精品解析：江西省九江市武宁县尚美中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题

尚美中学2023-2024学年下学期高一数学期中试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，则它的第8项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先观察分析写出数列的通项公式；再根据通项公式即可解答. 【详解】由题意知，数列的通项公式为， 所以它的第8项的值为. 故选：D. 2. 函数在处的瞬时变化率为（ ） A. －2 B. －4 C. － D. － 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，将代入导函数求值即可得瞬时变化率. 【详解】由题设，故. 故选：D 3. 已知的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由极限性质及导数定义求解即可. 【详解】由题意知，. 故选：A. 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 35 B. 30 C. 20 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 所以，即，解得. 故选：B. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，令，即可得解. 【详解】由函数，可得， 令，可得，所以函数的单调递减区间是. 故选：C. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原函数在区间上单调递增，则导函数在区间上恒大于或等于0，可求实数的取值范围. 【详解】由，则， 因为函数在区间上单调递增，所以恒成立， 即恒成立，则，解得. 故选：B 7. 若数列满足，，则（ ） A. B. 11 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】探索数列的周期性，根据数列的周期性求指定项. 【详解】因为.所以数列周期为3的数列. 所以 ，所以， 故. 故选：D 8. 已知，当时，有，则下列正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件确定，再根据函数单调性确定选择. 【详解】当时，有，所以 即当时，单调递减，所以 故选：D 【点睛】本题考查根据导数确定单调性、利用单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题. 二、多项选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小顒给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B， ，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D正确， 故选：BCD 10. 已知等差数列的前n项和为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和前项和公式即可求解. 【详解】因为为等差数列，所以，故A正确， 若数列的公差为0，则，则，B错误； 因为， 若数列的公差为0，则， 但若数列的公差不为0，则，C错误； 因为，D正确， 故选:AD. 11. 为研究需要，统计了两个变量，的数据情况如下表： 其中数据，，，，和数据，，，，的平均数分别为和，并且计算相关系数，经验回归方程为，则下列结论正确的为（ ） A. 点必在回归直线上，即 B. 变量，负线性相关 C. 当，则必有 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回归方程的性质和相关系数的性质逐个分析判断作答. 【详解】对于A，因为样本中心点必在回归直线上，所以，A正确； 对于B，因为相关系数，所以变量x，y负相关，B正确； 对于C，因为点不一定在回归直线上，所以当，不一定有，C错误； 对于D，因为相关系数，所以，D正确. 故选：ABD 12. 已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设切点坐标为，由导数求切线斜率，然后由直线过得斜率，从而求，根据有两解可得． 【详解】设切点为，由题意， 所以，整理得，此方程有两个不等的实根， 所以，或． 故选：AD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 等比数列中，，则__________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意，由等比数列的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】因为是等比数列，所以，所以或， 又在等比数列中，偶数项符号相同，所以. 故答案为： 14. 函数的图象在点处的切线斜率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可得切线斜率. 【详解】因为， ， 所以， 故答案为：. 15. 已知函数的导函数为，且满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将看成常数，利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出． 【详解】因为， 所以 ， 令得 ， ， ，故答案为6. 【点睛】本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题． 16. 在数列中，，则其前45项的和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由并项求和，代入计算，即可得到结果. 【详解】依题意得. 故答案为： 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 求下列函数的导函数. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数积的导数公式计算； （2）利用函数商的导数公式计算. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ， . 18. 已知函数，且. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1）； （2）增区间为，；减区间为. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据已知求得，再由导数几何意义求切线方程； （2）由（1）有，求单调区间即可. 【小问1详解】 由题设，则， 所以且，则，， 所以点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）， 当，即或，当,即, 故在区间，上递增，在区间上单调递减， 所以的增区间为，；减区间为. 19. 已知等差数列的前项和为，，且、、成等比数列. （1）求； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得数列的通项公式； （2）分析可知当时，；当时，.再利用等差数列的求和公式可求得结果. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 由得，解得， 因为，，整理可得，解得， 所以，. 【小问2详解】 解：当时，；当时，. 所以，数列的前项和为. 