯一确定的数与它对应，由此可判断题中关系是否为函数. 【详解】（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． （2）对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数． （3）集合A中的负整数没有平方根，故在集合A中有剩余的元素，故不是集合A到集合B的函数． （4）对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 【典型例题二 求函数值】 1．（2024·江苏南通·二模）已知对于任意，都有，且，则（    ） A．4 B．8 C．64 D．256 【答案】D 【分析】由题意有，得，求值即可. 【详解】由，当时，有， 由，则有. 故选：D 2．（2024高一·全国·专题练习）函数不恒为零，且满足，若，则（    ） A．0 B．-2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】 本题用赋值法求抽象函数的值，首先赋值，求出，再赋值，求出，再赋值求即可. 【详解】令 ，则原式变为，即， 所以或者，当时，令得到， 所以，不满足题意舍去，所以， 令 ，可得，所以 令 ，可得，所以 所以 故选：A. 3．（2007高一·全国·竞赛）如果函数满足，且，那么 . 【答案】7 【分析】 由已知抽象函数的关系式层层代入即可. 【详解】 . 故答案为：. 4．（23-24高三下·上海·阶段练习）设函数的定义域为，满足，当时，，则 【答案】/ 【分析】 将写成的形式，再由解析式代入计算即可得. 【详解】由可得， 又，所以， 可得. 故答案为： 5．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知函数（且）． (1)求的值； (2)求证：是定值； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数解析式将和代入计算可得； （2）将化简计算即可得出，即可证明是定值. 【详解】（1）由可知， 代入计算可得； （2）证明：， （且） 【典型例题三 区间的定义、表示与运算】 1．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合元素个数转换为不等式整数解的个数进而即可得解. 【详解】若集合中有5个元素，则这五个元素只能是：， 这表明，即实数的取值范围为. 故选：D. 2．（22-23高三上·陕西宝鸡·阶段练习）设全集，，，则图中阴影部分表示的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦恩图的意义结合区间集合的运算即可得解. 【详解】集合，， ， . 故选：B. 3．（22-23高一上·山东东营·阶段练习）已知区间，，若，则a的范围是 【答案】 【分析】由区间的定义和空集的概念求解. 【详解】区间，，若，则有， 则a的范围是. 故答案为：. 4．（23-24高一上·广东江门·期中）不等式的解集用区间表达为 ． 【答案】. 【分析】根据不等式的解法，求得不等式的解集，进而得到答案. 【详解】由不等式，解得或，即不等式的解集为. 故答案为：. 5．（23-24高一上·湖南湘西·期中）解下列不等式，并把解集用区间表达. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）求出不等式对应方程的实数根，画出其对应的函数图象即可得出（1）（2）中的不等式的解集，表示成区间即可. 【详解】（1）不等式等价于， 易知方程的两个实数根为和， 其对应的一元二次函数的图象如下图所示：    所以不等式的解集为 （2）将不等式整理成，即， 易知方程的两个实数根为和， 二次函数对应的图象如下图：    所以该不等式的解集为. 【典型例题四 具体函数、抽象函数定义域】 1．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数的定义域是，则下列函数中，定义域为且的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域，得到答案. 【详解】A选项，由题意得且，解得且，不合要求，A错误； B选项，中，且，解得，不合要求，B错误； C选项，中，令且，解得且，满足要求，C正确； D选项，中，令且，解得且，不合要求，D错误. 故选：C 2．（2024高一·全国·专题练习）已知的定义域为，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】利用抽象函数定义域的解法即可得解. 【分析】因为的定义域为，即，则， 所以，所以的定义域为. 故选：C. 3．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】借助函数定义域的定义计算即可得. 【详解】由函数的定义域为，则有， 令，解得. 故答案为：. 4．（23-24高一下·河南·开学考试）函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据抽象函数和具体函数的形式，求解函数的定义域. 【详解】由题意可得，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为： 5．（23-24高一上·辽宁大连·期中）求下列函数的定义域： (1)； (2)已知函数的定义域为，则函数的定义域. 【答案】(1)且或； (2). 【分析】（1）根据二次根式的被开方数是非负数以及分母非零即得不等式组，解出即得； （2）正确理解函数的定义域的含义以及抽象函数中的变量范围的整体替换，即可求得. 【详解】（1）要使函数有意义，只需解得:或且， 所以函数定义域为且或. （2）由题意知，所以，即的定义域为， 所以，解得. 故函数的定义域是. 【典型例题五 复合函数的定义域】 1．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求解即可 【详解】函数的定义域为， 由，得， 则函数的定义域为 故选：C 2．（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式和可得． 【详解】由题意得：，解得：， 由，解得：， 故函数的定义域是， 故选：C. 3、（23-24高一上·湖南常德·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域用区间表示为 ． 【答案】 【分析】按定义域的定义即可求解. 【详解】由题有 解得 故答案为： 4．