2024年河北省中考数学一轮复习课件：反比例函数

反比例函数 ■考点一 反比例函数的概念、图象和性质（6 年 5 考，考查反比例函数的增减性、对称性等性质） 概 念 一般地，如果两个变量 x，y 之间的关系可以表示成 y= 或 xy=k（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x的反比例函数，k 称为 __________. 表达式 y= （k 为常数，k≠0）. y=kx-1（k 为常数，k≠0）. xy=k（k 为常数，k≠0）. 比例系数 续表 k 的符号 k>0 k<0 图象的大致 位置 经过象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每一象限内 y随 x 的增大而______. 在每一象限内 y随 x 的增大而______. 减小 增大 续表 轴对称性 关于直线 y=-x 与直线 y=x 对称. 轴对称性 关于 ______ 成中心对称. 图象特征 是双曲线，每个分支都无限接近但永远不能到达 x 轴、y 轴； ｜k｜越大，双曲线离原点越远. 原点 名师点拨 ■考点二 与反比例函数有关的面积问题 比例系数 k 的几何 意义 如图，过双曲线上任意一点 P（x，y），作 PM⊥x 轴，PN⊥y 轴，连接 PO，则： 续表 几种常见 的面积形式 图 象 面 积 S△AOP=____. S矩形OAPB =____ S△PAP′=2｜k｜. ｜k｜ 2 ｜k｜ 名师点拨 在平面直角坐标系中求三角形的面积时，通常以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标（或纵坐标）的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，可过三角形的一个顶点作坐标轴的平行线，将三角形分成两个小三角形计算. ■考点三 确定反比例函数表达式 利用待定 系数法 ①设反比例函数表达式为 y= ②找出满足反比例函数的一个点 P（a，b）； ③把点 P（a，b）代入表达式得 k=ab； ④确定反比例函数表达式 y= 利用 k 的几何意义 若已知过双曲线上某点向坐标轴作垂线所围成的矩形面积，求该点所在反比例函数解析式，确定 k 值时，要根据双曲线所在象限确定 k 的符号. ■考点四 反比例函数与一次函数图象交点问题 反比例 函数y= 与一次函数y=k2x+b 图象的交点 求法 把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则有交点；若方程组无解，则无交点. 交点 个数 的判断 k 值同号，两个函数必有两个交点. k 值异号，两个函数可能有 0，1 或2 个交点. 续表 反比例函数与一次函数图象所围成 三角形的情况 图象 面积 S△ABC=2S△ACO =｜k｜（k 值同号） S△AOB=S△OCB +S△OCA （k 值同号） S△AOB=S△BOC -S△OCA （k 值异号） ■考点五 反比例函数的实际应用（6 年 2 考，与一次函数或二次函数综合考查） 常见的反 比例函数 关系 （1）行程问题：速度= ； （2）工程问题：工作效率= （3）压强问题：压强= （4）电学问题：电阻= （5）矩形面积=长×宽； （6）容积=排水速度×排水时间. 续表 步 骤 分析实际问题中变量关系，根据实际情况建立反比例函数模型； 通过题意或图象，利用待定系数法或跨学科的公式等确定函数解析式； 根据反比例函数的性质解决实际问题. 名师点拨 在实际问题中，求出的解析式要注意自变量和函数值的取值范围. ■考点六 反比例函数的综合应用（6 年 3 考，考查交点问题） 反比例函数 与一次函数 的综合应用 （1）根据点的坐标确定函数解析式； （2）根据图象比较两函数值的大小； （3）求三角形或四边形的面积；或由几何图形面积确定点的坐标或求函数解析式； （5）根据函数解析式及其图象解决其他问题； （6）根据两图象的交点问题求未知字母的取值范围. 续表 反比例函数 与二次函数 的综合应用 反比例函数与二次函数的结合，常常考查两图象各点的交点问题或某区域内的整点问题. 例 1 ［2023·秦皇岛三模］如图，点 M，N，P，Q，T 均为坐标系中 2×2 的正方形网格的顶点（网格的横线都与 x 轴平行，纵线都与 y 轴平行，每个小正方形的边长为 1），点 N 的坐标为（2，2），在双曲线 y= （x＞0）中的常数k 的值从 1 逐渐增大到 9 的过程中，关于双曲线 l 依次经过的格点的顺序，下列说法正确的是 （ ） A． 