2024年高二下学期期末数学押题卷01-2023-2024学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲与精练（人教A版2019）

2024年高二下学期期末数学押题卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知回归方程，则该方程在样本处的残差为（    ） A． B．1 C．2 D．5 2．若有5名实习学生到甲、乙、丙、丁4个公司学习，每人限报一个公司，则不同的报名方式有（    ） A．625 B．1024 C．120 D．24 3．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布．若某物理量做n次测量，最后结果的误差，Xn ~N(0，)，则为使|Xn|≥的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（    ） 【附】随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(u－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974． A．32 B．64 C．128 D．256 4．展开式中的项数为（    ） A．11 B．12 C．22 D． 5．某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（    ） A．相关系数r变小 B．决定系数变小 C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强 6．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，若从U的所有子集中，等可能地抽取满足条件“，”和“若，则”的两个非空集合A，B，则集合A中至少有三个元素的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知由样本数据点集合其中，求得的回归直线方程记此模型对应的相关指数为. 观察残差图发现：除了数据点（1.2，2.2）和（4.8，7.8）明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程，记此模型对应的相关指数为，则下列结论中正确的是（      ） A．变量x与y正相关 B．记，则 C． D． 10．一个盒中装有质地、大小、形状完全相同的3个白球和4个红球，依次从中抽取两个球，规定：若第一次取到的是白球，则不放回，继续抽取下一个球；若第一次取到的是红球，则放回后继续抽取下一个球，下列说法正确的是（    ） A．第二次取到白球的概率是 B．“取到两个红球”和“取到两个白球”互为对立事件 C．“第一次取到红球”和“第二次取到红球”互为独立事件 D．已知第二次取到的是红球，则第一次取到的是白球的概率为 11．已知数列满足，，则（    ） A． B．是的前项和，则 C．当为偶数时 D．的通项公式是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某产品的研发投入费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如表所示： 研发投入费用 2.2 2.6 4.3 5.0 5.9 销售量 3.8 5.4 7.0 10.35 12.2 根据表中的数据可得回归直线方程，则 ；该产品的研发投入费用每提高3万元，销售量估计能提高 万件． 13．某高中学校在新学期增设了“传统文化”､“数学文化”､“综合实践”､“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有 种.（用数字作答） 14．对于项数为10的数列，若满足（其中为正整数，），且，设，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知数列的前项和，对于，都满足，且． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 16．为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为. (1)比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？ (2)第10轮比赛中，记张三取胜的概率为，求出的最大值点. 17．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中， (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率. (2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由. 附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 18．近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式.可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任.某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡.食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造.为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄､褐两种颜色的蜂蜡罐，对两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据： 黄色蜂蜡罐 褐色蜂蜡罐 品种蜜蜂 40 20 品种蜜蜂 50 10 (1)依据小概率值的独立性检验，分析蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐是否与蜜蜂种类有关联？ (2)假设要计算某事件的概率，常用的一个方法就是找一个与事件有关的事件，利用公式：求解，现从装有只品种蜜蜂和只品种蜜蜂的蜂蜡蠸中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到品种蜜蜂为事件，第二次抽到品种蜜蜂为事件，求（用表示） 附：，其中. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．已知函数，且恒成立． (1)求实数的值； (2)证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二下学期期末数学押题卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知回归方程，则该方程在样本处的残差为（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】A 【分析】本题可以利用回归方程计算出时的值，然后即可求出方程在样本处的残差. 【详解】当时，， 则方程在样本处的残差为， 故选：A. 【点睛】本题考查线性回归方程的运用，主要考查线性回归方程在样本处的残差的相关计算，考查学生的计算能力，属于基础题． 2．若有5名实习学生到甲、乙、丙、丁4个公司学习，每人限报一个公司，则不同的报名方式有（    ） A．625 B．1024 C．120 D．24 【答案】B 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】依题意，每位实习学生均有4种报名方式， 由分步乘法计数原理可得不同的报名方式有种. 故选：B 3．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布．若某物理量做n次测量，最后结果的误差，Xn ~N(0，)，则为使|Xn|≥的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（    ） 【附】随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(u－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974． A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】C 【分析】根据得到，进而结合正态分布的概率求法求得答案. 