第三章 函数的概念与性质单元检测卷-（暑期衔接课堂）2024年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第三章 函数的概念与性质 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2024高二下·浙江·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南曲靖·开学考试）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 3．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）函数在区间上的最小值是（    ） A． B．0 C． D． 4、（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）若函数，则（    ） A． B．1 C． D．5 5．（23-24高三下·天津·阶段练习）函数的图象是下列的（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·湖南常德·期中）若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的一个对称中心为 B． C．函数为周期函数，且一个周期为4 D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高二下·云南·阶段练习）设为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为偶函数 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．在其定义域上单调递增 11．（23-24高一下·湖北·阶段练习）对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第16题第一空2分，第二空3分.） 12．（2024·上海·高考真题）已知，，且是奇函数，则 ． 13．（22-23高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 ． 14．（2024·上海·模拟预测）若存在实数，对任意的，不等式恒成立.则正数的取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数,当时，，当时，求解析式. 16．（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)在坐标系中画出的草图； (3)写出函数的单调区间和值域． 17．（23-24高一下·广东中山·开学考试）已知函数，且. (1)判断并证明函数在其定义域上的奇偶性. (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 18．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并证明； (3)解不等式． 19．（2024·天津河北·模拟预测）已知，函数． (1)函数的图象经过点，且关于的不等式的解集为，求的解析式； (2)若有两个零点，，且的最小值为，当时，判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)设，记为集合中元素的最大者与最小者之差，若对，恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数的概念与性质 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2024高二下·浙江·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由解析式中根号下为非负数，分母不为零，解不等式即可求得结果. 【详解】根据函数解析式可得，解得； 所以该函数的定义域为. 故选：C 2．（23-24高一下·云南曲靖·开学考试）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，结合问题，自变量取合适的值，可得答案. 【详解】取，有. 故选：D. 3．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）函数在区间上的最小值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性计算可得. 【详解】因为，所以在上单调递增， 所以. 故选：B 4、（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）若函数，则（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】B 【分析】先求出，再求即可 【详解】因为， 所以 所以． 故选：B 5．（23-24高三下·天津·阶段练习）函数的图象是下列的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域可排除B；求出的奇偶可排除C，D. 【详解】因为函数的定义域为，解得：，故B错误. ，则函数为奇函数，故C，D错误； 故选：A. 6．（23-24高二下·湖南常德·期中）若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质，结合单调性，分情况讨论可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 显然时，满足； 因为在上单调递增，，所以在上单调递增，， 当时，不等式等价于， 因为在上单调递增，所以； 当时，不等式等价于， 因为在上单调递增，所以； 综上可知不等式的的取值范围是. 故选：B 7．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断在上的单调性，再由其为偶函数将转化为，则可得，从而可求得的取值范围 【详解】因为和在上均单调递增， 所以在上单调递增． 因为是定义在上的偶函数， 所以可化为， 所以，解得． 故选：D 8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的一个对称中心为 B． C．函数为周期函数，且一个周期为4 D． 【答案】C 【分析】对于A，由为奇函数，则，再将代入化简可求出对称中心；对于B，由选项A可得，再由为偶函数可得，令可求出；对于C，由的图象关于点对称，结合求出进行判断；对于D，利用赋值法求解判断. 【详解】对于A，因为为奇函数， 所以，即， 所以，所以， 所以函数的图象关于点对称，所以A正确， 对于B，在中，令，得，得， 因为函数为偶函数，所以， 所以， 所以， 令，则，所以，得，所以B正确， 对于C，因为函数的图象关于点对称，， 所以，所以， 所以4不是的周期，所以C错误， 对于D，在中令，则， 令，则，因为，所以， 因为，所以，所以D正确， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性、对称性和周期性，解题的关键是由已知条件化简后利用赋值法分析判断，考查计算能力，属于较难题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高二下·云南·阶段练习）设为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用奇函数偶函数的定义结合复合函数求解. 【详解】， ， ， A，B，C均正确. ，D错误. 故选：ABC. 10．