点 M→点 P→同时经过点 N，Q→点 T B． 点 M→点 N→同时经过点 P，Q→点 T C． 点 M→同时经过点 P，Q→点 N→点 T D． 点 P→点 M→同时经过点 N，Q→点 T ■题型一 反比例函数的图象与性质（高频考点） C 题型解法 比较反比例函数图象上两点纵坐标大小的方法 代值计算法 将点的横坐标分别代入解析式，计算出纵坐标再比较大小. 数形结合法 先根据 k 的正负画出反比例函数图象的草图，再根据点的位置判断. 利用函数的 增减性判断 在同一分支上的点，可以通过比较其横坐标的大小来判断函数值的大小； 在不同分支上的点，可依据函数值的正负性来比较大小. 对应练习 练习一 ［2023·沧州模拟］反比例函数 y＝ （k 为常数，k≠0）的图象经过点（1，-2），则下列说法错误的是 （ ） A． k=-2 B． 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 C． 函数图象分布在第二、四象限 D． 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小 D 练习二 ［2023·通辽］已知点 A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数 y＝ 的图象上，且 x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是 （ ） A． y1+y2＜0 B． y1+y2＞0 C． y1-y2＜0 D． y1-y2＞0 D 练习三 ［2023·长春］如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 在函数 y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，分别以点 A，B 为圆心，1 为半径作圆，当⊙A 与 y 轴相切、⊙B 与 x 轴相切时，连接AB，AB＝3 ，则 k 的值为 （ ） A． 3 B． 3 C． 4 D． 6 C 例 2 ［2023·衡水模拟］如图，直线 y=- x+b 与 x轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 A 的坐标为（6，0）．在 x 轴的负半轴上有一点 C（-4，0），直线 AB 上有一点 D，且 CD=OD． （1）求 b 的值； （2）若反比例函数 y= 的图象过点 D． ①求反比例函数 y= 的解析式； ②若直线 y=a 与反比例函数 y= （x＜0）的图象交于点 M，与直线 y=- x+b 交于点N，且 MN=6，求 a 的值； ■题型二 反比例函数的综合应用（常考考点） （3）在线段 AB 上有一动点 P，点 P 的横坐标为 p，作点 P 关于 y 轴的对称点 Q．当点 Q落在△CDO 的内部（不包括边界）时，直接写出 p 的取值范围． 解：（1）将点 A（6，0）的坐标代入y=- x+b，解得 b=3； （2）①由（1）得，b=3，∴y=- x+3， ∵CD=OD，点 C 坐标为（-4，0）， ∴ 点 D 横坐标为-2，当 x=-2 时，y=4， ∴ 点 D 坐标为（-2，4），∵ 反比例函数y= 的图象过点 D，∴k=-2×4=-8， ∴ 反比例函数的解析式为 y=- ； ②∵ 直线 y=a 与反比例函数 y=- （x＜0）的图象交于点 M，与直线 y=- x+3交于点 N，∴ 点 M 的坐标为 ，点 N 的坐标为（6-2a，a），∵MN=6， ∴ ∴a=2 或 a=3+ （负值已舍去）； （3）∵ 点 P 所在直线解析式为 y=- x+3（0≤x≤6），点 P 关于 y 轴的对称点Q，且点 Q 落在△CDO 内（不包括边界），∴ 点 Q 所在直线解析式为 y= x+3（-6＜x＜0）．设 CD 所在直线解析式为y =k1x +b1，将点 C（-4，0），D（-2，4）的坐标代入解析式得 k1=2，b1=8， 即 y=2x+8．设 OD 所在直线解析式为y=mx，将点 D（-2，4）的坐标代入解析式得 m=-2，即 y=-2x. ∵ 点 Q 横坐标为-p，∴ 题型解法 反比例函数与一次、二次函数的相交问题主要利用解析式建立方程（组）求解；图象或解析式大小比较问题，则利用数形结合观察图象解决；反比例函数与几何图形、动态变换的综合问题，往往需要将图形性质与反比例函数相互联系进而解答. 