【详解】根据题意，， 而，则，所以. 故选：C. 4．展开式中的项数为（    ） A．11 B．12 C．22 D． 【答案】B 【分析】，再利用二项展开式定理展开即可求解． 【详解】因为 所以 则 共有12项， 故选：B． 5．某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（    ） A．相关系数r变小 B．决定系数变小 C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强 【答案】D 【分析】从图中分析得到去掉后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可． 【详解】从图中可以看出较其他点，偏离直线远，故去掉后，回归效果更好， 对于A，相关系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，相关系数r变大，故A错误； 对于B，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，决定系数变大，故B错误； 对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉后，残差平方和变小，故C错误； 对于D，若去掉后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确． 故选：D． 6．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，以第一次摸到正品的事件为样本空间，利用古典概率公式计算作答. 【详解】用A表示事件“第一次摸到正品”，B表示“第二次摸到正品”， 在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，相当于以A为样本空间，事件B就是积事件AB，显然，， 所以在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是. 故选：B 7．已知集合，若从U的所有子集中，等可能地抽取满足条件“，”和“若，则”的两个非空集合A，B，则集合A中至少有三个元素的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意分析集合A、B的特点，根据组合知识计算古典概型即可. 【详解】由，可得中没有重复数字， 由，则可得不为空集， 则可将中10个数字分为5组，分别为2或20，4或18，6或16，8或14，10或12， 且每组数中的一个数如果在集合A中，另一个必在集合中， 所以集合A中元素的个数小于等于集合中元素的个数， 所以集合A中元素的个数可能为1，2，3，4，5， 所以集合A的可能的个数为， 所以. 8．已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，分类讨论求导函数判断函数单调性及极值点，结合零点存在定理可得参数范围. 【详解】已知函数，函数的定义域为 ， 当时，恒成立，所以在上单调递减，故时，至多有一个零点； 当时，令得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增． 此时最小值为， ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，即，故没有零点； ③当时，即，又 ； ， 由零点存在定理知在上有一个零点；在有一个零点． 所以有两个零点，a的取值范围为； 故选:A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知由样本数据点集合其中，求得的回归直线方程记此模型对应的相关指数为. 观察残差图发现：除了数据点（1.2，2.2）和（4.8，7.8）明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程，记此模型对应的相关指数为，则下列结论中正确的是（      ） A．变量x与y正相关 B．记，则 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据回归方程的斜率为正可判断A；根据样本中心在回归直线上可判断B；根据拟合效果可判断C；可得剔除这两个数据点后，样本的中心还是，即可求出，判断D. 【详解】因为回归方程为，，所以变量x与y具有正相关关系，故A正确； 因为，所以，故B正确； 由题可得剔除这两个数据点后的拟合效果更好，所以，故C错误； 因为，所以剔除这两个数据点后，样本的中心还是，所以，故D正确. 故选：ABD. 10．一个盒中装有质地、大小、形状完全相同的3个白球和4个红球，依次从中抽取两个球，规定：若第一次取到的是白球，则不放回，继续抽取下一个球；若第一次取到的是红球，则放回后继续抽取下一个球，下列说法正确的是（    ） A．第二次取到白球的概率是 B．“取到两个红球”和“取到两个白球”互为对立事件 C．“第一次取到红球”和“第二次取到红球”互为独立事件 D．已知第二次取到的是红球，则第一次取到的是白球的概率为 【答案】AD 【分析】考虑到第一次取到的球有两种可能，由此计算第二次取到白球的概率，判断A;依次两次取球还有可能取到一白球和一红球，由此判断B;根据独立事件的概念可判断C;根据条件概率的计算公式求得已知第二次取到的是红球，则第一次取到的是白球的概率，可判断D. 【详解】对于A,若第一次取到白球，第二次取到白球，则概率为 ， ,若第一次取到红球，第二次取到白球，则概率为， 故第二次取到白球的概率是，故A正确； 对于B，除了“取到两个红球”和“取到两个白球”这种事件可能发生外，还有可能是取到一白球和一红球，因此“取到两个红球”和“取到两个白球”是互斥事件，但不对立，故B错误； 对于D,设第二次取到的是红球为事件A,设第一次取到的是白球为事件B， 则 , , 故 ,故D正确， 对于C，记第一次取到红球为事件M，第二次取到白球的事件为A， 则, 则故C错误； 故选：AD 11．已知数列满足，，则（    ） A． B．是的前项和，则 C．当为偶数时 D．的通项公式是 【答案】AD 【分析】利用并项求和法可判断B选项；推导出，分为奇数、偶数两种情况求出数列的通项公式，可判断ACD选项. 【详解】数列满足，， 因为，，所以， ，B错； 由题意，①，②， 由②①得，，由，，所以， 当为奇数时，设， 则， 当为偶数时，设， 则， 综上所述，对任意的，，C错D对； ，A对. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某产品的研发投入费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如表所示： 研发投入费用 2.2 2.6 4.3 5.0 5.9 销售量 3.8 5.4 7.0 10.35 12.2 根据表中的数据可得回归直线方程，则 ；该产品的研发投入费用每提高3万元，销售量估计能提高 万件． 【答案】 【分析】根据样本中心点求得，利用回归直线方程进行估计. 【详解】， ， 所以，解得. 所以为回归直线方程. 所以该产品的研发投入费用每提高3万元，销售量估计能提高万件. 故答案为：； 13．某高中学校在新学期增设了“传统文化”､“数学文化”､“综合实践”､“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有 种.（用数字作答） 【答案】36 【分析】分两类：所选课程恰有一门相同和没有相同，利用排列、组合分别求出每类的种数，再利用分类计数原理即可求出结果. 【详解】当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时： 相同的课程为“数学文化”时，有种， 相同的课程不是“数学文化”时，有种， 所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有种， 当小明和小华两位同学所选的课程没有相同时，有, 所以，两位同学不同的选课方案有， 故答案为：36 14．