2024年河北省中考数学一轮复习课件：二次函数的应用

二次函数的应用 ■考点一 二次函数的实际应用（6 年 4 考，考查销售问题、实物抛物线型问题或几何问题） 利用二次函数解决实际问题的一般步骤及常见类型 解决 步骤 1. 分析题中数量关系，确定自变量与函数； 2. 建立模型，列二次函数关系式并求解； 3. 研究自变量的取值范围和所得函数； 4. 应用二次函数的图象与性质解题； 5. 检验结果是否合理，是否符合实际问题. 续表 常见 考查 类型 实物抛物线型 如桥梁、隧道、拱门、运动路径等. 销售类问题 一般借助利润公式等建立二次函数，常涉及最值解决问题. 几何面积类型 通常根据几何图形的面积关系确定函数解析式，解决问题. ■考点二 二次函数的综合应用（6 年 1 考，考查交点或整点问题） 与一次函 数结合 一次函数 y=kx+n（k≠0）的图象 l 与二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 G 的交点个数，由方程组 的解 的数目确定，方程组有两组不同的解，l 与 G 有两个交点；方程组只有一组解，l 与 G 只有一个交点；方程组无解，l 与 G 没有交点. 与反比例 函数结合 主要涉及二次函数与反比例函数的交点问题. 1. 二次函数与其他函数结合 找特殊点 从题干出发，寻找抛物线上的特殊点，如与 x 轴、y 轴、几何图形各边的交点及抛物线的对称轴和顶点坐标，二次函数中有几个待定系数，则至少找几个点； 求抛物线 解析式 根据二次函数与方程（不等式）的关系、几何图形的性质，求出上述的特殊点，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； 求解具体 问题 根据抛物线的解析式与相关几何图形的性质，如三角形面积、三角形全等、三角形相似、四边形判定等知识有针对性地求解具体问题. 2. 二次函数与几何图形综合问题解决办法 例 1 ［2023·衡水二模］如图，某同学燃放一种手持烟花，烟花弹的飞行路径是一段抛物线，喷射出时距地面 2 m，在与他水平距离是 20 m，达到最大高度 18 m 时爆炸．若是哑弹（在空中没有爆炸的烟花弹），会继续按原有的抛物线飞落，在他的正前方 33 m处有一栋高 15 m 的居民楼（截面矩形 ABCD 与抛物线在同一平面上）． （1）求抛物线的解析式（不必写出 x 的取值范围），请通过计算说明若是哑弹，会落在几层居民楼的外墙或窗户上（每层楼高按 3 m 计算）； （2）该同学沿 x 轴负半轴至少后退几米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上？（结果保留根号） ■题型一 二次函数的实际应用（高频考点） （3）若居民楼宽 AB=CD=12 m，该同学沿 x 轴向居民楼走 n m，可使哑弹落在楼顶 CD 上（不含点 C，D），直接写出 n 的取值范围．（结果保留根号） 解：（1）依题意，设 y=a（x-20）2 +18， 将点（0，2）坐标代入，得 202a +18=2，解得 a=-0.04， ∴ 抛物线解析式为 y=-0.04（x-20）2+18， ∵D（33，15），当 x =33 时，y =-0.04 ×（33-20）2+18=11.24， ∵9＜11.24＜12， 每层楼高按 3 m 计算， ∴ 若是哑弹，会落在 4 层 居民楼的外墙或窗户上； （2）设该同学沿 x 轴负半轴后退 m m（m＞0），则抛物线解析式为 y=-0.04（x-20+m）2+18，将（33，0）坐标代入得，0 =-0.04（33-20+m）2+18，解得 m=15 -13 或 m=-15 -13（舍去）． 该同学沿 x 轴负半轴至少后退（15 -13） m，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上； （3）∵AB=CD=12，D（33，15），∴C（45，15）， 该同学沿x 轴向居民楼走n m，则抛物线解析式为y=-0.04（x-20-n）2+18. 将点 D（33，15），C（45，15）的坐标分别代入，得 15=-0.04（33-20-n）2+18，解得 n=13-5 或 n=5 +13（舍去）， 15=-0.04（45-20-n）2+18，解得 n=25-5 或 n=5 +25（舍去）， ∴13-5 ＜n＜25-5 ． 