2024年河北省中考数学一轮复习课件：概 率

概 率 ■考点一 事件的分类（6 年 1 考，考查统计的步骤） 事件类型 定 义 概 率 确定事件 必然事件 一定会发生的事件. ______ 不可能事件 一定不会发生的事件. ______ 随机事件 有可能发生也有可能不发生的事件. ０~１ 之间 1 0 名师点拨 发生可能性再大的随机事件也不是必然事件；发生可能性再小的随机事件也不是不可能事件. ■考点二 概率的计算（6 年 5 考，考查概率的计算方法） 列举法 一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率 P（A）=____. 列表法 当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法列出所有可能的结果，再运用概率公式来计算. 画树状 图法 当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图法列出所有可能的结果，再运用概率公式来计算. m n 名师点拨 当试验为两步试验时，用列表法和画树状图法都可以求概率；当试验在三步或三步以上时应当采用画树状图法，不适合用列表法. ■考点三 用频率估计概率 试验法 有些事件的概率很难直接计算或不能直接计算，这就需要进行重复试验，根据频率的稳定性，用 ______ 来估计概率. 用频率 估计概率 一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率 会逐渐稳定在某个常数p 附近，那么事件 A 发生的概率 P（A）= ________. 频率 p 名师点拨 用一个事件发生的频率估计概率时，必须有足够的大量重复试验才可以用频率作为事件发生概率的估计值. ■考点四 几何概率 定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）________，则称这样的概率模型为几何概率模型. 计算 方法 特点 （1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有________ 个； （2）每个基本事件出现的可能性 ________. 成比例 无限多 相等 例 1 ［2023·邯郸模拟］“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．嘉嘉购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”五张邮票中的两张送给好朋友淇淇．嘉嘉将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让淇淇从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的邮票中随机抽取一张，则淇淇抽到的两张邮票恰好是“惊蛰”和“谷雨”的概率是 （ ） ■题型一 单纯概率的计算（常考考点） B 题型解法 放回型 不放回型 问 题 ①从一个不透明的袋子中摸出一个球，放回，再摸出一个球 （共 n 个球）；②转动一个转盘两次（n 等分）；③从两个不透明的袋子中各摸一个球（都有 n 个球）. ①从一个不透明的袋子中摸出一个球，不放回，再摸出一个球（共 n个球）；②从一个不透明的袋子中摸出两个球（共 n个球）. 列表法 对角线上有情况. 对角线上无情况. 放回型 不放回型 画树状 图法 第一层情况数为 n， 第二层情况数为 n·n. 第一层情况数为n，第二层情况数为 n（n-1）. 对应练习 练习一 ［2023·承德八校联考］小亮有三双颜色分别为灰色、白色、蓝色的袜子和两双颜色分别为灰色、黑色的鞋子，他随机穿上一双袜子和鞋子，则恰好都为灰色的概率是 （ ） C 练习二 ［2023·邯郸武安一模］如图，在水平地面上的甲、乙两个区域分别由若干个大小完全相同的小正三角形瓷砖组成，琪琪在甲、乙两个区域内分别随意抛一个小球，P（甲）表示小球停留在甲区域中灰色部分的概率，P（乙）表示小球停留在乙区域中灰色部分的概率，则 P（甲）____P（乙）．（选填“＞”“＜”或“=”） ＝ 练习三 ［2023·石家庄桥西区二模］如图，正方形 ABCD的顶点处各有一个圈．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后若正面朝上，就沿正方形的边顺时针移动到下一个圈；若反面朝上，就沿正方形的对角线移动到对角的圈．例如，若从圈 A 开始，第一次掷出正面，就顺时针移动到圈 B；若第二次掷出反面，就移动到对角的圈 D．若甲从圈 A 开始． （1）抛掷一次硬币，甲移动到圈 C 的概率为______； 1 2 （2）抛掷两次硬币，用画树状图的方法求甲移动到圈 D 的概率； （3）抛掷三次硬币，甲移动到圈 B 与回到圈A 的可能性一样吗？ 请说明理由． 解：投掷硬币 1 次、两次、三次甲移动的情况的树状图如图所示. （2） （3）由树状图可知，抛掷三次硬币，共有 8 种等可能出现的结果，其中甲移动到圈 B 的有 3 种结果，甲移动到圈 A 的有 3 种结果，∴ 甲移动到圈 B 与回到圈 A 的可能性是相同的． 