对于项数为10的数列，若满足（其中为正整数，），且，设，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据，可得数列中相邻两项的差最大为，再根据数列的增减性计算即可. 【详解】因为， 所以或， 设， 则数列中相邻两项的差最大为， 要保证， 则数列的项有增有减， 假如中有个，增量最大为，则有项是减少的， 则必有，所以，则或， 取，取最大值，按最大连续增量计算， 有，即中有最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：说明数列中相邻两项的差最大为，数列的项有增有减，是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知数列的前项和，对于，都满足，且． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明数列是首项为1，公差为1的等差数列，再求出即可； （2）裂项相消求和可解. 【详解】（1）时，，， 又，数列是首项为1，公差为1的等差数列． ，经验证，时也成立，． （2）， ． 16．为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为. (1)比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？ (2)第10轮比赛中，记张三取胜的概率为，求出的最大值点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式和古典摡型的概率计算公式，即可看求解； （2）由题意求得，然后利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是； （2）解：由题可知， ， 令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以的最大值点. 17．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中， (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率. (2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由. 附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 【答案】(1)适宜，预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率 (2)（i）0.778；（ii）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析 【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可； （2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况. 【详解】（1）由散点图判断适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型. 令，先建立y关于t的线性回归方程. 由于， ， 该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为， 因此y关于年份数x的回归方程为 所以当时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为 . 所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为. （2）设“该航班飞往A地”，“该航班飞往B地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”， 则，，， ，，. （i）由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为0.778. （ii）， ， ， 因为， 所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大. 18．近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式.可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任.某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡.食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造.为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄､褐两种颜色的蜂蜡罐，对两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据： 黄色蜂蜡罐 褐色蜂蜡罐 品种蜜蜂 40 20 品种蜜蜂 50 10 (1)依据小概率值的独立性检验，分析蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐是否与蜜蜂种类有关联？ (2)假设要计算某事件的概率，常用的一个方法就是找一个与事件有关的事件，利用公式：求解，现从装有只品种蜜蜂和只品种蜜蜂的蜂蜡蠸中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到品种蜜蜂为事件，第二次抽到品种蜜蜂为事件，求（用表示） 附：，其中. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联； (2) 【分析】（1）由已知数据结合公式求，比较其与临界值的大小，由此确定蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，进一步求频率判断； （2）由古典概型概率公式和条件概率公式求，再代入所给公式求解. 【详解】（1）根据列表得， 所以依据的独立性检验，蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联， 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为，品种进入褐色蜂蜡罐的频率为， 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为，品种进入褐色蜂蜡罐的频率为， 依据频率分析，品种的蜜蜂选择褐色蜂蜡罐的频率是品种的蜜蜂的两倍， 所以品种的蜜蜂选择进入黄色蜂蜡罐与褐色蜂蜡罐有显著差异； （2）由已知上式知， 则， 所以， 所以， 所以. 19．已知函数，且恒成立． (1)求实数的值； (2)证明：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）令，求得，设，利用导数判断单调递增，进而求得，设，利用导数判断函数的单调性，结合，即可求解. （2）由（1）转化为，即证，设，利用导数得到单调性，转化为，令，利用导数求得函数的单调性，结合，即可求解； 【详解】（1）令， 则， 设，则对任意恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以存在唯一实数， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以， 因为， 所以，且． 所以， 设，则， 所以在上单调递增，上单调递减， 所以，而依题意必有，所以，此时， 所以若不等式恒成立，则正实数的值为1． （2）由（1）知，当时，对任意恒成立． 所以，当且仅当时等号成立， 则， 所以要证明， 只需证， 即证． 设，则， 则在上单调递增，上单调递减， 所以，即， 又由在恒成立，在上单调递减， 所以，即， 所以要证， 只需证，即， 令，可得， 则在上单调递减，上单调递增， 所以当时，， 即恒成立， 所以． 【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$