2024年河北省中考数学一轮复习课件：一次函数的实际应用

一次函数的实际应用 ■考点 一次函数的实际应用（6 年 2 考，考查行程问题、销售问题或与不等式结合的实际问题） 解一次函数实际应用题 的一般步骤 ①设实际问题中的自变量与因变量； ②通过待定系数法求一次函数解析式； ③确定 _________ 的取值范围； ④应用一次函数的性质解决问题； ⑤检验所求解是否符合题意； ⑥作答. 自变量 续表 求最值（最 佳方案）问 题的解法 ①将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，通过一次函数的增减性确定最优方案及最值； ③若是分段函数，则需要分类讨论，先计算出每个分段函数的最值，再进行比较. 名师点拨 例 1 ［2023·保定 17 中三模］某电子屏上下边缘距离为 12 cm，点 A 为左边缘点上一点，一光点P 从左边缘 A 点出发在电子屏上沿图中虚线 L（直线方向）运动，到达下边缘停止，运动时间为 t（s），如图是光点 P 运动过程中的某位置，P 与电子屏左边缘的水平方向的距离为 S cm，S 与 t 成正比例，P 与电子屏上边缘竖直距离为 d cm，d 由两部分组成，一部分与 t 成正比例，一部分保持不变，且S，d 与 t 满足表格中的数据． ■题型 一次函数的实际应用（高频考点） （1）用含 t 的代数式表示 S 与 d，并直接写出 P 点在水平方向的运动速度 v1，及在竖直方向的运动速度 v2； （2）P 与电子屏下边缘竖直距离为 h cm，求出 h 与 S 之间的关系式并通过计算说明 h不少于 3 cm 的时长是多少？ 解：（1）∵S 与 t 成正比例，∴ 设 S=k1t（k1≠0）， 把 t=1，S=4 代入，得 k1=4，∴S=4t， ∵d 由两部分组成，一部分与 t 成正比例，一部分保持不变，∴ 设 d=k2t+b（k2≠0），把 t=1，d=6 与 t=2，d=9 代入， 得 解得 ∴d =3t +3， ∵d≤12，∴3t+3≤12，∴0≤t≤3，点 P 在水平方向运动的速度为 v1=（8-4）÷（2-1）=4（cm/s），点 P 在竖直方向的运动速度为 v2=（9-6）÷（2-1）=3（cm/s）； 解：（2）根据题意，得 h=12-d=12-（3t+3）=-3t+9，∵S=4t，∴t= ，h=-3t+9=-3× +9=- S+9，∵0≤t≤3，∴0≤S≤12， ∴h=- S+9（0≤S≤12）， 当 h≥3 时，-3t+9≥3，∴t≤2． 答：h 不少于 3 cm 的时长不超过 2 s． 题型解法 一次函数常见题型 解 法 文字型应用题 从题干中提取两组有关量（自变量和因变量）作为一次函数图象上两点，应用待定系数法求函数解析式. 表格型应用题 分析表格中数据，从表格中提取两组量求函数解析式. 图象型应用题 从函数图象上找出两点，将其坐标代入求解析式；若函数图象为分段函数，要取同段函数图象上的两点，最后加上对应的自变量取值范围. 对应练习 练习一 ［2023·宜昌］某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过 100 ℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔 10 s 测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： （1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温 y（单位：℃）与加热的时间 t（单位：s）符合 _______（选填“正比例”、“一次”、“二次”或“反比例”）函数关系； （2）根据以上判断，求 y 关于 t 的函数解析式； （3）当加热 110 s 时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 一次 解：（2）设锅中油温 y 与加热的时间 t 的函数关系式为 y=kt+b（k≠0）， 将点（0，10），（10，30）的坐标代入， 得 b＝10， 10k+b＝30， 解得 k＝2， b＝10， ∴y=2t+10； （3）当 t=110 时，y=2×110+10=230，∴经过推算，该油的沸点温度是 230 ℃． 练习二 ［2023·邯郸二模］某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为测量各自的运动性能，进行 5 min 定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“全速模式”下运动，乙开始时在“基本模式”下运动，中途停止运动进行 1 min 的调试，之后切换到它的“全速模式”下运动．已知甲、乙运动的路程 y1，y2（m）与运动时间 x（min）之间的函数关系如图 1所示；甲、乙运动的路程差 d（m）（d=y1-y2）与运动时间 x（min）之间的函数关系如图 2 所示．请结合图象回答下列问题： （1）甲机器人在 5 min 定时跑测试中运动的速度是 ______ m/min； 30 （2）求图 1 中 a 的值； （3）求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下运动的速度分别是多少？ 解：（2）∵ 甲机器人在 5 min 定时跑测试中运动的速度是 30 m/min， ∴ 运动 5 min 甲机器人的路程为 30×5=150（m）．设直线 OA 的解析式为 y=k1x，∴150=5k1，解得 k1=30， ∴ 直线 OA 的解析式为 y=30x. ∵ 运动 2 min 甲机器人的路程为 30×2=60（m），且此时甲、乙运动的路程差d 为 40 m，∴ 运动 2 min 乙机器人的路程为 60-40=20（m）．∵5 min 时甲 、乙运动的路程差 d 为-50 m， ∴ 运动 5 min 乙机器人的路程为 150-（-50）=200（m）． 设直线 CB 的解析式为 y=k2x+b， ∴ 200＝5k2+b， 20＝2k2+b ， 解得 k2＝60， b＝-100， ∴ 直线 CB 的解析式为 y=60x-100． 