对应练习 练习一 ［2023·沧州模拟］如图，面积为 6 的Rt△OAB 的斜边 OB 在 x 轴上，∠ABO=30°，反比例函数 y= 的图象恰好经过点 A，则 k的值为 （ ） D 练习二 ［2023·河南］小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 y＝ 图象上的点 A（ ，1）和点 B 为顶点，分别作菱形 AOCD 和菱形 OBEF，点 D，E 在 x 轴上，以点 O 为圆心，OA 长为半径作 AC ，连接 BF． （1）求 k 的值； （2）求扇形 AOC 的半径及圆心角的度数； （3）请直接写出图中阴影部分面积之和． 解：（1）将点 A（ ，1）的坐标代入 y= ，得 1= ，解得 k=姨3 ； （2）如图，过点 A 作 OD 的垂线，交 x轴于点 G，∵A（ ，1）， ∴AG=1，OG= ，OA= ，∴ 半径为 2. ∵AG= OA，∴∠AOG=30°， 由菱形的性质可知，∠AOG=∠COG=30°，∴∠AOC=60°， ∴ 圆心角的度数为 60°； 练习三 ［2022·承德二模］如图，直线 y= x 与反比例函数 y= （k≠0，x＞0）的图象交于点B（m，1），A 是反比例函数图象上一点．直线 OA 与 y 轴的正半轴的夹角为 α，tanα= ．设直线 AB 与 x 轴交于点 D，直线 l 经过点D，与 y 轴交于点 H，设点 H 的纵坐标为 t． （1）求 k 的值及点 A 的坐标； （2）t 为何值时，直线 l 过△AOD 的重心？ （3）设点 P 是 x 轴上一动点，若△PAB 的面积为 2， 直接写出点 P 的坐标． （注：重心是三角形三边中线的交点） 解：（1）将 B（m，1）坐标代入 y= x，得 m=2，∴B（2，1），将 B（2，1）坐标代入 y= 得，k=2，如图 1，作 AG⊥y 轴于点 G， ∵tanα= ，设 AG=x，则 OG=2x， ∴2x2=2，∵x＞0，∴x=1，∴A（1，2）； 解：（2）∵ 点 A（1，2），∴OA 的中点坐标为（0.5，1），∵ 直线 l 过△AOD 的重心，∴ 直线 l 过 OA 的中点，设直线 AB 的解析式为 y=ax+b， ∴y=-x+3，∴D（3，0），同理可得直线 l 的解析式为 y= （3）如图 2，∵△PAB 的面积为 2， ∴S△PAD-S△PBD=2，∴ ×PD×2- ×PD×1=2， ∴PD=4，∵D（3，0）， ∴P（-1，0）或（7，0）. 例 3 ［2023·邢台模拟］如图 1，将一长方体 A 放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强 P（Pa）与受力面积S（m2）的关系如下表所示（与长方体 A 相同质量的长方体均满足此关系）． ■题型三 反比例函数的实际应用（常考考点） （1）根据数据，求桌面所受压强 P（Pa）与受力面积 S（m2）之间的函数表达式及 a 的值； （2）现想将另一长、宽、高分别为 0.2 m，0.1 m，0.3 m，且与长方体 A 相同质量的长方体按如图 2 所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为5 000 Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？ 并说明理由. 解：（1）由表格可知，压强 P 与受力面积 S 的乘积不变，故压强 P 是受力面积 S 的反比例函数，设 P = ，将（400，0.5）的坐标代入，得 0.5= ，解得 k=200，∴P= ， 当 P=800 时，800= ，∴a=0.25； （2）这种摆放方式不安全，理由如下：由题图 2 可知，S=0.1×0.2=0.02（m2）， ∴ 将长方体放置于该水平玻璃桌面上，P= =10 000（Pa）， ∵10 000＞5 000， ∴ 这种摆放方式不安全． 题型解法 对应练习 练习一 ［2023·温州］在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强 P（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，P 关于 V的函数图象如图所示．若压强由 75 kPa 加压到 100 kPa，则气体体积压缩了 ______ mL． 