2024年河北省中考数学一轮复习课件：图形的对称、平移与旋转

■考点一 轴对称与轴对称图形（6 年 2 考，考查轴对称图形及轴对称的性质） 轴对称图形 轴对称 图 形 1. 轴对称图形与轴对称 图形的对称、平移与旋转 定 义 如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全 _____，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做 ________.如上图 ， △ABC 是 轴 对称图形，直线 l 为对称轴. 如果两个图形沿某条直线对折后，这两个图形能够完全______，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做________.如上图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 成轴对称. 续表 重合 对称轴 重合 对称轴 区 别 （1）轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；（2）对称轴可能不止一条. （1）轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；（2）对称轴可能不止一条. 轴对 称的 性质 （1）对应点的连线被对称轴 ______； （2）对应线段 _____，对应角 ______； （3）对应线段或延长线的交点在 ______ 上； （4）成轴对称的两个图形 _______. 续表 垂直平分 相等 相等 对称轴 全等 续表 轴对 称图 形的 作法 （1）作垂线：过关键点（如三角形顶点）向对称轴作垂线；（2）作延长：作出垂线段的延长线；（3）截相等：在延长线上截取和垂线段相等的线段，交点即为该关键点的对应点；（4）连线：按原图形的顺序依次连接对应点，得到轴对称图形. 常见的轴对称 图形 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、正 n（n 是正整数）边形、圆等是轴对称图形. 名师点拨 1. 对称轴是一条直线，而不是射线或线段. 2. 成轴对称的两个图形全等，而全等的两个图形不一定成轴对称，轴对称是和位置有关的一种图形变换. 折叠的 实质 几何图形折叠的实质是 _______，位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称. 折叠的 性质 （1）满足轴对称所有性质，即折叠前后的两部分图形 ______，对应边、角、线段、周长、面积等均相等； （2）折叠前后 ，对应点的连线被折痕________. 2. 几何图形的折叠 对称轴 全等 垂直平分 中心对称图形与中心对称 中心对称 图 形 ■考点二 中心对称图形与中心对称 定 义 如果一个图形绕某一个点旋转 _____后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形 ， 这个点叫做它的 _______，其中对称的点叫做________.如上图，𝕔ABCD 是中心称 图 形 ， 点 O 是_______. 如果一个图形绕某一点旋转 _____ 后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称，这个点叫做 _____，其中成中心对称的点、线段和角，分别叫做对应点、对应线段和对应角.如上图，△ABC 与△A′BC′关于点O成中心对称. 续表 180° 对称中心 对应点 对称中心 180° 对称中心 中心对称图形与中心对称 中心对称 区 别 中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形. 中心对称是指两个全等图形之间的相 互位置关系. 中心对 称的 性质 （1）成中心对称的两个图形，对应点连线都经过___________，并且被对称中心_______； （2）成中心对称的两个图形 _______. 对称中心 平分 全等 确定对称中心 的方法 （1）连接任意一对对应点，取这条线段的中点，则该中点为对称中心； （2）任意连接两组对应点，这两条线段的交点就是对称中心. 常见的中心对 称图形 线段、平行四边形、正 2n（n 为正整数）边形、圆等是中心对称图形. 续表 名师点拨 1. 过中心对称图形对称中心的直线将图形分成全等的两部分. 2. 成中心对称的两个图形，其对应线段互相平行或在同一条直线上. ■考点三 最短路线问题 基本 问题 如图，在直线 l 上找一点P，使得点 P 到点 A 和 点 B 的距离之和最小，即 PA+PB 的值最小. 解决 方法 如图，作点 A 关于直线 l的对称点 A′， 连接 A′B 且与直线 l 相交于点 P，连 接 PA，PB，则点 P 即为所求，此时 PA+PB 的值最小. 