（23-24高一上·广西柳州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据复合函数的定义域的性质进行求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以满足，即， 又函数有意义，得，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为： 5．（23-24高一·全国·课后作业）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域. 【详解】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为， 由，得， 即函数的定义域为. （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为. 【典型例题六 常见、复杂函数的值域】 1．（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可． 【详解】，对称轴为，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，由对称性可得， 所以函数的值域是. 故选：D. 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可得到值域. 【详解】， 因为，所以的值域为，即， 故选：A. 3．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）函数在上的值域是 ． 【答案】 【分析】 将函数变形为，再由的取值范围及不等式的性质计算可得. 【详解】因为， 又，所以，所以， 所以， 所以. 故答案为： 4．（2022高一上·全国·专题练习）已知函数的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】 将函数两边同时平方后化简，然后利用二次函数的性质来求值域. 【详解】 函数定义域， ， 设，开口向下，对称轴为， 当时，， 当或时，， 所以，所以， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）已知函数. (1)若，求的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）代入解方程即可； （2）求出二次函数最小值，再利用不等式性质求出值域即可. 【详解】（1）函数， 由，得， 即，所以. （2）函数的定义域为R， ，当且仅当时取等号， 因此， 所以的值域为. 【典型例题七 根据函数的值域求定义域】 1．（22-23高三上·福建厦门·阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论解不等式即可. 【详解】由函数的值域是， 所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：， 故选：D 2．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对（a，b）的不可能值为（    ） A．（-2，4） B．（-2，1） C．（1，4） D．（-1，1） 【答案】D 【分析】先画出的图象，再根据其值域为，结合选项即可判断. 【详解】画出的图象如图所示： 由图可知：，， 根据选项可知：当的定义域为，值域为时， 的可能值为，，，所以D错误. 故选：D. 3．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数 的值域为，则的定义域可以是 【答案】（答案不唯一） 【分析】解分式不等式得到范围，写出符合题意的定义域即可. 【详解】令，解得或， 则的定义域可以是， 故答案为：（答案不唯一）. 44．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有 个. 【答案】9 【分析】根据值域得的取值情况，列举可得答案. 【详解】一个函数的解析式为，它的值域为， 则必取，至少取一个，至少取一个， 这样函数的定义域可为共9 个， 则这样的函数共有个. 故答案为：. 5．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）（1）已知，，求的值域； （2）已知的值域为，求此函数的定义域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）将x分别取0，1，2，3时，可得y值依次为，，1，3，即可得答案； （2）解不等式，即可得答案； 【详解】解：（1）当x分别取0，1，2，3时，y值依次为，，1，3， 的值域为1，． （2）， ， 即 即函数的定义域为． 【点睛】本题考查具体函数的定义域和值域求解，考查运算求解能力，属于基础题. 【典型例题八 已知函数类型求解析式】 1．（23-24高一上·全国·课后作业）图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将代入即可. 【详解】设图象是以为顶点的二次函数（）． 因为图象过原点，所以，，所以． 故选：A 2．（22-23高三·全国·对口高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式. 【详解】设，， ∵，则， 又∵， 令，则，∴，即，， 令，则，，即，， ∴，，. 故选：D. 3．（23-24高一上·四川内江·期中）已知一次函数是R上的减函数，且，则= . 【答案】 【分析】设，代入，可得解析式. 【详解】因为是R上的减函数，所以设， 故， 所以，解得或， 又，得，所以. 故答案为： 4．（23-24高一上·浙江温州·期中）若是上单调递减的一次函数，且，则 . 【答案】 【分析】先通过待定系数法求出的解析式，进而可得. 【详解】是上单调递减的一次函数, 设， 则， 所以有，解得（舍去）或， 所以， 则. 故答案为： 5．（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据待定系数法即可求解， （2）根据待定系数法即可求解. 【详解】解：（1）设 , , 且图象过原点, 解得 （2）设 ， 则, , 即 不论为何值都成立, 解得 【典型例题九 已知f（g（x））求解析式】 1．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，代入运算求解即可. 【详解】令，则，由于，则， 可得， 所以. 故选：B. 2．