20 练习二 ［2022·廊坊安次区一模］某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量 y（件）由基础销售量 y1与浮动销售量 y2 两个部分组成，其中 y1 保持不变，y2 与每件商品的售价 x（元）成反比例，且市场管理局要求每件商品的售价不能超过 18 元.销售过程中发 现 ， 当 每 件商品的售价定为 10 元时，售出 34 件；当每件商品的售价定为 12 元时，售出 30 件． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当该商品销售数量为 40 件时，求每件商品的售价； （3）设该超市销售这种商品的总额为 W，求当每件商品的售价为多少元时超市的销售总额最大？ 最大值是多少？ 解：（1）由已知设 y2= （k≠0）， 则 y=y1+y2=y1+ ，将（10，34），（12，30）坐标代入，得 解得 ∴y=10+ ．即 y 与 x 之间的函数关系式为 y=10+ （0＜x≤18）； 解：（2）由题意得 10+ =40，解得 x=8， 经检验，x=8 是原方程的根，且符合题意. ∴ 该商品销售数量为 40 件时，每件商品的售价为 8 元； （3）根据题意可得，销售总额为 W=（10+ ） =10x+240， ∵10＞0，W 随 x 的增大而增大，而 0＜x≤18，∴ 当 x=18 时，W 有最大值，最大值为 10×18+240=420（元）．即当每件商品的售价为 18 元时超市的销售总额最大，最大值是 420 元． ■考查点一 反比例函数的图象和性质（6 年 1 考） 1.［2023·河北 17 题］如图，已知点 A（3，3），B（3，1），反比例函数 y= （k≠0）图象的一支与线段 AB 有交点，写出一个符合条件的 k的整数值：_________________________________________． 5（答案不唯一，取 3≤k≤9 的整数值即可） 类题集训 1.1 如图，已知点 A（-3，1），B（-2，2），反比例函数 y= （x＜0）的图象记为 L． （1）若 L 经过点 A． ①求 L 的解析式； ②L 是否经过点 B？ 若经过，说明理由；若不经过， 请判断点 B 在 L 的上方，还是下方； （2）若 L 与线段 AB 有公共点，则直接写出 k的取值范围. -4≤k≤-3 解：（1）①∵L 过点 A（-3，1）， ∴k=-3×1=-3， ∴L 的解析式为 y= （x＜0）； ②L 不经过点 B，点 B 在图象 L 上方，理由如下：由（1）知，L 的解析式为 y= ， 当 x=-2 时，y= ＜2，∴ 点 B 在图象 L 的上方； ■考查点二 反比例函数的实际应用（6 年 2 考） 2.［2022·河北 12 题］某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需 12 天．若 m个人共同完成需 n 天，选取 6 组数对（m，n），在坐标系中进行描点，则正确的是 （ ） C ■考查点三 反比例函数的综合应用（6 年 3 考） 3.［2021·河北 19 题］用绘图软件绘制双曲线 m：y= 与动直线 l：y=a，且交于一点，图 1 为 a=8 时的视窗情形. （1）当 a=15 时，l 与 m 的交点坐标为 ______； （2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点 O 始终在视窗中心. （4，15） 例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1 中坐标系的单位长度变为原来的 ，其可视范围就由-15≤x≤15 及-10≤y≤10 变成了-30≤x≤30 及-20≤y≤20（如图 2）.当 a=-1.2 和 a=-1.5 时，l 与 m 的交点分别是点 A 和 B，为能看到 m 在 A 和 B 之间的一整段图象，需要将图 1 中坐标系的单位长度至少变为原来的 ，则整数 k = _______. 4 4.［2020·河北 19 题］如上右图所示的是 ８ 个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是 1 和 2，每个台阶凸出的角的顶点记作 Ｔｍ（ｍ 为 1～8 的整数）．函数 ｙ＝ （ｘ＜０）的图象为曲线 Ｌ． （1）若 Ｌ 过点 Ｔ1，则 ｋ＝＿＿＿＿＿＿； （2）若 Ｌ 过点 Ｔ4，则它必定还过另一点 Ｔｍ，则 ｍ＝＿＿＿＿＿＿； （3）若曲线 Ｌ 使得 Ｔ１～Ｔ８ 这些点分布在它的两侧，每侧各 ４ 个点，则 ｋ 的整数值有 ＿＿＿＿＿ 个． -16 5 7 $$