由题意可知，点 C 表示两机器人相遇， ∴ 联立 y＝30x， y＝60x-100， 解得 x＝ ， y＝100 9 ， ∴a 的值为 ； 10 3 10 3 （3）由（2）可知，乙机器人在“全速模式”下运动的速度是 ＝60（m/min）． ∵ 运动 2 min 乙机器人的路程为 20 m，且 1 min～2 min 之间，乙处于静止， ∴0 min～1 min 之间乙机器人的路程为20 m，∴ 乙机器人在“基本模式”下运动的速度是 20÷1=20（m/min）． 200-20 5-2 ■考查点一 一次函数的实际应用（6 年 2 考） 1. ［2021·河北 23 题］如图所示的是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1 号指挥机（看成点 P）始终以 3 km/min 的速度在离地面5 km 高的上空匀速向右飞行，2 号试飞机（看成点 Q）一直保持在1 号机 P 的正下方，2 号机从原点 O 处沿 45°仰角爬升，到 4 km高的 A 处便立刻转为水平飞行，再过 1 min 到达 B 处开始沿直线 BC 降落，要求 1 min 后到达 C（10，3）处. （1）求 OA 的 h 关于 s 的函数解析式，并直接写出 2 号机的爬升速度； • • • • • • • （2）求 BC 的 h 关于 s 的函数解析式，并预计 2 号机着陆点的坐标； （3）通过计算说明两机距离 PQ 不超过 3 km的时长是多少. ［注：（1）及（2）中不必写 ｓ的取值范围］ 解：（1）∵2 号机爬升角度为 45°， ∴OA 上的点的横纵坐标相同，∴A（4，4）.设 OA 的解析式为 h=ks， ∴4k=4，∴k=1.∴OA 的解析式为 h=s. ∵2 号试飞机一直保持在 1 号机的正下方，∴ 它们飞行的时间和飞行的水平距离相同.∵2 号机爬升到A 处时， 又 ∵1 号机的飞行速度为 3 km/min， 飞行到点 A 正上方时，用时 min， ∴2 号机的爬升速度为 解：（2）设 BC 的解析式为 h=ms+n，由题意，得 B（7，4），C（10，3）. ∴BC 的解析式为 h= .令 h=0，则 s=19. ∴ 预计 2 号机着陆点的坐标为（19，0）； （3）∵PQ 不超过 3 km，∴5-h≤3， ∴5-s≤3，且 5- ≤3，解得 2≤s≤13. ∴ 两机距离 PQ 不超过 3 km 的时长为（13-2）÷3= （min）. 2.［2019·河北 24 题］长为 300 m 的春游队伍，以 v（m/s）的速度向东行进．如图 1 和图 2，当队伍排尾行进到位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为 2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s），排头与 O 的距离为 S 头（m）． （1）当 v＝2 时，解答： ①求 S 头与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围）； ②当甲赶到排头位置时，求 S 头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 O 的距离为S 甲（m），求 S 甲与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围）； 解：（1）①排尾从位置 O 开始行进的时间为 t s，则排头离开原排头的时间也为 t s，∴S 头=2t+300； ②甲从排尾赶到排头的时间为 300÷（2v-v）=300÷v=300÷2=150（s），此时 S 头=2t+300=600，甲返回时间为（t-150） s， ∴S 甲 =S 头 -S 甲 回 =600-4（t-150）=-4t+1 200，在甲从排头返回到排尾过程中，S 甲与 t 的函数关系式为 S 甲=-4t+1 200； （2）设甲这次往返队伍的总时间为 T（s），求 T 与 v 的函数关系式（不写 v 的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程． 解：（2）T=t 追及+t 返回= 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为 ·v=400（m）. 类题集训 2.1 如图 1，将南北向的中山路与东西向的和平路看成两条直线，十字路口记作点 A．甲从中山路上的点 B 处出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点 A 出发，沿和平路步行向东匀速直行，设出发 x min 时，甲、乙两人与点 A 的距离分别为 y1 m，y2 m.已知y1，y2 与 x 之间的函数关系如图 2 所示． （1）在甲到达点 A 之前，分别求 y1，y2 关于 x的函数解析式； （2）当甲、乙出发 4 min 时，求他们之间的直线距离； （3）直接写出两人与点 A 的距离相等时，甲、乙两人出发的时间． 解：（1）甲到达点 A 之前，设 y1=k1x+b1，由图象可知 y1 经过点（0，1 200），（3.75，300）， 则 解得 ∴y1 的解析式为 y1=-240x+1 200；由于 y2 过点（0，0）和（3.75，300），设 y2关于 x 的函数解析式为 y2=k2x，则 3.75k2=300， 解得 k2=80， ∴y2 关于 x 的函数解析式为 y2=80x； （2）由（1）知 ，当 x=4 时 ，y1=-240×4 +1 200=240，y2=80×4=320， ∴ 甲、乙之间的距离为 =400（m）； （3）设甲、乙两人出发 h min 时，与点A 的距离相等， ①甲到达点 A 之前，两人与点 A 的距离相等， 得 1 200-240h=80h，解得 h= ； ②甲到达点 A 之后，两人与点 A 的距离相等， 得 240h-1 200=80 h，解得 h= ， ∴ 两人与点 A 的距离相等时，甲、乙两人出发的时间为 min 或 min． $$