1 2 例 2 ［2023·邯郸育华中学四模］某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了 n 名学生的竞赛成绩（满分 100 分，每名学生的成绩记为 x 分）分成如表所示的四组，并得到如图（表）所示不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）n 的值为 _____，a 的值为 _____， b 的值为 _____； ■题型二 统计与概率结合（常考考点） 60 6 12 （2）请补全频数分布直方图，并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为 _____°； 144 解：（2）补全频数分布直方图如图所示； （3）竞赛结束后，九（1）班从本班获得优秀（x≥80）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率． 解：（3）画树状图如图所示. 由树状图可知，共有 12 种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有 2 种，∴ 恰好抽到甲、乙两名同学的概率为 题型解法 对应练习 练习一 ［2023·保定清苑区二模］如图为某中学八（1）班每位同学数学和语文学科的期末成绩（满分 100 分），表格为全班 30 名同学数学和语文成绩的平均分，根据统计图回答下列问题. （1）璐璐数学成绩接近满分，而语文成绩没 有达到平均分，请用“〇”在统计图中圈出代表璐璐成绩的点； （2）若该年级有 600 名学生，请估计全年级语、数两门课程成绩都超过平均分的人数； （3）本学期外语课程要求从 A．英语；B．俄语；C．西班牙语，三种语言中选一种进行学习和考试，若学生选择每种语言的可能性相同，求璐璐和彤彤选择相同语言学习和考试的概率． 解：（1）如图，“○”中即为代表璐璐成绩的点； 解：（2）由上图可知，八（1）班语、数两门课程成绩都超过平均分的人有 9 个，∴600× =180（人）. 答：估计全年级语、数两门课程成绩都超过平均分的有 180 人； （3）画树状图如图所示.由树状图可知，共有 9 种等可能的结果，其中璐璐和彤彤选择相同语言学习和考试的结果数为 3，∴ 璐璐和彤彤选择相同语言学习和考试的概率为 练习二 ［2023·营口］某校在评选“劳动小能手”活动中，随机调查了部分学生的周末家务劳动时间，根据调查结果，将劳动时长划分为A，B，C，D 四个组别，并绘制成了如图所示不完整统计图． 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取 ______ 名学生，条形统计图中的 a=______，D 组所在扇形的圆心角的度数是 ______； 50 9 108° （2）已知该校有 900 名学生，根据调查结果，请你估计该校周末家务劳动时长不低于 1 h的学生有多少人？ （3）班级准备从周末家务劳动时间较长的三男一女四名学生中，随机抽取两名学生参加“我劳动，我快乐”的主题演讲活动，请用列表法或画树状图法求出恰好选中两名男生的概率． 解：（2）900× =666（人）. 答：估计该校周末家务劳动时长不低于 1 h 的学生有 666 人； （3）画树状图如图所示： 由树状图可知，共有 12 种等可能的结果，其中恰好选中两名男生的结果有6 种，∴ 恰好选中两名男生的概率为 1. ［2020·河北 25 题］如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴－３ 和 ５ 的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则： 裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．①若都对或都错，则甲向东移动 １ 个单位长度，同时乙向西移动 １ 个单位长度；②若甲对乙错，则甲向东移动 ４ 个单位长度，同时乙向东移动 ２ 个单位长度；③若甲错乙对，则甲向西移动 ２ 个单位长度，同时乙向西移动 ４ 个单位长度． ■考查点一 以数字为背景的概率计算（6 年 1 考） （1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率 P； （2）从图的位置开始，若完成了 １０ 次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对 n 次，且他最终停留的位置对应的数为 m，试用含 n 的代数式表示 m，并求该位置距离原点 0 最近时 n 的值； （3）从图的位置开始，若进行了 k 次移动游戏后，甲与乙的位置相距 ２ 个单位长度，直接写出 k 的值． （3）k 的值为 3 或 5. 解：（1）∵ 经过第一次移动游戏 ，甲的位置停留在正半轴上，∴ 必须甲对乙错，∵ 一共有四种情形，都对或都错，甲对乙错，甲错乙对，∴P 甲对乙错= ； （2）根据题意可知，乙答了 10 次，答对了n 次，则答错了（10-n）次， 根据题意可得 ，n 次答对 ，向西移动4n，（10-n）次答错，向东移了 2（10-n），∴m=5-4n+2（10-n）=25-6n，∴ 当 n=4时，距离原点最近； 1 4 2. ［2023·河北 4 题］有 7 张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ） ■考查点二 概率公式的计算与应用（6 年 3 考） B 3. ［2022·河北 17 题］如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，她从1～8 号中随机抽取一签，则抽到 6 号赛道的概率是 _______． 