20. 从①，②，这两个条件中选择一个补充到下面问题中，并完成解答. 问题：已知数列的前项和为，且___________. （1）写出所选条件的序号，并求数列的通项公式； （2）若数列为等差数列，，，，成等差数列，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选择①：利用可得； 选择②：利用可得； （2）求出数列利用裂项相消可得答案. 【小问1详解】 选择①： ∵，∴①， 当时，②， ①-②得， 即：， 当时，，满足上式， ∴. 选择②： ∵①， 当时，②， ①-②得， 即：， 当时，，即， ∴数列是以2为公比，2为首项的等比数列. ∴. 【小问2详解】 设等差数列的公差为， ∴，，成等差数列， ∴，∴， 又，∴， ∴，， ∴. 21. 环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）.调研人员采集了50天的数据，制作了关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域I，II，III，IV，落入对应区域的样本点的个数依次为. （1）完成下面的列联表，并判断至少有多大把握认为“PM2.5平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆”有关； 汽车日流量 汽车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 PM2.5的平均浓度 合计 （2）经计算得到回归方程为，且这50天的汽车日流量的标准差252，PM2.5的平均浓度的标准差，求相关系数，并判断该回归方程是否有价值. 参考公式：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 回归方程，其中. 相关系数.若，则认为与有较强的线性相关性. 【答案】（1）列联表见解析，至少有的把握（但还不能有的把握）认为“PM2.5平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆”有关 （2），该回归方程有价值 【解析】 【分析】（1）列出列联表后进行独立性检验即可. （2）求出回归方程后，再求出相关系数判断相关性即可. 【小问1详解】 列联表如下： 汽车日流量 汽车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 16 8 24 PM2.5的平均浓度 6 20 26 合计 22 28 50 零假设：“PM2.5平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆”无关， 因为， 所以至少有的把握（但还不能有的把握）认为“PM2.5平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆”有关； 【小问2详解】 因为回归方程为，所以， 又因为， 所以. 与有较强的相关性，该回归方程有价值. 22. 已知函数 （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】 【详解】分析：（1）当时，．由可求切点的纵坐标为 ．切线的斜率即为该点出的导函数值，故求导函数，进而求导函数值，可得斜率．利用直线的点斜式方程可写出在处的切线方程为，化简可得 ． （2）由函数在上单调递减，可得在上恒成立．故先求．所以在上恒成立．利用分离变量法可得在上恒成立．构造函数． 求其导函数，利用导函数的正负判断函数在区间上的单调性，进而求其最小值．故． 详解：（1） 在处的切线方程为，即 （2） 在上单调递减 在上恒成立即在上恒成立记 恒成立，且显然不常数函数. 在上单调递减 实数的取值范围是. 点睛：（1）导函数的几何意义是某点处的导函数值是该点处切线的斜率； （2）函数在某区间上单调递减（递增），可转化该函数导函数在该区间上恒小于等于（大于等于）0. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 尚美中学2023-2024学年下学期高一数学期中试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，则它的第8项为（ ） A. B. C. D. 2. 函数在处的瞬时变化率为（ ） A. －2 B. －4 C. － D. － 3. 已知的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 35 B. 30 C. 20 D. 15 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若数列满足，，则（ ） A. B. 11 C. D. 8. 已知，当时，有，则下列正确的是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小顒给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. B. C D. 10. 已知等差数列的前n项和为，，则（ ） A. B. C. D. 11. 为研究需要，统计了两个变量，数据情况如下表： 其中数据，，，，和数据，，，，的平均数分别为和，并且计算相关系数，经验回归方程为，则下列结论正确的为（ ） A. 点必在回归直线上，即 B. 变量，负线性相关 C. 当，则必有 D. 12. 已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在等比数列中，，则__________. 14. 函数的图象在点处的切线斜率为________． 15. 已知函数的导函数为，且满足，则______． 16. 在数列中，，则其前45项的和为__________. 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 求下列函数的导函数. （1）； （2）. 18. 已知函数，且. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 19. 已知等差数列的前项和为，，且、、成等比数列. （1）求； （2）求数列的前项和. 20. 从①，②，这两个条件中选择一个补充到下面问题中，并完成解答. 问题：已知数列的前项和为，且___________. （1）写出所选条件的序号，并求数列的通项公式； （2）若数列为等差数列，，，，成等差数列，求数列的前项和. 21. 环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）.调研人员采集了50天的数据，制作了关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域I，II，III，IV，落入对应区域的样本点的个数依次为. （1）完成下面的列联表，并判断至少有多大把握认为“PM2.5平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆”有关； 汽车日流量 汽车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 PM2.5平均浓度 合计 （2）经计算得到回归方程为，且这50天的汽车日流量的标准差252，PM2.5的平均浓度的标准差，求相关系数，并判断该回归方程是否有价值. 参考公式：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10828 回归方程，其中. 相关系数.若，则认为与有较强的线性相关性. 22. 已知函数 （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$