24.1圆的有关性质 第二课时 垂直于弦的直径同步练习2024～2025学年人教版九年级数学上册

24.1.2 垂直于弦的直径 1.垂直于弦的直径平分 弦,并且平 分弦所对的两条弧; 2.平分弦(非直径)的直径垂 直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 知识点1:垂径定理及其推论 1.如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于点E,则下列结论中不一定成立的是 ( ) A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.OE=BE D.= 2.如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是( ) A. B. C. D. 【变式】如图,⊙O的弦AB=8,ON⊥AB于点M,且OM=3,则MN的长为2 . 3.如图,⊙O的半径为5,M是弦AB的中点,且OM=4,则弦AB等于6 . 4.如图,AE是⊙O的直径,半径 OD垂直于弦AB,垂足为C,AB=8 cm,CD=2 cm,则BE的长为6 cm. 知识点2:垂径定理及推论的应用 5.(教材P82例2变式)如图,有一圆弧形桥拱,拱形的半径OA=10 m,桥拱的跨度AB=16 m,则拱高CD为4 m. 6.(遂宁中考)如图,在半径为10 cm的圆形铁片上切下一块高为4 cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为16 c m. 7.(核心素养 应用意识)《九章算术》中记载:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”(如图①)阅读完这段文字后,小智画出了圆材的截面示意图(如图②),其中BO⊥CD于点A.由题意可知AB=1 寸,CD=10 寸(一尺等于十寸).请帮助小智求出⊙O的直径. 易错点:把圆的对称轴误以为是直径 8.下列说法中正确的是 ( ) A.直径是圆的对称轴 B.经过圆心的直线是圆的对称轴 C.与圆相交的直线是圆的对称轴 D.与半径垂直的直线是圆的对称轴 9.如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的弦,自O点作BC的垂线,交BC于D点.若AB=16,BC=12,则 OBD的面积为6 . 10.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C,D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为(2,6 ). 11.在Rt ABC中,AC=4 cm,BC=3 cm,∠ACB=90 ,过点A画直线AP⊥AC,与以点C为圆心,5 cm长为半径的圆交于点P,则线段PB的长为4或2 cm. 12.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,∠CEA=30 ,OE=4,DE=5,求弦CD及⊙O的半径长. 13.如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为F,AO⊥BC,垂足为E,连接AC. (1)求∠B的度数; (2)若CE=,求⊙O的半径. 24.1.2 垂直于弦的直径 1.垂直于弦的直径平分 弦,并且平分弦所对的两条弧; 2.平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 知识点1:垂径定理及其推论 1.如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于点E,则下列结论中不一定成立的是 ( ) A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.OE=BE D.= 答案:C 2.如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是( ) A. B. C. D. 答案:B 【变式】如图,⊙O的弦AB=8,ON⊥AB于点M,且OM=3,则MN的长为2 . 答案:2 3.如图,⊙O的半径为5,M是弦AB的中点,且OM=4,则弦AB等于6 . 答案:6 4.如图,AE是⊙O的直径,半径 OD垂直于弦AB,垂足为C,AB=8 cm,CD=2 cm,则BE的长为6 cm. 答案:6 知识点2:垂径定理及推论的应用 5.(教材P82例2变式)如图,有一圆弧形桥拱,拱形的半径OA=10 m,桥拱的跨度AB=16 m,则拱高CD为4 m. 答案:4m 6.(遂宁中考)如图,在半径为10 cm的圆形铁片上切下一块高为4 cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为16 c m. 答案:16cm 7.(核心素养 应用意识)《九章算术》中记载:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”(如图①)阅读完这段文字后,小智画出了圆材的截面示意图(如图②),其中BO⊥CD于点A.由题意可知AB=1 寸,CD=10 寸(一尺等于十寸).请帮助小智求出⊙O的直径. 答案:1 10 解:连接CO,∵BO⊥CD, ∴CA=CD=5寸. 设CO=BO=x寸,则AO=(x-1)寸. 在Rt CAO中,∠CAO=90 , ∴AO2+CA2=CO2,即(x-1)2+52=x2.解得x=13. ∴⊙O的直径为26寸. 易错点:把圆的对称轴误以为是直径 8.下列说法中正确的是 ( ) A.直径是圆的对称轴 B.经过圆心的直线是圆的对称轴 C.与圆相交的直线是圆的对称轴 D.与半径垂直的直线是圆的对称轴 答案:B 9.如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的弦,自O点作BC的垂线,交BC于D点.若AB=16,BC=12,则 OBD的面积为6 . 答案:6 10.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C,D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为(2,6 ). 答案:(2,6) 11. 在Rt ABC中,AC=4 cm,BC=3 cm,∠ACB=90 ,过点A画直线AP⊥AC,与以点C为圆心,5 cm长为半径的圆交于点P,则线段PB的长为4或2 cm. 答案:4或2 12.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,∠CEA=30 ,OE=4,DE=5,求弦CD及⊙O的半径长. 解:过点O作OM⊥CD于点M,连接OD,在Rt OEM中, ∵∠OEM=∠CEA=30 , ∴OM=OE=2, EM==2, ∴DM=DE-EM=3, ∵OM过圆心,OM⊥CD,∴CD=6, ∴在Rt DOM中,OD==, ∴弦CD的长为6,⊙O的半径长为. 13.如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为F,AO⊥BC,垂足为E,连接AC. (1)求∠B的度数; (2)若CE=,求⊙O的半径. 解:(1)∵CD为⊙O的直径, CD⊥AB,AO⊥BC, ∴CA=CB,AB=AC, ∴ ABC为等边三角形, ∴∠B=60 . (2)在Rt COE中,∠OCE=30 ,CE=, ∴CE=1,CO=2. 即⊙O的半径为2. 学科网(北京)股份有限公司 $$