11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 课件- 2024—2025学年人教版数学八年级上册

人教版八年级上册 11.1.2 三角形的高、 中线与角平分线 同步数学教学课件 复习导入 定义 图示 垂线 线段中点 角平分线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 三角形高的概念 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? 知识点1 探究新知 问题　 你还记得如何 “过一点画已知直线的垂线” 吗? 追问 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 3 三角形的高 【定义】从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作_____，_____和_____之间的_____叫做三角形的高． A B C D 垂线 顶点 垂足 线段 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 ∵AD是△ABC的高, 反之， 如图 （已知） ∴AD⊥BC（∠BDA =90°). ∵AD⊥BC（∠BDA =90°）, （已知） ∴AD是△ABC的高. （ ） 符号语言 三角形的高线定义 三角形的高线定义 三角形的高 A B C D 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 问题　 你能画出此三角形AC边上的高线吗？ A B C D 你还能画出一条高来吗？ 一个三角形有三个顶点，应该有三条高. 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 问题　 分别画出直角三角形和钝角三角形的三条高. A C B C B A 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗？ (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O (3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部？ 锐角三角形的三条高交于同一点； 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 如图所示； 锐角三角形的三条高 探究　 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 直角边BC边上的高是 ; 直角边AB边上的高是 ; (2) AC边上的高是 ; A B C (1) 画出直角三角形的三条高， AB BC 它们有怎样的位置关系？ D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 直角三角形的三条高 探究　 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 (1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？ A B C D E F (2) AC边上的高呢？ AB边上的高呢？ BC边上的高呢？ BF CE AD 钝角三角形的三条高 探究　 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 A B C D F (3)钝角三角形的三条高交于一点吗？ (4)它们所在的直线交于 一点吗？ O E 钝角三角形的三条高不相交于一点； 钝角三角形的三条高所在的直线交于一点. 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形的三条高所在直线交于一点. 三条高所在直线的 交点的位置 三角形的三条高的特性： 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 在下图中，正确画出△ABC 中边BC 上高的是（ ）． A. B. C. D. A D C B A D C B A D C B A D C B C 练习　 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，则 S△ABC = BC•AD , S△ABD= , S△ADC= ， 那么， S△ABD : S△ADC= . BD•AD DC•AD BD : DC 练习　 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 刚才我们学习了三角形的高，我们已经知道了三角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？ 三角形的中线 知识点2 问题　 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 三角形的中线 【定义】在三角形中，连接一个______与它____________ 的线段，叫做三角形的中线. 顶点 对边的中点 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 ∵AD是△ABC的中线， 反之，如图 （三角形的中线定义） （已知） ∴AD是△ABC的中线. （三角形的中线定义） ∵BD=DC= BC, 符号语言 （已知） ∴BD=DC= BC. 三角形的中线 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 问题　 你能画出△ABC的另外两边上的中线吗？ 三角形的中线都在三角形的内部，且必交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线． （1）AC = AE = EC； CD = ； AF = AB； （2）若S△ABC = 12 cm2， 则S△ABD = ． 2 2 BD 6 cm² A B C D E F G 练习　 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 S△ABC = 2S△ABM = 40 平方厘米 如图所示，AM 是△ABC的中线，△ABM 的面积是 20 平方厘米，求△ABC 的面积. 练习　 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 A B C D B C A A B C D 1 2 三角形的角平分线 知识点3 问题　 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗? 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 【定义】在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 三角形的角平分线 1 2 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 ∵AD是△ABC的角平分线, 反之，如图 ∴AD是△ABC的角平分线. 符号语言 ∴∠1=∠2= ∠BAC. 1 2 ∵∠1=∠2= ∠BAC , （已知） （三角形角平分线定义） （三角形角平分线定义） （已知） 三角形的角平分线 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 探究　 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个. (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系？ 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点. 三角形角平分线的性质 三角形的三条角平分线交于一点，称之为三角形的内心. 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，则： ∠1 = ； ∠3 = ； ∠ACB =2 . ∠2 ∠ABC或∠ABE ∠4或∠ACF A B C D E F 1 2 3 4 【课本P5 练习 第2题（2）】 练习　 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAC 的平分线，则BD = ________ = BC，∠BAE = _________ = ∠BAC. DC ∠CAE 练习　 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 数量及交点位置 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线. ∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°. 3条高，锐角三角形：内部；钝角三角形：外部；直角三角形：直角顶点 三角形 的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线. ∴ BD=CD= BC. 3条，交点叫作三角形的重心.在三角形内部 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 ∵AD是△ABC的∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ∠BAC 3条，在三角形内部 归纳小结 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 1.以下说法错误的是（ ） A.三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D.一个三角形的三条高所在直线、中线、角平分线分别交于同一个点 A 巩固练习 【基础巩固】 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 2.如图，（1）（2）和（3）中的三个∠B有什么不同？这三条△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？ 【课本P5 练习 第1题】 （1） （2） （3） A A A B B（D） B C C C D ∠B是锐角 ∠B是直角 ∠B是钝角 D 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 （1） （2） （3） A A A B B（D） B C C C D ∠B是锐角 ∠B是直角 ∠B是钝角 D 高AD在三角形内部 高AD在三角形的直角边上 高AD在三角形外部 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 规律： 锐角三角形的高在三角形的内部； 直角三角形的直角边上的高在另一直角边上； 钝角三角形较短边的高在三角形的外部. 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 3.填空： 如图，AD， BE， CF是△ABC的三条中线， 则AB＝2_____________，BD＝________________， AE＝ _______。 【课本P5 练习 第2题（1）】 A B C D E F AF（或BF） CD（或 BC） AC 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 4.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB = 5cm，AC = 3cm.△ABD的面积为a cm2， （1）S△ABC = ______cm2； （2）△ABD与△ACD的周长之差为___cm. 2a 2 【综合应用】 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 5.在△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，DE∥AC 交AB于E，EF∥AD 交BC 于F，试问EF是△BED的角平分线吗？说说你的理由. 【拓展提升】 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 解：EF是△BED的角平分线，理由如下： ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2. ∵ DE∥AC， ∴∠5=∠2=∠1. ∵EF∥AD， ∴∠3=∠5，∠4=∠1， ∴∠3=∠4， ∴EF 是△BED 的角平分线. 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 课堂小结 高 三角形的重要线段 中线 角平分线 重心 B A C F A B C D E F A B C E F D C B A E F O D B C A E F 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 课后作业 人教版数学八年级上册同步精编教学课件【学科网】 $$