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，且，则=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由题意可求出的表达式，结合，即可求得答案. 【详解】由题意知，且， 用代换x，则， 即得， 故选：B 3．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】令，换元求出函数的解析式，进而可得值域. 【详解】令，则 ，所以函数的值域为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】令，采用换元法则可求解. 【详解】令，则， 即 故答案为：. 5．（23-24高一上·山东淄博·期中）求下列函数的解析式 (1)若，求； (2)已知是一次函数，且，求 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用配凑法即可得函数解析式. （2）利用待定系数法即可得到结论. 【详解】（1）， 所以. （2）由是一次函数，设，， 则， 则，，解得，，或，， 所以或. 【典型例题十 函数的表示法】 1．（23-24高一上·广东惠州·期末）已知定义在上的函数表示为: x 0 y 1 0 2 设，的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据自变量所在区间判断出的值，然后根据表中数据可知值域. 【详解】因为满足，所以， 由表中数据可知：的取值仅有三个值，所以， 故选：B. 2．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） 1 2 3 2023 0 A．2023 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】按函数的定义结合图表计算即可 【详解】根据题意，可得，则， 故选：A. 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）若函数，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，令，准确运算，即可求解. 【详解】由函数，令，可得. 故答案为：. 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则 ， . 【答案】 4 【分析】直接根据函数图象，数形结合得到函数值； 【详解】解：由图可知，， 故答案为：； 【点睛】本题考查函数图象的应用，数形结合思想，属于基础题. 7．（2023高一·全国·课后作业）已知集合，． (1)试写出一个上的函数，使其值域为； (2)试写出一个上的函数，使其值域为的子集． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)（答案不唯一）． 【分析】（1）（2）本题属于开放性问题，只要找到合适条件的解析式即可. 【详解】（1）不妨令，， 则，，， 所以，即的值域为集合，符合题意. （2）不妨令，， 则，，，所以， 满足的值域为的子集，符合题意. 【典型例题十一 分段函数】 1．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．1 C．7 D．5 【答案】B 【分析】由分段函数性质分别代入计算即可求得结果. 【详解】由题意可知：， ， 故. 故选：B 2．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的值域为，结合分段函数性质，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意知当时，， 故要使函数的值域为， 需满足，解得， 故的取值范围是， 故选：D 3．（23-24高一上·北京朝阳·期中）若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】易知时，，根据函数的值域为R，由时，充满求解. 【详解】解：当时，， 因为函数的值域为R， 所以当时，充满， ， 因为若函数的值域为R， 所以，解得或， 所以实数a的取值范围是， 故答案为：. 4．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数，令，则不等式的解集是 【答案】或 【分析】根据题意求出的解析式，利用分段函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由题知，当时， 即，解得：， 此时，； 当，即， 解得：或，此时，； . 由，得： 或或， 解得：或. 故答案为：或. 5．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）已知 (1)画出的图象； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【分析】(1)根据二次函数的性质及常数函数的作图法，作出图象即可； (2)分或时和时分别求解，再取并集即可； (3)结合(2)和图象即可得答案. 【详解】（1）解：函数的对称轴，当时，；当时，； 当时，，则的图象如图所示. （2）解：， 由题意可得：当或时，无解； ∴当时，由，可得， 解得. （3）解：由于，结合此函数图象可知， 使的的取值范围是 【典型例题十二 已知分段函数的值求参数或自变量】 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设函数，若，则（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据函数解析式，分类讨论，分别计算可得. 【详解】因为，又， 所以或， 解得或. 故选：C 2．（22-23高一上·天津西青·期末）已知函数．若．则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】代入分段函数依次计算即可. 【详解】结合题意可得： ， ， 解得：. 故选：B. 3．（2024·陕西·模拟预测）已知，若，则 ． 【答案】3或 【分析】分和分别代入函数，解出即可. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得． 故答案为：3或. 4．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数，若，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】根据分段函数的定义，分别在和范围内求出使时实数的值即可. 