依据 ①轴对称的性质； ②两点之间，线段最短. ■考点四 图形的平移（6 年 2 考，考查平移的性质） 定 义 如图，在平面内，一个图形沿着一定的方向 移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 要素 平移的 ____ 和 _____. 性 质 （1）平移前后，对应线段 ____，对应角 _____； （2）各对应点所连接的线段 _____（或在同一条直线上）且 ______； （3）平移前后的图形 ______. 方向 距离 相等 相等 平行 相等 全等 作图 步骤 （1）确定平移的方向和距离； （2）找出原图形的关键点； （3）过关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移距离相等的线段，得到关键点的对应点； （4）按原图形的顺序依次连接各对应点，得到平移后的图形 续表 2. 图形的平移与坐标变换 平移方式 平移后的各点坐标 图形向上（下）平移 m个单位长度. （x，y+m）［（x，y-m）］ 图形向右（左）平移 n 个单位长度. （x+n，y）［（x-n，y）］ 图形平移各点坐标变化口诀 横坐标右移 _____，左移 ____； 纵坐标上移 _____，下移 _____. 加 减 加 减 定 义 如图，把一个图形绕着平面内的某一点沿某个方向旋转 一定角度的图形变换叫做旋转，这个点叫做旋转中心， 转动的角度叫做旋转角. 要 素 旋转中心、旋转 ____ 和旋转 _____. 性 质 （1）对应点到旋转中心的距离 _____；（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形 ______. ■考点五 图形的旋转（6 年 6 考，考查旋转的性质） 方向 角度 相等 全等 作图 步骤 （1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；（4）按原图形的顺序依次连接各对应点，得到旋转后的图形. 续表 例 1 ［2023·石家庄 42 中二模］手势密码是在手机触屏上设置的一笔连成的九宫格图案，登录软件时画一下设定的图案即可．下列四种手势密码图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ） ■题型一 对称图形的识别（高频考点） C 题型解法 轴对称图形与 中心对称图形 的判断方法 （1）判断轴对称图形的关键是寻找对称轴；判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心；（2）边数为奇数的正多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；边数为偶数的正多边形既是中心对称图形，又是轴对称图形. 轴对称图形与 中心对称图形 的特点 中心对称图形只有一个对称中心，但轴对称图形的对称轴未必唯一；如果一个图形既是轴对称图形（对称轴不止一条）又是中心对称图形，那么对称轴的交点必是对称中心. 对应练习 练习一 ［2023·唐山一模］下列垃圾分类的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ） B 练习二 ［2023·邢台三中模拟］如图，有八个点将圆周八等分，其中连接相邻的两个等分点，得到四条相等的弦（实线表示），若再连接以等分点为端点的一条弦，使所得的整个图形是轴对称图形，则这条弦是 （ ） A． ①或③ B． ①或② C． ②或④ D． ③或④ A 例 2 ［2023·唐山丰润区二模］如图，在一张矩形纸片 ABCD 中，AB=3，BC=9，点 E，F 分别在 AD，BC 边上，将纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，点C 落在边 AD 上的一点 H 处，点 D 落在点 G处，有以下四个结论：①四边形 CFHE 是菱形；②EC 平分∠DCH；③线段 BF 的取值范围为 3≤BF≤4；④当点H 与点 A 重合时，EF= .以上结论中，你认为正确的有 （ ） A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 ■题型二 与轴对称（折叠）有关的证明与计算 （高频考点） B 题型解法 问题类型 解决方法 折叠与三角形结合 ①若涉及直角，则优先考虑直角三角形的性质或利用勾股定理求解；②若涉及两边（角）相等，则应利用等腰三角形的相关性质计算；③若折叠后得到的三角形与折叠前的三角形相似，则可利用相似三角形的性质求解. 折叠与四边形结合 与平行四边形、矩形、菱形、正方形结合，往往利用其特殊性质解题；若为一般四边形，则可通过构造特殊的三角形或四边形求解. 最短路线 根据轴对称性，把要求的某些线段集中在一起，根据“两点之间，线段最短”来解决. 对应练习 练习一 ［2023·廊坊安次区二模］如图 1 为一张正三角形纸片 ABC，其中点 D 在 AB 上，点 E 在BC 上．现以 DE 为折线将点 B 往右折后，BD，BE 分别与 AC 相交于点 F，G，如图 2 所示．若 AD=10，AF=16，DF=14，BF=8，则 CG 的长为 （ ） A． 