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为偶函数 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．在其定义域上单调递增 【答案】BCD 【分析】本题考查已知函数类型求解析式以及幂函数的性质，先设出幂函数解析式，代入已知点的坐标，求出解析式，再根据解析式逐项判断. 【详解】设，由的图象经过点，得，解得，所以. 选项A，的定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，A错误； 选项B，根据偶次方要的被开方数非负得的定义域为，B正确； 选项C，由在上是增函数，所以函数的值域为，C正确； 选项D，由在上是增函数，D正确. 故选：BCD. 11．（23-24高一下·湖北·阶段练习）对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】结合取整函数的定义，利用奇偶性的定义可判断A选项；由取整函数的定义得到，进而可判断B，C选项；先解一元二次不等式，然后取整函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A：当时，，当时，， 所以，不是奇函数，即函数的图象不是关于原点对称，故A错误； 对于B：由取整函数的定义知， ，所以， ，函数的值域为，故B正确； 对于C：由取整函数的定义知，，， 所以，故C正确； 对于D：由得，解得， 结合取整函数的定义可得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中第16题第一空2分，第二空3分.） 12．（2024·上海·高考真题）已知，，且是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可求参数. 【详解】因为是奇函数，故即， 故， 故答案为：. 13．（22-23高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出二次函数的对称轴，从而得到不等式，求出答案. 【详解】的对称轴为， 由题意得，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 14．（2024·上海·模拟预测）若存在实数，对任意的，不等式恒成立.则正数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先化简不等式，转化为两个不等式组，结合二次函数图象与一次函数图象分析确定满足条件的解. 【详解】存在实数，对任意的，不等式恒成立， 等价于或， 整理得①或②， 令，，， 则不等式①②等价于的图象夹在和之间， 令，解得，即，， 的对称轴为，设点关于直线的对称点为点，则， 对任意的，函数的图象必须夹在和图象之间， 所以，即，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题以及二次函数图象性质，关键是把不等式恒成立转化为函数图象需要满足特定条件，再结合图象分析计算，体现了转化思想和数形结合的思想. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数,当时，，当时，求解析式. 【答案】 【分析】利用函数的寄偶性即可求出. 【详解】设，则，所以 又因是定义域上的偶函数，所以， 所以. 16．（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)在坐标系中画出的草图； (3)写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1)5 (2)作图见解析 (3)减区间为，增区间为；值域为 【分析】（1）先求，再求可得答案； （2）分段作出图象即可； （3）根据图象写出单调区间，根据单调性求出值域． 【详解】（1）因为，所以， 所以． （2）草图如下： （3）由图可知，减区间为，增区间为； 当时，； 当时，为减函数，所以； 当时，为增函数，所以； 所以的值域为． 17．（23-24高一下·广东中山·开学考试）已知函数，且. (1)判断并证明函数在其定义域上的奇偶性. (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）首先求，再利用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （2）首先判断函数在区间上的单调性，再根据函数的单调性求最值. 【详解】（1），则，即， 函数的定义域为， ，即， 所以函数为奇函数； （2）设， 所以， ， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增， 所以的最大值是，最小值是. 18．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并证明； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在为增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出，再由求出，即可求出当时函数解析式，再由奇函数的性质求出时解析式； （2）利用定义法证明函数的单调性即可； （3）结合奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，； （2）函数在上为增函数． 证明：任取，且， 则 ， ， ，即， 故在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由（2）知在上为增函数， 所以，解得， 故原不等式的解集为． 19．（2024·天津河北·模拟预测）已知，函数． (1)函数的图象经过点，且关于的不等式的解集为，求的解析式； (2)若有两个零点，，且的最小值为，当时，判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)设，记为集合中元素的最大者与最小者之差，若对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在区间上是单调递减的，理由见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据函数过点，以及根据韦达定理，即可求解函数的解析式； （2）首先根据二次函数的最值求得，并求解方程的两根，，并代入函数单调性的定义，化简，并判断其正负，即可判断函数的单调性； （3）区间与二次函数的对称轴比较，再分类讨论，而后得到的解析式，通过函数解析式求函数的最小值，再解不等式即可. 【详解】（1）函数的图象经过点， ， 又关于的不等式的解集为， ，为方程的两个实根， 因此，解得 所以的解析式为． （2）， 由题意得，即， 令，解得， 即，， 对于任意，设， 则， ， 又， ， 而，即， 因此， 函数在区间上是单调递减的． （3）设，， 因为函数的对称轴为， ①当时，即时，在上单调递减， ， ②当，即时， ， ③当，即时， ， ④当时，即时，在上单调递增， ， 综上可知，， 可知，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 对，恒成立，只需即可，解得， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第2问的关键是根据条件求得，变形后，再代入，证明不等式，第3问的关键是讨论轴和区间的关系，从而求出函数的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$