【详解】当时，，解得（舍）； 当时，，解得或（舍）， 所以实数的值为3， 故答案为：3. 5．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用函数对应关系代入求解即可； （2）令，讨论的范围解方程求解得答案. 【详解】（1）因为，且，所以. 因为，所以. （2）依题意，令， 若，则，解得， 与矛盾，舍去； 若，则，解得， 故，解得，所以实数的值为； 综上所述：的值为. 【典型例题十三 根据分段函数的单调性求参数】 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式即可求解. 【详解】因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，当即时，在上单调递减， 函数是定义域上的减函数，则，解得. 故选：A. 2．（22-23高三上·湖北咸宁·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分段函数的单调性结合一次函数、二次函数的单调性计算即可． 【详解】若在上单调递增， 则，解得. 故选:C． 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）若函数是上的减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数性质，结合已知分段函数的性质有，即可求参数范围. 【详解】由开口向上且对称轴为，又在上的减函数， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 4．（22-23高一上·山西·阶段练习）已知函数，对，有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到函数是上的单调递减函数，结合分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为对，，有， 可得函数是上的单调递减函数， 由，则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高一上·福建漳州·期中）设， （1）在所给直角坐标系中画出的图象； （2）若，求的值； （3）若有三个根，求的范围． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据分段函数定义，分段画出函数图象； （2）由（1）中图像，代入函数值，求解自变量； （3）方程根的问题转化成函数图象与直线的交点问题，由（1）中图像，结合函数取值，可求参数范围. 【详解】（1）根据，画出它的图象，如图： （2）结合图象，由，可得，∴（负的舍去）． （3）∵方程有三个根，∴函数和直线有三个交点， 观察函数的图象，可知有三个交点时，实数的取值范围为．∴的取值范围为． 【点睛】本题考查：（1）画分段函数图像（2）由函数值求自变量值（3）方程有解转化成函数图象与直线交点问题，本题比较基础. 【典型例题十四 分段函数的值域或最值】 1．（23-24高一上·云南大理·期末）已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到，再作出其图象求解. 【详解】解：由题意得：， 其图象，如图所示：    由图象知：函数y的值域为， 故选：A 2．（23-24高一上·河南南阳·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一，根据题意，分别求出当时与当时的最值，即可得到分段函数的值域；法二，画出的草图，数形结合可求出值域； 【详解】法一：因为且， 所以当时，，当时，； 当时，， 所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为. 法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.    故选：D 3．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）设a，，记，则函数的最大值 ． 【答案】1 【分析】联立方程组求得交点坐标，作出两函数的图象，结合图象，得到函数的解析式，即可求解. 【详解】根据题意，联立方程组，解得，即两函数的交点坐标为， 则两函数和图图象，如图所示， 因为，所以的最大值为. 故答案为：. 4．（22-23高一上·山东枣庄·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】分情况讨论函数的解析式，画出函数图象，即可确定函数的值域. 【详解】①当时，； ②当时，， ③当时，， 所以，， 函数图象如下图，    所以，函数的值域为. 故答案为： 5．（2023高一·江苏·专题练习）已知函数 (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 【答案】(1)，，. (2)定义域为，值域为 【分析】（1）根据分段函数的解析式求函数值； （2）作出分段函数的图象，由图象判断函数的定义域、值域． 【详解】（1）由函数， ，，. （2）作出图象如图所示．    利用数形结合易知的定义域为，值域为． 【典型例题十五 求分段函数值】 1．（2023·陕西·模拟预测）已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式，将自变量代入相应的解析式，即可求得答案. 【详解】由题意知， 故， 故选：B 2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 3．（23-24高一上·广东·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】首先求，再求的值. 【详解】． 故答案为：-1 4．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】由，从而可求解. 【详解】由题意知当，，则， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高一上·河南安阳·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）先求，再求即可. （2）根据，，分类求解即可. 【详解】（1）由题意知，，所以. （2）因为，所以当时，，所以，不满足舍去； 当时，，所以，符合题意； 当时，，解得或舍去，所以. 综上，当时，或. 【变式训练1 函数关系的判断】 1．