立体几何初步章节检测-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

立体几何初步章节检测 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列说法错误的是（   ） A．经过同一直线上的3个点的平面有无数个 B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．若是两条直线，是两个平面，且，则是异面直线 D．若直线不平行于平面，且，则内不存在与平行的直线 2．如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（    ） A． B． C． D． 3．已知m，n，l是三条互不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 4．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 6．已知圆台的上、下半径分别为，，.若一个球与圆台上、下底面及侧面均相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的所有棱长均为1，则这个棱柱侧面对角线E₁D与BC₁所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 8．在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理不正确的是（    ） A．， B．，，且 C．， ， D．，， 10．化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）、金刚石等的分子结构．将一个正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图），已知正方体棱长为，则（    ） A．正八面体的内切球表面积 B．正八面体的外接球体积为 C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥的体积为定值 D．若点P为棱EB上的动点（包括端点），则直线CP与平面GHMN所成角的正弦值的取值范围是 11．已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（    ） A．球的体积为 B．球内接圆柱的侧面积的最大值为 C．球在正方体外部的体积小于 D．球在正方体外部的面积大于 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比 ． 13．如图，等腰直角三角形中，，，是边上一动点（不包括端点）.将沿折起，使得二面角为直二面角，则三棱锥的外接球体积的取值范围是 . 14．在四面体中，且，点分别是线段，的中点，若直线平面，且截四面体形成的截面为平面区域，则的面积的最大值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点，点为上靠近的三分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值.（先找角再证明最后计算） 16.（本小题15分） 在正方体中，面对角线，上各有一个动点，，使得直线平面. (1)当，为对角线，的中点，为的中点时，证明：平面平面； (2)当正方体棱长为2时，求线段长度的最小值. 17.（本小题15分） 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，则正四棱锥的侧面积是多少？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 18.（本小题17分） 如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点.将，分别沿折起，使三点重合于点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的正弦值. 19.（本小题17分） 如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与直线所成角的余弦值为． （ⅰ）求直线与平面所成角； （ⅱ）求二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何初步章节检测解析版 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列说法错误的是（   ） A．经过同一直线上的3个点的平面有无数个 B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．若是两条直线，是两个平面，且，则是异面直线 D．若直线不平行于平面，且，则内不存在与平行的直线 【答案】C 【详解】经过一条直线的平面有无数个，A不符合题意； 设三条直线为，交于点，交于，相交直线确定一个平面， 则故由两点确定的直线在平面内， 所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，可知B不符合题意； 若a，b是两条直线，是两个平面，且， 则a，b也可能平行，故C符合题意； 直线与平面相交，且交平面于一点， 平面上任何通过点的直线都与直线同面， 平面上其它不通过点的直线则与之异面， 则内不存在与平行的直线，可知D不符合题意. 故选：C 2．如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是水平放置的的直观图，轴，轴，，， 所以由斜二测画法可知，在中，，如图所示， 所以， 故选：D 3．已知m，n，l是三条互不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 【答案】C 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，若，，则与可能平行、相交或异面，A错误； 对于B，若，，则或，B错误； 对于C，若，，由线面垂直的定义，必有，C正确； 对于D，若，，则与平面可能平行，也可能相交或者在内，D错误． 故选：C． 4．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形， 可得，解得，所以圆锥的高为. 故选：B. 5．如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【详解】在正方体中，可得平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以，同理可证：， 所以四边形的形状一定为平行四边形. 故选：A. 6．已知圆台的上、下半径分别为，，.若一个球与圆台上、下底面及侧面均相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设内切球的半径为， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处， 设球与母线切于点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理， 所以，过作，垂足为， 则，所以， 所以该圆台的表面积为. 故选：B. 7．已知正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的所有棱长均为1，则这个棱柱侧面对角线E₁D与BC₁所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】由图可得，在正六棱柱中，，连接， 则即为异面直线与所成角或其补角； ，, 同理可得，，                                在中，,， , 由余弦定理可得：. 故选：C 8．在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示： 由题意在菱形中，互相垂直且平分，点为垂足， ， 由勾股定理得， 所以， 设点为外接圆的圆心， 则外接圆的半径为，， 设点为外接圆的圆心，同理可得外接圆的半径为， ， 如图所示： 设三棱锥的外接球的球心、半径分别为点， 而均垂直平分， 所以点在面，面内的射影分别在直线上， 即， 由题意，且二面角为直二面角， 即面面，， 所以，即，可知四边形为矩形，所以， 由勾股定理以及， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理不正确的是（    ） A．