1.3 第2课时全集、补集与综合应用（教学课件）-2024-2025学年上学期高一年级数学同步课堂系列（人教版A版2019）

§1.3　第2课时　 全集、补集与综合应用 1 内容索引 一、全集与补集 二、交、并、补集的综合运算 三、利用集合间的关系求参数范围 四、回归教材与随堂演练 温故知新 文字语言 一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的 ，记作 (读作“ ”) 符号语言 A∪B＝________________ 图形语言   性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B 或 并集 A∪B A并B {x|x∈A，或x∈B} 并集 温故知新 文字语言 一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的 ，记作 (读作“ ”) 符号语言 A∩B＝________________ 图形语言   性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 交集 且 A∩B A交B {x|x∈A，且x∈B} 交集 温故知新 (1)A∪A＝A，A∪Ø＝A；A∩A＝A，A∩Ø＝Ø. (2)若集合A是集合B的子集，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 并集与交集的运算性质 学习目标 1.了解全集的含义及其符号表示. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.(重点) 3.会用Venn图、数轴进行集合的运算.(难点) 创设情境 同学们，我们知道了并集与交集的概念，知道了两个集合间可以进行相应运算。大家思考下，相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素能否构成一个集合呢？答案是肯定的，因为只要元素确定且互异就能构成一个集合。这两个集合对于U构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”，体现了数学之美.那么这节课，让我们来继续学习两个新的名词——全集和补集. 一 全集与补集 8 思考1　方程(x－2)(x2－3)＝0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同？ 思考2　通过这个问题，你能得到什么启示？ 提示 在数学中，很多问题都是在某一范围内进行研究.如本问题在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的.同学们，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数.在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充. 提示　通过观察，A⊆U，B⊆U，A∩B＝∅，A∪B＝U.进一步发现，集合A与集合B有一种“互补”的关系，集合U是我们研究对象的全体。 新知讲解 1.全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的 元素，那么就称这个集合为_____ 记法 ____ 所有 U 全集 新知讲解 2.补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中 _ 集合A的所有元素组成的集合称为集合A _ 全集U的补集，简称为集合A的补集，记作_____ 符号语言 ∁UA＝________________ 图形语言   不属于 相对于 ∁UA {x|x∈U，且x∉A} 新知讲解 性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU＝ ，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝ ； (4)A∪(∁UA)＝ ；A∩(∁UA)＝∅ ∅ A U 新知讲解 注意点： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的. (2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念. (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 反思感悟 两种求补集的方法 (1)若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解. (2)若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍. (2)(多选)已知U为全集，若A∩B＝A，则 A.A⊆B B.B⊆A C.(∁UA)⊆(∁UB) D.(∁UB)⊆(∁UA) √ √ 因为A∩B＝A，所以A⊆B，故A正确，B错误； 所以(∁UB)⊆(∁UA)，故C错误，D正确. 二 交、并、补集的综合运算 19 (2)已知集合U＝{x∈Z|－3<x<3}，A＝{－2,1}，B＝{－2,2}，则(∁UA)∪B等于 A.{－2,1,2} B.{－2,0,2} C.{－2，－1,0,2} D.{－2，－1,2} √ 因为U＝{x∈Z|－3<x<3}＝{－2，－1,0,1,2}，A＝{－2,1}， 所以∁UA＝{－1,0,2}， 所以(∁UA)∪B＝{－2，－1,0,2}. 