（23-24高一上·安徽淮南·期中）设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】逐项分析定义域和值域的对应情况，由此判断出结果. 【详解】对于A：定义域为，定义域是的真子集，故错误； 对于B：定义域为，值域为，且图像也满足函数定义，故正确； 对于C：不满足“从定义域中任意取一个有唯一的与之对应”，故错误； 对于D：定义域为，定义域是的真子集，故错误； 故选：B. 2．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为 ． 【答案】 【分析】根据已知等式，结合函数的定义进行求解即可. 【详解】因为，所以，此时是一个函数； 因为，所以的值为其中一个，这样的函数共有个； 因为，所以的值为其中一个，这样的函数共有， 所以符合条件的函数共有个， 故答案为： 3．（22-23高一·全国·课堂例题）判断下列对应是否为函数： (1)，，； (2)，这里，，； (3)当x为有理数时，；当x为无理数时，. 【答案】(1)是函数 (2)不是函数 (3)是函数 【分析】（1）根据函数定义这个函数可以表示为()进行判断； （2）利用函数定义及特殊值进行判断； （3）可以表示为，是一个函数. 【详解】（1）对于任意一个非零实数x，由x唯一确定，所以当时是函数，这个函数也可以表示为(). （2）考虑输入值为4，即当时输出值y由给出，得和.这里一个输入值与两个输出值对应，所以，（，，）不是函数. （3）由题意知，对于任意的有理数x，总有唯一的元素1与之对应；对于任意的无理数x，总有唯一的元素0与之对应，.因此，根据函数的定义，可知这个对应是函数，可以表示为. 所以（1）是函数；（2）不是函数；（3）是函数. 【变式训练2 求函数值】 1．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知函数的定义域为，对于任意实数满足，且，则（    ） A．1011 B．2022 C．3033 D．4044 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用赋值法得，再按规律计算即得. 【详解】函数的定义域为，对于任意实数满足，取，得， 所以. 故选：C 2．（22-23高一下·全国·开学考试）已知函数，则 . 【答案】 【分析】令，求得值代入已知式可得． 【详解】令，解得，则. 故答案为：． 3．（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数，. (1)求，，及的值. (2)求，并证明为常数. 【答案】(1)，，， (2)，证明见解析. 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）计算，再计算即可. 【详解】（1）， ， ， . （2）因为，则 ， 所以，为常数. 【变式训练3 区间的定义、表示与运算】 1．（22-23高一上·甘肃兰州·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由交集的定义与区间的概念求解即可 【详解】因为， 所以， 故选：D 2．（2023·上海浦东新·一模）设集合，，则 . 【答案】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】因为，， 所以， 故答案为：. 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若AB，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意首先有，得，结合包含关系列出方程组即可求解. （2）结合A是B的真子集列出不等式组即可求解. 【详解】（1）因为为非空数集，得，解得， 若，则，解得，即实数m的取值范围是. （2）若AB，则（等号不同时取得），解得，即实数m的取值范围是. 【变式训练4 具体函数、抽象函数定义域】 1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】函数的定义域为，所以， ， 所以的定义域为， 对于函数，由， 得，所以函数的定义域为. 故选：C 2．（2023高一·全国·竞赛）若函数的定义域为，，则的定义域为 . 【答案】 【分析】根据函数的定义域，可得不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为的定义域为， 由题意可得： 解得：，即的定义域为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数， (1)求的定义域； (2)求，的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）满足二次根式下大于等于零和分母有意义即可； （2）直接带入可求. 【详解】（1）因为， 所以， 所以的定义域为 （2）因为， 所以， 【变式训练5 复合函数的定义域】 1．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域的定义可知，，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以中，，解得：， 所以函数的定义域为. 故选：B 2．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义，结合复合函数的意义，列出不等式求解作答. 【详解】依题意，，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 3．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）（1）已知y＝f(x)的定义域为[0,1]，求函数y＝f(x2+1)的定义域； （2）已知y＝f(2x﹣1)的定义域为[0,1]，求y＝f(x)的定义域； 【答案】（1）；（2）． 【分析】根据函数的定义求解，注意整体思想的应用． 【详解】（1）由题意，解得，所以的定义域是； （2）由于中，因此，所以的定义域是． 【变式训练6 常见、复杂函数的值域】 1．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【详解】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C 2．（2024高三·上海·专题练习）若函数的值域为，则实数a的值为 ． 【答案】2 【分析】分离常数得出，根据，即可得出该函数值域为，从而得出a的值． 【详解】由， ∵，∴， 又该函数的值域为， ∴． 故答案为：2． 3．