题型解法 利用二次函数求最值问题：①列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；②配方或利用公式求顶点；③检查顶点是否在自变量的取值范围内或检查所求最值是否符合要求，若在，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若不在，则在自变量的取值范围内，根据增减性确定. 对应练习 练习一 ［2023·沧州模拟］某电商正在热销一种当地特色商品，其成本为 50 元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为 80 元/件时，改变销售策略，此时售价每增加 1 元需支付由此产生的额外费用 400 元．该商品销售量 y（件）与售价 x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中50≤x≤90，且 x 为整数）． （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）当售价为多少时，商家所获利润最大， 最大利润是多少？ 解：（1）设线段 AB 的表达式为 y=kx+b（50≤x≤80），将点（50，500），（80，200）的坐标代入上式得 解得 ∴ 函数的表达式为 y=-10x+1 000（50≤x≤80）， 设线段 BC 的表达式为 y=mx +n（80＜x≤90）， 将点（80，200），（90，250）的坐标代入上式得 解得 ∴ 函数的表达式为 y=5x-200（80＜x≤90），∴y 与 x 的函数关系式为 （2）设获得的利润为 w 元， ①当 50≤x≤80 时，w=（x-50）（-10x+1 000）=-10（x-75）2+6 250， ∵-10＜0， ∴ 当 x=75 时，w 有最大值，最大值为6 250 元； ②当 80＜x≤90 时， w=（x-50）（5x-200）-400（x-80）=5（x-85）2+5875， ∵5＞0，∴ 当 x=90 时，w 有最大值，最大值为 6 000 元， 综上，当售价为75元/件时，该商家获得的利润最大，最大利润为6250元． 练习二 ［2023·武汉］某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离 x（单位：m）、飞行高度 y（单位：m）随飞行时间 t（单位：s）变化的数据如下表． 探究发现 x 与 t，y 与 t 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出 x 关于 t 的函数解析式和 y 关于 t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； 问题解决 如图，活动小组在水平安全线上 A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （1）若发射平台相对于安全线的高度为 0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在安全线上设置回收区域 MN，AM=125 m，MN=5 m.若飞机落到 MN 内（不包括端点 M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 解：探究发现 x 与 t 是一次函数关系，y 与 t 是二次函数关系， 设 x=kt，y=at2+bt，由题意，得 ∴x=5t，y=- t2+12t； 问题解决 （1）依题意，得- t2+12t=0． 解得 t1=0（舍去），t2=24， 当 t=24 时，x=120． 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为 120 m； （2）设发射平台相对于安全线的高度为 n m，飞机相对于安全线的飞行高度 y′=- t2+12t+n， ∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130，∴25＜t＜26． 在 y′=- t2+12t+n 中， 当 t=25，y′=0 时，n=12.5； 当 t=26，y′=0 时，n=26，∴12.5＜n＜26． 