7 B． 8 C． 9 D． 10 C 练习二 ［优质原创］如图，在五边形 ABCDE 中，∠AMN+∠ANM=84°，∠B=∠E=90°，在 BC，DE 上分别找一点 M，N，使得△AMN 的周长最小时，则∠BAE=______． 138° ■题型三 图形平移的有关计算与证明（常考考点） 例 3 ［2023·秦皇岛开发区二模］如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为（2，0），点 A 在第一象限内，将△OAB沿直线 OA 的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点 A′的横坐标为 3，则点 B′的坐标为 （ ） A．（4， ） B．（3，3） C．（4，3） D．（3，2） A 题型解法 对应练习 练习一 ［2023·衡水桃城区三模］如图，在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC 为锐角，将△ABC 沿对角线AC 边平移，得到△A′B′C′，连接 AB′和C′D，若使四边形 AB′C′D 是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′=DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′=∠A′C′D.其中正确的方案是 （ ） A． 甲、乙、丙 B． 只有乙、丙 C． 只有甲、乙 D． 只有甲 B 练习二 ［2023·沧州黄骅一模］在 Rt△ABC 和 Rt△DEF中，∠C=∠EBD=90°，∠BAC=∠E=30°，BC=4，DF=1，点 F 与点 B 重合，将△DEF 沿 BA方向平移，得到△D′E′F′，当平移距离为 5 时，连接 AE′，则 AE′的长度为 （ ） D ■题型四 图形旋转的有关计算与证明 （必考考点） 例 4 ［2023·石家庄三模］如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D 是 BC 边上一点，线段 DA 绕点 D 顺时针旋转 90°得到 DE，连接 AE，若 F 是 AE 的中点． （1）当点 F 在 AC 上时，BD=______； （2）CF 的最小值为 ______． 题型解法 等腰直角三角形旋转模型 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC= BC，P 为△ABC 内一点，将△APC 绕点 C 按逆时针方向旋转 90° ，使得 AC 与 BC重合 ， 得 到的△P′CP 为等腰直角三角形. 等边三角形旋转模型 如图，在等边三角形 ABC 中，P 是△ABC内一点，将△ABP 绕点 A 按逆时针方向旋转60°， 使得 AB 与 AC重合，得到 的△APP′为等边三角形. 续表 正方形旋转模型 如图，在正方形 ABCD 中，P 为正方形 ABCD 内一点，将△ABP 绕点 B 按顺时 针 方 向 旋 转 90° ，使得 BA 与 BC 重合，得到的△PBP′为等腰直角三角形. 对应练习 练习一 ［2023·唐山古冶区二模］如图，在 Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点 B 的对应点是点 B′，点 C 的对应点是点 C′），连接 CC′．若∠CC′B′=32°，则∠BCA 的度数为 （ ） A． 13° B． 28° C． 32° D． 45° A 练习二 ［2023·保 定 竞 秀 区 二 模］在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，cosA= 45 ，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转得到△A′BC′，其中点 A，C的对应点分别为点 A′，C′． （1）如图 1，当点 A′落在 AC 的延长线上时，求 AA′的长； （2）如图 2，当点 C′落在 AB 的延长线上时，连接 CC′，交 A′B 于点 M，求 BM 的长； （3）如图 3，连接 AA′，直线 CC′交 AA′于点D，点 E 为 AC 的中点，连接 DE．在旋转过程中，DE 是否存在最大值？ 若存在，直接写出DE 的最大值；若不存在，请说明理由． 解 ：（1）∵∠ACB=90° ，AB=10， , ∴AC=8，∴BC=6， ∵∠ACB=90°，△ABC 绕点 B 顺时针旋转得到△A′BC′，点 A′落在 AC 的延长线上，∴A′B=AB=10，∠BCA′=90°，∴A′C=8，∴AA′=AC+A′C=16； （2）如图 1，过 C 作 CF⊥AB 于点 F，过M 作 MN⊥C′B 于点 N，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，∴BC=6，∵△ABC 绕点 B顺时针旋转得到△A′BC′，∴∠A′BC′=∠ABC，BC′=BC=6，∵CF⊥AB， ∴Rt△ABC 中，S △ABC= AC·BC= ·AB·CF，∴CF = =4.8， Rt △CBF中，FB = =3.6，∴C′F=FB+BC′=9.6，由旋转性质可得，∠A′C′B=90°，∠A′=∠A，∵MN⊥AC′，∠A′C′B=90°，∴A′C′∥MN，∴∠BMN=∠A′=∠A，∴cos∠BMN=cosA= ， ∴C′N=6- BM，∵MN∥CF， ∴△C′MN∽△C′CF， （3）DE 存在最大值 8.