反思感悟 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. (2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 三 利用集合间的 关系求参数范围 24 反思感悟 由集合的补集求解参数的方法 (1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限，可利用补集定义并结合集合知识求解. (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个，一般利用数轴分析法求解. 跟踪训练3　已知集合U＝R，A＝{x|x>2或x<－2}，B＝{x|x≤a}. (1)当a＝1时，求A∩B，A∪B； 当a＝1时，B＝{x|x≤1}，又A＝{x|x>2或x<－2}， 所以A∩B＝{x|x<－2}，A∪B＝{x|x≤1或x>2}. (2)若(∁UA)⊆B，求实数a的取值范围. 因为∁UA＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，且(∁UA)⊆B，所以a≥2，则实数a的取值范围为{a|a≥2}. 四 回归教材与随堂演练 28 回归教材 回归教材 随堂演练 随堂演练 随堂演练 随堂演练 随堂演练 随堂演练 课堂小结 1.知识清单： (1)全集与补集及性质. (2)交、并、补集的综合运算. (3)利用集合间的关系求参数范围. 2.方法归纳：观察法、分析法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：解决含参的集合运算时要注意空集及端点. 知识像一艘船让它载着我们驶向理想的彼岸 谢谢 例1 （1）设 ， ， ，求 和 ． 由条件可知 ， ， ， 因此 ， （2）已知全集 ，集合 或 ，集合 或 ，求 , . 由题意借助数轴，将集合 用数轴表示如图所示： 可知 ， . 把集合 表示在数轴上如右图所示．由图知 或 ． 把集合 和 表示在数轴上，如右图所示．由图易知 或 ． （3）把集合 和 表示在数轴上，如下图所示．由图易知 或 ． 跟踪训练1 若集合 ，当 分别取下列集合时，求 ． (1) ；(2) ；(3) ． 因为 ， ， ，所以 ， ， 或 ，所以 或 ， . 例2 已知全集 ，集合 ， ．求 ， ， ． 跟踪训练2 已知全集 ， ， ，求 ， ， ． 将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，  则 ； 或 ； ． 例3 已知全集 ，集合 ， ． 若 ，求实数a的取值范围． ，若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ． 当 ，即 时，符合题意；当 时，需满足 ，解得 ． ∴当 EMBED Equation.DSMT4 时， ．∴当 EMBED Equation.DSMT4 时， ，即实数a的取值范围为 ． 例1 设 U={x|x 是小于9的正整数}, A={1,2,3},B={3,4,5,6}, 求∁UA,∁UB. 全集U＝{x|x是小于9的正整数}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}， ∴∁UA＝{4，5，6，7，8}，∁UB＝{1，2，7，8}． 例2 设全集U={x|x是三角形}, A={x|x是锐角三角形}, B={x|x是钝角三角形}, 求A∩B, ∁U(AUB). A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是非直角三角形}， ∁U（A∪B）＝{x|x是直角三角形}，答案为：A∩B＝∅，∁U（A∪B）＝{x|x是直角三角形}． 1．已知U为整数集，A＝{x∈Z|x2≥4}，则∁UA＝（　　） A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} U为整数集，A＝{x∈Z|x2≥4}＝{x∈Z|x≤﹣2或x≥2}， 则∁UA＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}． 故选：A． 2．已知集合，则∁RM＝（　　） A．{x|x＜﹣1} B．{x|x≤﹣1} C．{x|x＞﹣1} D．{x|x≥﹣1} 集合＝{x|x＜﹣1}，则∁RM＝{x|x≥﹣1}． 故选：D． 全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{3，4，5}，B＝{2，3，4}， 由题意可知：A∩B＝{3，4}，所以∁U（A∩B）＝{1，2，5}． 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{3，4，5}，B＝{2，3，4}， 则∁U（A∩B）＝　 　． 集合A＝{x|3＜x＜10}，B＝{x|2＜x＜7}．（1）求A∩B，A∪B；（2）求（∁RA）∩B． （1）∵A＝{x|3＜x＜10}，B＝{x|2＜x＜7}， ∴A∩B＝{x|3＜x＜7}，A∪B＝{x|2＜x＜10}； （2）∵∁RA＝{x|x≤3或x≥10}，∴（∁RA）∩B＝{x|2＜x≤3}． （2）因为（∁RA）∩B＝∅，适用于B⊆A， ①当B＝∅时，m≥2m+3，解得m≤﹣3，B⊆A成立； ②当B≠∅时，由B⊆A，有﹣2≤m＜2m+3≤4，解得； 所以实数m的取值范围是． 5．（2）若（∁RA）∩B＝∅，求实数m的取值范围． 5．已知集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{x|m＜x＜2m+3}（1）求集合A中的所有整数； （1）解不等式|x﹣1|＜3，得﹣3＜x﹣1＜3，即﹣2＜x＜4，所以集合A＝{x|﹣2＜x＜4}； 所以集合A中的所有整数为﹣1，0，1，2，3； $$