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于 12.5 m 且小于 26 m. 例 2 ［2023·石家庄裕华区二模］如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，7），点 B（0，4），嘉琪用手机设计了动画，光点 P 从点 A 出发，以每秒 2个单位长度的速度向右匀速运动；光点 Q 同时从点 B 出发，在点 P 的正下方沿抛物线L1：y=x2+bx+c运动，设运动时间为t当 t= 时，P，Q 第一次相遇． （1）①P，Q 第一次相遇时，点 P 的坐标为 _________； ②求抛物线 L1 的解析式，并写出顶点坐标； ■题型二 二次函数的综合应用（高频考点） （2）当 P，Q 相遇后，点 P 的运动保持不变，点 Q 沿与 L1 形状相同的抛物线 L2（如图）运动，点 Q 仍在点 P 的正下方，再次相遇时同时停止运动．当 t=3 时，光点 Q 运动到抛物线 L2 的最低点，求点 P，Q 在运动的整个过程中，距离不超过 2 的时间； （3）在（2）的条件下，P，Q 运动结束后，嘉琪用手机截图 L1，L2 后，发现屏幕上有一个黑点 K（位置固定），刚好落在平面直角坐标系（10，5）的位置，嘉琪通过手机触屏功能将 L1 与 L2 横向、纵向同时放大 a 倍，使点 K 落在 L1 或 L2 上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的 a 的值． 解：（1）①（3，7） ②把（3，7），（0，4）坐标代入 y=x2+bx+c 得 ∴ 抛物线 L1 的解析式解析式为 y=x2-2x+4； ∵y=x2-2x+4=（x-1）2+3， ∴ 抛物线 L1 的顶点坐标是（1，3）； （2）设抛物线 L2的解析式为 y=x2+mx+n， ∵ 当 t=3 时，光点 Q 运动到抛物线 L2 的最低点， ∴- =3×2，∴m=-12，∴y=x2-12x+n， 把（3，7）坐标代入 y=x2-12x+n 得 7=9-36+n，解得 n=34， ∴ 抛物线 L2 的解析式为 y=x2-12x+34， 当 Q 在抛物线 L1 上，点 P，Q 距离为 2 时，则 x2-2x+4=7-2， 解得 x=1+ 或 x=1- （不符合题意，舍去）， ∴ 当 Q 在抛物线 L1 上，点 P，Q 距离不超过2的时间为 当 Q 在抛物线 L2 上，点 P，Q 距离为 2时，则 x2-12x+34=7-2， 解得 x=6+ 或 x=6- ， 由对称性可知，停止运动时，P 的横坐标为 9， ∴ 当 Q 在抛物线 L2 上，点 P，Q 距离不超过 2 的时间为 ∴ 点 P，Q 在运动的整个过程中，距离不超过 2 的时间为 （3）由（1）（2）知，抛物线 L1 的解析式为 y=（x-1）2+3，抛物线 L2 的解析式为y=（x-6）2-2， ∴ 将 L1 与 L2 横向、纵向同时放大 a 倍后，抛物线 L1 的顶点为（a，3a），抛物线L2 的顶点为（6a，-2a），设放大 a 倍后，抛物线 L1 的解析式为y=p（x-a）2+3a，将（3a，7a）坐标代入，得 7a=4a2p+3a， ∴4a2p=4a，∵a≠0，∴p= ， ∴ 放大 a 倍后，抛物线 L1 的解析式为y= （x-a）2+3a， 把 K（10，5）坐标代入，得 5= （10-a）2+3a，方程无实数解， ∴K 不可能在放大 a 倍后的抛物线 L1 上； 同理设放大 a 倍后，抛物线 L2 的解析式为 y=q（x-6a）2-2a， 将（3a，7a）坐标代入，得 7a=9a2q-2a， ∴9a2q=9a，∵a≠0，∴q= ， ∴ 放大 a 倍后，抛物线 L2 的解析式为 y= （x-6a）2-2a， 把 K（10，5）坐标代入，得 5= （10-6a）2-2a，解得 a= 或a= ， 综上所述，a 的值为 或 ． 题型解法 在解决关于几何图形面积问题时，若是在抛物线上求一点，使得几何图形面积与已知图形面积相等时，往往要分情况讨论，不能丢解；若是求几何图形面积的最值时，往往先要找到几何图形面积关于某个未知数的函数关系式（多为二次函数），然后再利用二次函数的相关性质求最值. 对应练习 练习 ［2023·沧州模拟］如图 1，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，A（2，2），AC∥y 轴．