理由：如图 2，过点 A 作 AP∥A′C′交 C′C 于点 P，连接 A′C，∵△ABC 绕点 B 顺时针旋转得到△A′BC′，∴BC=BC′， ∠ACB=∠A′C′B=90°，AC=A′C′，∴∠BCC′=∠BC′C，∴ ∠APC =180° - ∠APD， ∠ACP =90° -∠BCC′=90°-∠BC′C=180°-∠A′C′D， ∵AP∥A′C′，∴∠APD=∠A′C′D，∴∠APC=∠ACP，∴AP=AC，∴AP=A′C′，在△APD 和△A′C′D 中， ∠APD=∠A′C′D， ∠PDA=∠C′DA′， AP=A′C′ ， ∴△APD≌△A′C′D（AAS），∴AD=A′D，即 D 是 AA′中点，∵E 为 AC 的中点，∴DE 是△AA′C 的中位线，∴DE= A′C． 当 A′C 的值最大时，DE 的值最大， ∵A′C≤BC+BA′=16，∴ 当 C，B，A′三点共线时，DE 存在最大值．∴DE = ×16=8，即 DE 的最大值为 8． 1.［2019·河北 9 题］如图，在小正三角形组成的网格中，已有 6 个小正三角形涂灰，还需涂灰 n个小正三角形，使它们与原来涂灰的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则 n 的最小值为 （ ） A． 10 B． 6 C． 3 D． 2 ■考查点一 图形的对称与折叠 （6 年 2 考） C 2.［2018·河北 3 题］如图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线 （ ） A． l1 B． l2 C． l3 D． l4 C 3. ［2023·河北 26 题］如图 1 和图 2，平面上，四边形 ABCD 中，AB＝8，BC= ，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，点 M 在 AD 边上，且 DM＝2．将线段MA 绕点 M 顺时针旋转 n°（0＜n≤180）到MA′，∠A′MA 的平分线 MP 所在直线交折线 AB-BC 于点 P，设点 P 在该折线上运动的路径长为 x（x＞0），连接 A′P． （1）若点 P 在 AB 上，求证：A′P＝AP； （2）如图 2，连接 BD． ①求∠CBD 的度数，并直接写出当 n＝180 时，x 的值； ②若点 P 到 BD 的距离为 2，求 tan∠A′MP的值； ■考查点二 与旋转有关的证明与计算（6 年 6 考） . . （3）当 0＜x≤8 时，请直接写出点 A′到直线AB 的距离（用含 x 的式子表示）． . . 解 ：（1）证明：将线段 MA 绕点 M 顺时 针旋转 n°（0＜n≤180）到 MA ′，∴A ′M = AM，∵∠A′MA 的平分线 MP所在直线交折线 AB-BC 于点 P，∴∠A′MP=∠AMP，又 ∵PM=PM，∴△A′MP≌△AMP（SAS），∴A′P=AP； （2）①∵AB=8，DA=6，∠A=90°，∴BD= =10， ∵BC= ，CD=12，∴BC2+BD2=（ ）2+102=144， ∴CD2=122=144，∴BC2+BD2=CD2，∴∠CBD=90°，如图 1，当 n=180 时， ∵PM 平分∠A′MA，∴∠PMA=90°，∴PM∥AB，∴△DNM∽△DBA， ∵DM=2，DA=6， ∴BN=BD-DN= ∵∠PBN=∠NMD=90°，∠PNB=∠DNM，∴△PBN∽△DMN， 解得 PB=5，∴x=AB+PB=8+5=13； ②如图 2，当点 P 在 AB 上时，PQ=2，∠A′MP=∠AMP，∵AB=8，DA=6， ∠A=90°，∴BD= =10，sin∠DBA= 如图 3，当点 P 在 BC 上时，则 BP=2，过点 P 作 PQ⊥AB 交 AB 的延长 线于点 Q，延长 MP 交 AB 的延长线于点 H，∵∠PQB=∠CBD=∠DAB=90°， ∴∠QPB=90°-∠PBQ=∠DBA，∴△PQB∽△BAD， 解得 HQ= ∴tan ∠A′ MP =tan ∠AMP =tan ∠QPH = 综上所述，tan∠A′MP 的值为 （3）点 A′到直线 AB 的距离为 4.［2022·河北 26 题］如图 1，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=30°，AD=3，AB= ，DH⊥BC 于点 H．