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知，. (1)求，的值； (2)求，的值； (3)求，的值域. 【答案】(1)，； (2)，； (3)值域是，值域是． 【分析】（1）直接根据解析式代入自变量值计算； （2）由（1）根据解析式分别代入和计算； （3）利用二次函数和反比例函数的性质求解． 【详解】（1）； （2），； （3）因为，所以，所以值域是， ，值域是， 【变式训练7 根据函数的值域求定义域】 1．（23-24高一上·河南开封·阶段练习）若函数f(x)=5x+4的值域是[9，+∞)，则函数f(x)的定义域为（    ） A．R B．[9，+∞) C．[1，+∞) D．(-∞，1) 【答案】C 【分析】解：由题意可得，从而可求出函数的定义域 【详解】解：因为函数f(x)=5x+4的值域是[9，+∞)， 所以，解得， 故选：C 【点睛】此题考查由函数的值域求函数的定义域，属于基础题 2．（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）已知函数的值域是，则它的定义域可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，由二次函数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】令，解得；令，解得； 由二次函数的图像与性质可得，若要使函数的值域是， 则它的定义域是可能是． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为,值域为,求. 【答案】 【解析】由函数单调性可得不等式，解不等式求得结果. 【详解】为增函数    由得： 【点睛】本题考查根据函数值域求解定义域的问题，关键是明确函数的单调性，根据单调性可确定最值点的位置. 【变式训练8 已知函数类型求解析式】 1．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 2．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数是一次函数，满足，则 . 【答案】或 【分析】设，根据已知条件列方程组，由此求得，从而求得. 【详解】设，则 ， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或 3．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知函数是一次函数，且满足.求的解析式. 【答案】 【分析】依题设出函数解析式，根据条件代入化简，得到方程组，解之即得. 【详解】设一次函数， 由，可得， 整理得，由于的任意性， 所以，解得， 故的解析式为. 【变式训练9 已知f（g（x））求解析式】 1．（23-24高一上·重庆黔江·阶段练习）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元令，则，代入已知，即可得出答案. 【详解】令，则， 由已知可得，， 故的解析式为：． 故选：B． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)＝ ． 【答案】x2－2(|x|≥2) 【详解】配凑法. f(x＋)＝x2＋＝(x2＋2＋)－2＝(x＋)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2). 3．（23-24高一上·山东淄博·期中）（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； 【答案】（1），（2） 【分析】（1）用换元法即可求得解析式； （2）用待定系数法即可求得解析式. 【详解】（1）设，， ， ，， ，. （2）是二次函数， 设， 由，得， 由， 得， 整理得， ，， ，， . 【变式训练10 函数的表示法】 1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数的部分与的对应关系如下表：则（    ） 0 1 2 3 4 3 2 1 0 0 A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据函数的部分与的对应关系，求出，即可求得. 【详解】由图表可知，，所以， 故选：D 2．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知函数分别由右表给出：满足的x的集合是 . x 1 2 3 x 1 2 3 1 3 1 3 2 1 【答案】 【分析】分别计算出时，与的值，比较后得到答案. 【详解】，故，满足要求， ，故，不满足要求， ，故，满足要求， 所以满足的的集合为. 故答案为： 3．（2023高一上·上海·专题练习）某工厂有一面长14米的旧墙，现在准备利用这面墙建造平面图为矩形的面积为126平方米的厂房，考虑到要节约费用因此利用旧墙（长度不得超过其总长），而没有利用的部分可拆去作为修建新墙的材料，具体工程条件如下： ①建1米新墙的费用为a元； ②修1米旧墙的费用为元； ③拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙费用为元； 问：设利用旧墙为x，建墙费用为y，试建立y与x的函数关系式y=f(x). 【答案】 【分析】结合题意，分别计算出新墙、旧墙、及利用剩余的旧墙材料建新墙的费用，加起来即可. 【详解】结合题意：利用旧墙的一段米为矩形一面边长，则修旧墙费用为元， 将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为元， 其余建新墙的费用为元， 故总费用为. 【变式训练11 分段函数】 1．（22-23高一上·江苏盐城·期中）已知函数 ，若，实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先求得，再由，即可求得答案. 【详解】由题意可得，故， 故选：B. 2．（22-23高一上·浙江宁波·期末）设函数，若函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】对分大于0，小于0，等于0， 同时利用函数图像及函数单调性进行分析求解即可. 【详解】①当时， ， 即，如图所示： 由图知此时函数无最值，所以， ②当时， ， 即， 当时，，对称轴为， 所以在单调递减，在单调递增， 故， 当时，在上单调递增， 所以， 由函数的最小值为， 此时 ， 所以函数最小值为， 所以，即， 解得：或（舍去）， ③当时，由时， ，此时在上单调递减， 所以最小值为， 由时， ， 此时函数在单调递减，在单调递增， 所以， 所以当时，函数最小值为满足题意， 综上所述，当函数最小值为时， 实数的取值范围为：， 故答案为：. 