AC=AB=2，抛物线 L：y＝-t+ （x+t）2 的顶点为 M，与 y轴交于点 N. （1）写出 M 的坐标；（用含 t 的代数式表示） （2）求点 N 最低时 t 的值； （3）在 L 的位置随 t 的值变化而变化的过程中，说明抛物线的顶点 M 与点 C 能否重合，并求点 M 在△ABC 内部所经过路线的长； （4）如图 2，当 t=1 时， 抛物线 L： y＝-1+ （ｘ＋１）2 将此时 L 在-2023≤x≤2023 这个范围的曲线段，记为 W.某同学设计了一个动画，以 P（1，1）为端点的射线所在直线的解析式为 y=mx+n 光点从点 P 出发，沿射线飞行．若击中 W 上（点 P 除外）的整点（横、纵坐标均为整数），且 m 也为整数时，抛物线 L 就发光，直接写出此时整数 m 的个数． 解：（1）∵ 抛物线 L：y＝-t+ （x+t）2 的顶点为 M，∴M（-t，-t）； （2）对于抛物线 L：y＝-t+ （x+t）2， 令 x=0，则 y= t2-t= （t-1）2- ， ∴ 当 t=1 时，ymin=- ，即点 N 最低时t=1； （3）顶点 M 与点 C 不能重合，理由：由（1）知，顶点 M（-t，-t），∴ 点 M 都在直线 y=x 上移动， ∵C（2，4），∴ 点C不在直线 y=x 上，即抛物线的顶点 M 与点 C 不能重合； 由（1）知，顶点 M（-t，-t），∵A（2，2）， ∴ 在 L 的位置随 t 的值变化而变化的过程中，点 M 都在直线 y=x 上移动，且经过直线 y=x 上的点 A 与直线 y=x 与 BC 的交点 Q， ∵∠BAC=90°，AC∥y 轴，∴AB∥x 轴，AB=2，A（2，2）， ∴ 点 B（4，2），C（2，4），∴ 直线 BC 的解析式为 y=-x+6， 当 x=y 时，x=-x+6，∴x=3，即点 Q（3，3）， ∴ 点 M 在△ABC 内部所经过路线的长为 （4）整数 m 的个数为 2023. ■考查点一 二次函数的实际应用（6 年 4 考） 1.［2023·河北 23 题］嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表 1 m 长．嘉嘉在点 A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线 C1：y＝a（x-3）2+2 的一部分，淇淇恰在点 B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 C2：y=- x2+ x+c+1 的一部分． （1）写出 C1 的最高点坐标，并求 a，c 的值； （2）若嘉嘉在 x 轴上方 1 m 的高度上，且到点 A 水平距离不超过 1 m 的范围内可以接到沙包，求符合条件的 n 的整数值． 解：（1）∵ 抛物线 C1：y=a（x-3）2+2， ∴C1 的最高点坐标为（3，2）， ∵ 点 A（6，1）在抛物线 C1：y=a（x-3）2+2上，∴1=a（6-3）2+2， 解得 a=- ∴ 抛物线 C1 的解析式为y=- （x-3）2+2， 令 x=0，则 c=- ×（０-３）2+2=1； （2）∵ 嘉嘉在 x 轴上方 1 m 的高度上，且到点 A 水平距离不超过 1 m 的范围内可以接到沙包， ∴ 坐标范围为（5，1）～（7，1），当经过点（5，1）时，1=- ×52 + ×5+1+1，解得 n= ，当经过点（7，1）时，1=- ×72+ ×7+1+1，解得 n= ， ∴ ≤n≤ ，∴ 符合条件的 n 的整数值为 4 和 5. 2.［2021·河北 25 题］如图是某同学正在设计的一动画示意图，x 轴上依次有 A，O，N 三个点，且AO=2，在 ON 上方有五个台阶 T1～T5（各拐角均为 90°），每个台阶的高、宽分别是 1 和 1.5，台阶 T1 到 x 轴距离 OK=10.从点 A 处向右上方沿抛物线 L：y=-x2+4x+12 发出一个带光的点 P. （1）求点 A 的横坐标，且在图中补画出 y 轴，并直直接接指出点 P 会落在哪个台阶上； （2）当点 P 落到台阶上后立即弹起， 又形成了另一条与 L 形状相同的抛物线 C， 且最大高度为 11，求 C 的解析式，并说明 其对称轴是否与台阶 T5 有交点； • • （3）在 x 轴上从左到右有两点 D，E，且 DE=1，从点 E 向上作 EB⊥x 轴，且 BE=2.