， B．，，且 C．， ， D．，， 【答案】AB 【详解】对于A，因为，则可以平行或相交，故A错误； 对于B，因为，则或，或，故B错误； 对于C，因为，则由面面平行的位置关系得，故C正确； 对于D，因为，则由面面平行的性质定理得，故D正确. 故选：AB. 10．化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）、金刚石等的分子结构．将一个正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图），已知正方体棱长为，则（    ） A．正八面体的内切球表面积 B．正八面体的外接球体积为 C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥的体积为定值 D．若点P为棱EB上的动点（包括端点），则直线CP与平面GHMN所成角的正弦值的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A项，可以利用等体积列出关于内切球半径的方程，解之即得；对于B项，利用正八面体的对称性可分析计算得出正方形的中心即为外接球球心，计算即得；对于C项，证明∥平面，根据平行的性质结合转换顶点法求体积；对于D项，作辅助线，分析可知直线CP与平面GHMN所成角的为，分析长度关系即可得取值范围. 【详解】由题意可知：正八面体的棱长为，，， 对于A项，设该正八面体内切球的半径为， 由正八面体的体积可得，解得， 所以它的内切球表面积为，故A项正确； 对于选项B：由题意可知：，且， 结合对称性可知：点为正八面体外接球的球心，则正八面体外接球的半径， 所以正八面体外接球的体积为，故B项错误； 对于选项C：由题意可知：∥， 且平面，平面，可得∥平面， 则点P到平面的距离即为点B到平面的距离， 所以，故C正确； 对于选项D：分别过作平面GHMN的垂线，垂足分别为， 可知∥∥，且， 则分别为棱的中点，且在线段上， 可得，则， 由平面GHMN，可知直线CP与平面GHMN所成角的为， 可得， 所以直线CP与平面GHMN所成角的正弦值的取值范围是，故D正确； 故选：ACD. 11．已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（    ） A．球的体积为 B．球内接圆柱的侧面积的最大值为 C．球在正方体外部的体积小于 D．球在正方体外部的面积大于 【答案】BCD 【详解】A.依题意，得棱切球的半径为，则球的体积为，错误 B.记球的内接圆柱的底面半径为，则内接圆柱的高为：， 则内接圆柱的侧面积为：， 等号成立时，故球的内接圆柱的侧面积最大值为：，正确 C.球在正方体外部的体积小于球体积与正方体内切球体积之差，即，正确 D.球在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积. 每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积， 则内接圆锥的底面半径为，高为，得圆锥的母线长为：， 得内接圆锥的侧面积为：， 所以6个球冠的表面积大于，正确 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比 ． 【答案】 【详解】由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 故答案为：. 13．如图，等腰直角三角形中，，，是边上一动点（不包括端点）.将沿折起，使得二面角为直二面角，则三棱锥的外接球体积的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为是直角三角形，所以其外接圆的圆心在的斜边上，即是该圆的直径， 又因为平面平面，所以平面必过球心，外接球半径即为外接圆的半径， 设球的半径为，球的体积为， 在中，根据正弦定理得，， 又因为，所以， 所以. 故答案为： 14．在四面体中，且，点分别是线段，的中点，若直线平面，且截四面体形成的截面为平面区域，则的面积的最大值为 . 【答案】 【详解】依题意，四面体拓展为长方体，，如图， 设，则有，解得， 由点分别是线段的中点，得，而平面，则平面， 又直线平面，于是平面， 设平面与的交线分别为， 平面与平面分别交于，则，同理， 因此，同理，即四边形为平行四边形，且， 在中，， ， 则，设，则， 由，得，由，同理得， 因此，平行四边形围成一个平面区域，其面积为， ，当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点，点为上靠近的三分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值.（先找角再证明最后计算） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 已知底面是菱形，如图，设其中心为，则是线段和的中点. 由于是的中点，故，而在平面内，不在平面内，所以平面. （2）我们有，. 而是的中点，所以，，从而二面角的正切值就是. 而由于，， 故所以二面角的正切值为. 16.（本小题15分） 在正方体中，面对角线，上各有一个动点，，使得直线平面. (1)当，为对角线，的中点，为的中点时，证明：平面平面； (2)当正方体棱长为2时，求线段长度的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，分别是线段，的中点，所以. 又，从而. 因为，平面，平面，所以平面 因为平面，又平面，， ，平面，所以平面平面 （2）过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接. 因为，平面，平面，所以平面， 又平面，，，平面，所以平面平面 因为平面平面，平面平面，所以. 设，，则，，又棱长为2， 则.在梯形中，， ， 时，线段的最小值为. 17.（本小题15分） 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，则正四棱锥的侧面积是多少？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)，最大面积是 【详解】（1）由知. 因为， 所以正四棱锥的体积 正四棱柱的体积 所以仓库的容积. （2）连接，取的中点，连接， 由正四棱锥，可得，所以， 因为，所以，所以， 进而可求得， 所以， 所以正四棱锥的侧面积为(. （3）设，下部分的侧面积为， 则，， ， 设， 当，即时，，. 即当为时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是. 18.（本小题17分） 如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点.将，分别沿折起，使三点重合于点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：折叠前，因为在正方形中，， 则折叠后，可得， 又因为，且平面，所以平面. （2）解：由（1）得平面，所以， 由题意知且，故， 故. （3）解：取线段的中点，连接，因为， 所以有，且平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 又由（1）得平面，平面，可得， 因为，， 故，即二面角的正弦值为. 19.（本小题17分） 如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与直线所成角的余弦值为． （ⅰ）求直线与平面所成角； （ⅱ）求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【详解】（1）取的中点，连接，由平面，，得平面， 而平面，则，由为的中点，得， 则四边形是平行四边形，因此， 所以. （2）（ⅰ）由为的中点，，则，而， 平面，于是平面，平面， 则，由，得直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为， 在中，，而， 解得，则，由平面，得直线与平面所成角为， 显然，则， 所以直线与平面所成角为. （ⅱ）过作于，由（ⅰ）可得，为等腰三角形， ，，由三角形面积法得， 由勾股定理得，过作交于，与延长线交于点， 在直角梯形中，，则， ，显然∽，则， 于是，，为线段的中点， 显然是二面角的平面角，在正中，， 由平面，平面，则，平面， 于是平面，而平面，则，， 所以二面角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$