3．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数. (1)当，且时，求的值； (2)若存在正实数a､b（）使得函数的定义域为时，值域为（），求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调性可知，可等价于，即可解得的值； （2）根据函数在上的单调性，按照，且，以及分类，即可确定在上的值域，从而建立方程组，根据方程根与系数的关系即可解出m的取值范围． 【详解】（1）∵，∴在上为减函数，在上为增函数，由且，可得且，故. （2）若存在正实数a､b（），使得函数的定义域为时，值域为，. ①当a，时，由于在上是减函数，故. 此时得，得与条件矛盾，所以a､b不存在 ②当，时，易知0在值域内，值域不可能是， 所以a､b不存在. ③故只有a，. ∵在上是增函数，∴，即，所以 a､b是方程的两个根，即关于x的方程有两个大于1的不等实根.设这两个根为､，则，.∴，1-4m>0， ∴，即，解得. 故m的取值范围是. 【变式训练12 已知分段函数的值求参数或自变量】 1．（23-24高一上·广东广州·期末）已知，若，则实数为（    ） A．或2 B．2或 C．或 D．2 【答案】D 【分析】分情况讨论，求的值. 【详解】若，，解得； 若，，舍去. 故选：D 2．（23-24高一上·山东青岛·期中）设函数，若，则实数 ； 【答案】或 【分析】由分段函数定义域解相应方程可得答案. 【详解】当，； 当，. 故答案为： 或 . 3．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数，且. (1)求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解析式和求得，进而确定解析式，再从内到外计算； （2）分，分别求解，注意检验即可得解. 【详解】（1）因为，， 故，解得，故， 所以，. （2）因为， 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得或（舍去）； 综上，. 【变式训练13 根据分段函数的单调性求参数】 1．（22-23高一上·吉林长春·期中）若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性列式求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：A. 2．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】保证每段函数单调递减和断点处函数值大小关系即可 【详解】由题意得在上单调递减，所以，解得． 故答案为： 3．（23-24高二下·安徽淮北·期末）已知函数，. （1）当时，求函数的最小值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】（1）4；（2）. 【分析】（1）当时，分别讨论每一段的单调性，综合比较，即可求得最小值； （2）去掉绝对值符号，化为分段函数，因为函数是连续的，只需要函数在两段上都单调递增，即可得解. 【详解】（1）当时，， 当时，为减函数，； 当时，为减函数， 当时，函数取得最小值； 当时，为增函数，； 所以当时，函数取得最小值. （2） ， 因为函数在区间上单调递增，且函数是连续不间断的， 所以，解得， 故所求实数a的取值范围是. 【点睛】本题考查分段函数的最值问题，考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.已知分段函数的单调性求参数的取值范围时，除了考虑分段函数在每一段上的单调性必须相同之外，还要考虑函数在分界点处的函数值的大小关系，因此，解题时要考虑全面，否则会产生解题中的错误. 【变式训练14 分段函数的值域或最值】 1．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数，，用表示，中较小者，记为.当时，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合二次函数与一次函数图象分别为抛物线和直线，画出函数图象，再根据得到的图象，再写出的解析式，根据解析式可得值域. 【详解】与的图象如下， 令，解得或， 由于，所以的图象如下图， 即， 由图可知当时，的最大值为，最小值为， 所以的值域为， 故选：D. 2．（23-24高一上·安徽亳州·阶段练习）已知表示不超过的最大整数，则函数的值域为 ；的值域为 . 【答案】 【分析】根据函数的含义及自变量的范围，分类讨论求解的值域；由函数在的取值先得出函数的表达式，然后分析的值域. 【详解】因为函数, 所以函数在上的值域为. 函数. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 综上所述，函数的值域为. 故答案为：；. 3．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知二次函数满足，且该函数的图象过点，在轴上截得的线段长为2． (1)求函数的解析式； (2)对于每个实数，设取，两个函数值中的最大值，用分段函数的形式写出的解析式,并求出的值域． 【答案】(1); (2)，的值域为． 【分析】（1）设出二次函数，根据已知条件，利用待定系数法求出该二次函数的解析式； （2）比较，的大小，进行分段表示，并结合一次函数与二次函数性质求出值域，取其并集即可. 【详解】（1）设二次函数， 因为，所以的图象关于对称， 所以， 即， 因为函数的图象过点，所以，① 因为在轴上截得的线段长为2，设的两个零点为，且 则， 所以，即，②， 由①，②两式解得：，，所以. （2）因为，所以当时，，当或时，， 所以， 当或时，由二次函数的性质可知， 当时，， 所以的值域为． 【变式训练15 求分段函数值】 1．（22-23高三上·四川成都·阶段练习）已知，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意将两部分范围确定，分别代入函数成立等式，即可解出的值，再代入求解即可. 【详解】根据题意，若， ， 则必有，即， 则， 即，则， 解得：或（舍去）， ， 故选：B. 2．（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）函数，则 ，不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据函数的解析式求得，通过解一元二次不等式、一元一次不等式求得不等式的解集. 