1 8 4. ［2021·河北 22 题］某博物馆展厅的俯视示意图如图 1 所示.嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同. （1）求嘉淇走到十字道口 A 向北走的概率； （2）补全图 2 的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大. 解：（1）∵ 当嘉淇走到道口 A 时 ，有直、左、右 3 种等可能的结果，只有向右转为北，∴ 嘉淇走到十字道口 A 向北走的概率为 ； （2）补全树状图如图所示. 1 3 共有 9 种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有 3 种，向南参观的结果有 2 种，向北参观的结果有 2 种，向东参观的结果有2 种， ∴ 向西参观的概率为 = ，向南参观的概率=向北参观的概率=向东参观的概率= ，∴ 向西参观的概率大. 1 3 3 9 2 9 5.［2019·河北 22 题］某球室有三种品牌的 4 个乒乓球，价格是 7，8，9（单位：元）三种，从中随机拿出一个球，已知 P（一次拿到 8 元球）＝ ． （1）求这 4 个球价格的众数； （2）若甲组已拿走一个 7 元球训练，乙组准备从剩余 3 个球中随机拿一个训练． ①所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数是否相同？ 并简要说明理由； ②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8 元球的概率． ■考查点三 与统计结合的概率计算（6 年 2 考） 解：（1）∵P（一次拿到 8 元球）= ，∴8 元球的个数为 4× =2（个），按照从小到大的顺序排列为 7，8，8，9，其中 8 出现次数最多，∴ 这 4 个球价格的众数为 8 元； （2）①所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数相同.理由如下：原来 4 个球的价格按照从小到大的顺序为 7，8，8，9，∴ 原来 4 个球价格的中位数为 =8（元），所剩的3 个球价格从小到大的顺序为 8，8，9， ∴ 所剩的 3 个球价格的中位数为 8 元， ∴ 所剩的 3 个球价格的中位数与原来4 个球价格的中位数相同； ②列表如下，共有 9 种等可能的结果，乙组两次都拿到 8 元球的结果有 4 种，∴ 乙组两次都拿到 8 元球的概率为 ． 1 2 1 2 4 9 8+8 2 6. ［2018·河北 21 题］老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图 2），其中条形图被墨迹掩盖了一部分. （1）求条形图中被掩盖的数，并写出册数的中位数； （2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过 5 册的学生的概率； （3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了 6 册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了_________ 人. 3 解：（1）抽查的学生总数为 6÷25%=24（人），读书为 5 册的学生数为 24-5-6-4=9（人），∴ 条形图中被遮盖的数为 9， ∵ 共抽查了 24 名学生的读书情况，∴ 第 12 名学生和第 13 名学生读课外书册数的平均数为中位数，即 =5， ∴ 册数的中位数为5； （2）∵ 读书超过 5 册的学生总数为6+4=10（人），∴ 选中读书超过 5 册的学生的概率为 = ； 10 24 5+5 2 5 12 类题集训 6.1［2023·衡水三中二模］老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成如图所示条形图和不完整的扇形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分． （1）求所抽查学生读课外书册数的平均数； （2）随后又补查了另外几人，得知其中 1 人读了 4 册，其余几人最少的读了 6 册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多又补查了 ______ 人； 5 （3）老师手里有 1 本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏.如图，指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A 与 B 的混合结果，就借给七年级的同学，否则就借给八年级的同学，你认为这个游戏公平吗？ 为什么？ 解：（1）抽 查 的 总 人 数 为 6 ÷25% =24（人），∴ 读 5 册的学生有 24-5-6-4=9（人），∴ 所抽查学生读课外书册数的平均数为 ×（4×5+5×9+6×6+4×7）=5.375（本）； 1 24 解：（3）不公平.理由：由题意画树状图如图所示： 由树状图可知，共有 9 种等可能的结果，出现字母 A 与 B 的混合结果的有5 种，∴ 借给七年级同学的概率为 ，借给八年级同学的概率为 1- ，∵ ，故游戏不公平． $$