将△PQM 与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点 P 与 A 重合，点 B 在 PM 上，其中∠Q=90°，∠QPM=30°，PM= ． （1）求证：△PQM≌△CHD； （2）△PQM 从图 1 的位置出发，先沿着 BC方向向右平移（图 2），当点 P 到达点 D 后立刻绕点 D 逆时针旋转（图 3），当边 PM 旋转50°时停止． ①边 PQ 从平移开始，到绕点 D 旋转结束，求边 PQ 扫过的面积； ②如图 2，点 K 在 BH 上，且 BK=9- ．若△PQM 右移的速度为每秒 1 个单位长度，绕点 D 旋转的速度为每秒 5 °，求点 K 在△PQM 区域（含边界）内的时长； ③如图 3，在△PQM 旋转过程中，设 PQ，PM分别交 BC 于点 E，F，若 BE=d，直接写出 CF的长．（用含 d 的式子表示） . . 解 ：（1）证明：由题意可知，四边形 ABHD是矩形 ，∴AB =DH =2 , ∠DHC=90°，在 Rt△AQM 中，∠Q=90°，∠QAM =30° ，AM =4 , ∴QM = ∴QM=HD，∵∠Q=∠DHC=90°，∠QAM=∠C=30°，在△PQM 和△CHD 中， ∠QPM=∠C， ∠PQM=∠CHD， QM=HD′ ， ∴△PQM≌△CHD（AAS）； （2）①如图 1，PQ 扫过的面积=平行四边形 AQQ′D 的面积+扇形 DQ′Q″的面积．设 QQ′交 AM 于点 T．∵DQ′=AQ= QM=6，QT⊥AM， ∴AT=AQ·cos30°=3 ,∴PQ 扫过的面积=3×3 ②如图 2，连接 DK．当 DM 运动到与DH重合时 ， ∵BH =AD=3，BK=9 -4 ， ∴KH=3-（9-4 ）=4 -6，∴CK= 4 -6+6=4 ，∵CD=2DH=4 ，∴CD=CK， ∴∠CKD= ×（180°-30°）=75°， ∴∠KDH=75°-60°=15°，∵∠QDK=30°-15°=15°，∴ 点 K 在△PQM 区域（含边界）内的时长为 5.［2021·河北 26 题］在一平面内，线段 AB=20，线段 BC=CD=DA=10，将这四条线段顺次首尾相接.把 AB 固定，让 AD 绕点 A 从 AB 开始逆时针旋转角 α（α＞0°）到某一位置时，BC，CD 将会跟随出现到相应的位置.论证 如图 1，当 AD∥BC 时，设 AB 与 CD交于点 O，求证：AO=10；发现 当旋转角 α=60°时，∠ADC 的度数可能是多少？尝试 取线段 CD 的中点 M，当点 M 与点 B距离最大时，求点 M 到 AB 的距离； 拓展 ①如图 2，设点 D 与 B 的距离为 d，若∠BCD 的平分线所在直线交 AB 于点 P，直接写出 BP 的长（用含 d 的式子表示）； ②当点 C 在 AB 下方，且 AD 与 CD 垂直时，直接写出 α 的余弦值 . . . . 解 ：论证 证明：∵AD∥BC，∴∠A=∠B，∠C=∠D，在△AOD 和△BOC 中， ∠A＝∠B， AD＝BC， ∠D＝∠C ∴△AOD≌△BOC（ASA）， ∴AO=BO，∵AO+BO=AB=20，∴AO=10； 发现 设 AB 的中点为 O，如图 1，当 AD从初始位置 AO 绕 A 逆时针旋转 60°时，BC 也从初始位置 BC′绕点 B 顺时针旋转 60°，而 BO=BC′=10，∴△BC′O是等边三角形 ，∴BC 旋转到 BO 的位置，即 C 与 O 重合，∵AO=AD=CD=10， ∴△ADC 是等边三角形，∴∠ADC=60°. 如图 2，当 A，B，C 三点不共线时，连接OD， 有 AD=AO=OD=BO=BC=CD=10，即四边形 BCDO 为菱形，从而 CD∥AB， ∴∠ADC=180°-60°=120°.∴∠ADC 的度数可能是 60° 或 120°； 尝试 取线段 CD 的中点 M，当点 M 与点 B 距离最大时， D，C，B 共线，如图3，过点 D 作 DQ⊥AB 于点 Q，过点 M 作 MN⊥AB 于点 N.由已知可得 AD=10，BD =BC +CD=20， BM=CM+BC=15，设 AQ=x，则 BQ=20-x，∵AD2-AQ2=DQ2=BD2-BQ2，∴100-x2 =400-（20-x）2，解得 x= ∵DQ⊥AB，MN⊥AB，∴MN∥DQ，∴△BMN∽△BDQ， 拓展 ①BP 的长为 6. ［2019·河北 16 题］对于题目“如图 1，平面上，正方形内有一长为 12、宽为 6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长 x，再取最小整数 n． 甲：如图 2，思路是当 x 为矩形对角线长时就可以移转过去；结果取 n＝13． 乙：如图 3，思路是当 x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 n＝14． 丙：如图 4，思路是当 x 为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去；结果取 n＝13．下列正确的是 （ ） A． 甲的思路错，他的 n 值对 B． 乙的思路和他的 n 值都对 C． 甲和丙的 n 值都对 D． 甲、乙的思路都错，而丙 的思路对 B $$