【详解】. 当时，由，解得； 当时，由，解得. 所以不等式的解集是. 故答案为：； 3．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知函数 (1)求,,的值; (2)若,求实数的值; (3)若,求实数的取值范围. 【答案】(1);; (2)或 (3) 【分析】（1）根据的范围,分别将代入对应解析式即可求解; （2）对参数进行分类讨论,解方程求解即可; （3）对参数进行分类讨论,解不等式求解即可. 【详解】（1）由题可得, , 因为, 所以. （2）①当时,, 解得,不合题意,舍去; ②当时,,即, 解得或, 因为,, 所以; ③当时,, 解得,符合题意. 综合①②③知,当时,或. （3）由, 得或或, 解得或或, 故所求的取值范围是. 1．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，分与两种情况，解不等式，求出解集. 【详解】，故， 当时，有，解得或，即，或； 当时，，解得，即； 综上，不等式的解集是； 故选：B． 2．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数定义域的求法进行求解. 【详解】由题意可知，要使有意义，则解得 所以函数的定义域为． 故选：D． 3．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可知，与已知的式子联立方程组可求出，从而可求出的值. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，解得， 所以， 故选：D 4．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 【答案】D 【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】由题意得，解得且， 即定义域为. 故选：D. 5．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】先赋值求出，接着赋值，求出，再赋值求出，最后赋值，即可求解. 【详解】令，得，所以； 令，，得， 又，所以；令，得； 令，，得. 故选：D. 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得. 【详解】令，则， 于是有，所以. 故答案为： 7．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数满足以下条件：图象与轴交于两点，且过点，则函数解析式为 . 【答案】 【分析】根据题意可设函数方程为，再代入点求得的值，从而求得所求函数解析式. 【详解】因为二次函数与轴交于两点， 所以设二次函数解析式为， 又因为该函数过点，所以，解得， 所以所求函数解析式为，即. 故答案为：． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则实数的值为 ． 【答案】13 【分析】令，则，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得可得， 令，则，， ∴当时取得最大值， 但由于，故当即时，，解得． 故答案为：13． 9．（23-24高一上·广东韶关·期中），用表示中的最小者，记为，则函数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】画出函数的图象，结合图象即可求得结果. 【详解】如图所示， ，即， ，即， 由图可知，， 所以的图象如图所示， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 10．（2024高三·全国·专题练习）设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】由的周期为2得，代入解析式求值即可． 【详解】由的周期为2得，， 故答案为：1． 11．（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域 【答案】且 【分析】利用分离常数得到函数的值域. 【详解】， 故值域为且 12．（2024高三·全国·专题练习）已知满足，求的解析式. 【答案】 【分析】列方程组法求函数的解析式. 【详解】对于任意的x都有， 所以将x替换为，得， 联立方程组：，消去，可得. 13．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）（1）已知函数，求函数的解析式. （2）已知是二次函数，且，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）令，使用换元法可得； （2）设，根据多项式相等列方程组求出系数即可； （3）用代替，联立两个方程求解可得. 【详解】（1）令，则， 所以， 即. （2）设， 则 ， 又， 所以，解得， 所以. （3）因为①， 所以②， 得，所以. 14．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)当时，求实数的取值范围， 【答案】(1)作图见解析； (2) 【分析】（1）根据函数解析式直接画出函数图象； （2）结合函数解析式分段得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为，所以的图象如图所示： （2）由题可得或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为 15．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知二次函数满足，， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设，根据所给条件求出，再由得到方程组，求出、，即可得解； （2）依题意可得，分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）设，因为，所以有， 即， 又因为， 所以， 所以， 所以，解得． 所以； （2）不等式可化为． 当时，不等式为，解得，此时不等式的解集为； 当时，解得或，此时不等式的解集为或； 当时，解得或，此时不等式的解集为或． 综上可得：当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$