在△BDE沿 x 轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线 C 下落的点 P 能落在边 BD（包括端点）上，则点 B 横坐标的最大值比最小值大多少？［注：（２）中不必写 ｘ 的取值范围］ 解：（1）补全图形如图所示，由题意，得台阶 T4 左边的端点坐标为（4.5，7），右边的端点坐标为（6，7），对于抛物线 y=-x2+4x+12，令 y=0，整理得 x2-4x-12=0，解得 x=-2 或 6，∴A（-2，0）， ∴ 点 A 的横坐标为-2， 当 x=4.5 时，y=9.75＞7，当 x=6 时，y=0＜7，当 y=7 时，7=-x2+4x+12，解得x=-1 或 5，∴ 抛物线与台阶 T4 有交点，交点为 R（5，7）， ∴ 点 P 会落在台阶 T4 上； （2）由（1）知抛物线 C：y=-x2+bx+c，经过 R（5，7），最高点的纵坐标为 11， ∴ 抛物线 C 的解析式为 y=-x2+14x-38=-（x-7）2+11，对称轴为直线 x=7， ∵ 台阶 T5 的左边的端点坐标为（6，6），右边的端点为（7.5，6）， ∵6＜7＜7.5， ∴ 抛物线 C 的对称轴与台阶 T5 有交点； （3）对于抛物线 C：y=-x2+14x-38，令 y=0，得到 x2-14x+38=0，解得 x=7± ， ∴抛物线 C 交 x 轴的正半轴于（7+ ，0），当 y=2 时，2=-x2+14x-38，解得 x=4（舍去）或10，∴ 抛物线经过（10，2）， 在 Rt △BDE 中，∠DEB =90°，DE =1，BE=2， ∴ 当点 D 与（7+ ，0）重合时，点 B 的横坐标的值最大，最大值为 8+ ，当点 B 与（10，2）重合时，点 B 的横坐标最小，最小值为 10， ∴ 点 B 横坐标的最大值比最小值大 8+ -10= -2. 变式拓展 2.1 如图，如果在 x 轴上摆放一个底面半径为 0.5 m，高 1 m 的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点 12 m，若沿抛物线 C 下落的点 P 必须落在筐里，需将筐沿 x 轴向左移动 b m，直接写出 b 的取值范围． 解：令 y=-x2+14x-38=1，解得 x=7+ 或 x=7- （舍去）， ∴ 若沿抛物线 C 下落的点 P 必须落在筐里， 则 12-b＜7+ ＜12+1-b，解得 5- ＜b＜6- ． 3.［2020·河北 23 题］用承重指数 W 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数 Ｗ 与木板厚度 ｘ（cm）的平方成正比，当 ｘ＝３ 时，Ｗ＝３． （１）求 Ｗ 与 ｘ 的函数关系式； （２）如图，选一块厚度为 ６ cm 的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为ｘ（cm），Ｑ＝Ｗ厚-Ｗ薄． ①求 Ｑ 与 ｘ 的函数关系式； ②ｘ 为何值时，Ｑ 是 Ｗ薄的 ３ 倍？ ［注：（1）及（2）中的①不必写 x 的取值范围］ 解：（1）设 W=kx2（k≠0）．∵ 当 x=3 时，W=3，∴3=9k，解得 k= ， ∴W 与 x 的函数关系式为 W= x2； （2）①∵薄板的厚度为 x cm，则厚板的厚度为（6-x）cm， ∴Q=W厚-W薄= （6-x）2- x2=-4x+12，即Q与 x 的函数关系式为 Q=-4x+12； ②∵Q 是 W薄的 3 倍，∴-4x+12=3× x2，整理，得 x2+4x-12=0，解得 x1=2，x2=-6（不合题意，舍去），故 x 为 2 时，Q 是 W薄的 3 倍． 4. ［2018·河北 26 题］如图是轮滑场地的截面示意图，平台 AB 距 x 轴（水平）18 m，与 y 轴交于点 B，与滑道 y= （x≥1）交于点 A，且AB=1 m.运动员（看成点）在 BA 方向获得速度 v m/s 后，从 A 处向右下飞向滑道，点 M是下落路线的某位置.忽略空气阻力，实验表明：M，A 的竖直距离 h（m）与飞出时间 t（s）的平方成正比，且 t=1 时 h=5；M，A 的水平距离是 vt m. （1）求 k，并用 t 表示 h； （2）设 v=5.用 t 表示点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y，并求 y 与 x 的关系式（不写 x 的取值范围），及 y=13 时运动员与正下方滑道的竖直距离； （3）若运动员甲、乙同时从 A 处飞出，速度分别是 5 m/s，v乙 m/s.当甲距 x 轴 1.8 m，且乙位于甲右侧超过 4.5 m的位置时，直接写出 t 的值及 v乙的范围. • • 解：（1）由题意，知点 A 的坐标为（1，18），代入 y= ，得 18= ，∴k=18，设 h=at2，把 t=1，h=5 代入，得 a=5，∴h=5t2； （2）∵v=5，AB=1，∴x=5t+1，∵h=5t2，OB=18，∴y=18-h=-5t2+18， 由 x=5t+1，得 t= （x－1）， ∴y=- （x－1）2+18，当 y=13 时，13=- （x－1）2+18， 解得 x=6 或-4，∵x≥1，∴x=6，把 x=6 代入 y= ，得 y=3，∴ 运动员与正下方滑道的竖直距离是13-3=10（m）； （3）t 的值为 1.8 s，V乙＞7.5. ■考查点二 二次函数的综合应用（6 年 1 考） 5.［2019·河北 26 题］如图，若 b 是正数，直线 l：y＝b 与 y 轴交于点 A；直线 a：y＝x-b 与 y 轴交于点 B；抛物线 L：y＝-x2+bx 的顶点为 C，且 L 与 x 轴右交点为 D． （1）若 AB＝8，求 b 的值，并求此时 L 的对称轴与 a 的交点坐标； （2）当点 C 在 l 下方时，求点 C 与 l 距离的最 大值； （3）设 x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3） 分别在 l，a 和 L 上，且 y3 是 y1，y2 的平均数，求点 （x0，0）与点 D 间的距离； （4）在 L 和 a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出 b＝2 019 和 2 019.5 时“美点”的个数． 解：（1）当 x=0 时，y=x-b=-b， ∴B（0，-b），A（0，b），∵AB=8， ∴b-（-b）=8，∴b=4．∴L：y=-x2+4x， ∴L 的对称轴为直线 x=2，当 x=2 时，y=x-4=-2， ∴L 的对称轴与 a 的交点坐标为（2，-2）； （2）∵ ∴L 的顶点 C 坐标为 ， ∵ 点 C 在 l 下方，∴C 与 l 的距离为 b- =- （b-2）2+1≤1， ∴ 点 C 与 l 距离的最大值为 1； （3）由题意得 y3= ，即 y1+y2=2y3，得b+x0-b=2（-x02+bx0），解得 x0=0 或 x0=b- ．但 x0≠0，∴ 取 x0=b- ， 对于 L，当 y=0 时，0=-x2+bx， 即 0=-x（x-b），解得 x1=0，x2=b，∵b＞0， ∴ 右交点 D（b，0）．∴ 点（x0，0）与点 D 间的距离 （4）①当 b=2 019 时，抛物线解析式 L：y=-x2+2 019x，直线解析式 a：y=x-2 019，联立上述两个解析式可得 x1=-1，x2=2 019，∴ 可知每一个整数 x 的值都对应的一个整数 y 值，且-1和 2 019 之间（包括-1 和 2 019）共有 2 021 个整数，∵ 所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴ 线段和抛物线上各有 2 021 个整数点，∴ 总计 4 042 个点， ∵ 这两段图象交点有 2 个点重复， ∴“美点”的个数为 4 042-2=4 040（个）； ②当 b=2 019.5 时，抛物线解析式 L：y=-x2+2 019.5x，直线解析式 a：y=x-2 019.5，联立上述两个解析式可得x1=-1，x2=2 019.5，∴ 当 x 取整数 时，在一次函数 y=x-2 019.5 上 y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”的个数为0，在二次函数 y=-x2+2 019.5x 图象上，当 x 为偶数时，函数值 y 可取整数，可知-1 到 2 019.5 之间有 1 010 个偶数，即“美点 ” 共有 1010 个．故 b =2 019 时“美点”的个数为 4040个，b=2 019.5 时“美点”的个数为 1010 个． $$