1.4 全等三角形（八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

八年级数学上册《第1章 三角形的初步认识》 1.4 全等三角形 知识点一 全等图形 全等图形的概念： 能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 【注意】全等形的形状相同，大小相同，与图形所在的位置无关，因此平移、翻折、旋转前后的图形全等． 知识点二 全等三角形 1、全等形的有关概念和表示方法： （1）全等三角形： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示． 全等的表示方法：△ABC≌△FDE 【注意】在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （3）对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． （4）寻找对应元素的规律 ①有公共边的，公共边一般是对应边； ②有公共角的，公共角一般是对应角； ③有对顶角的，对顶角一般是对应角； ④两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边； ⑤两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角. 2、三种常见的全等类型： （1）平移型；（2）翻折型；（3）旋转型. 全等变化：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等． 知识点三 全等三角形的性质 性质1：全等三角形的对应边相等． 性质2：全等三角形的对应角相等． 拓展：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等． ②全等三角形的周长相等，面积相等． 【注意】 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 题型一 全等图形的识别 解题技巧提炼 根据定义来判断全等图形，能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 1．（2023秋•望花区期末）下列选项中，和如图全等的图形是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•锦江区校级期中）下列各组图形中，是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•雁塔区校级期中）下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•福田区期中）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 5．（2024春•长清区期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•凤山县期末）在下列各组图形中，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 题型二 全等三角形的概念及表示方法 解题技巧提炼 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．“全等”用符号“≌”表示．在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． 1．如图，若把△ABC绕点A旋转一定角度就得到△ADE，那么对应边AB　 　，BC＝　 　，对应角∠CAB＝　 　，∠B＝　 　． 2．如图，把△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，那么这两个三角形的关系可用符号表示为　 　，点B的对应顶点为　 　，边DE的对应边为　 　，∠BAC的对应角为　 　． 3．（2023秋•大同月考）如图，△ABC≌△DBE，请写出图中的对应角，对应边． ①∠B的对应角 　 　； ②∠C的对应角 　 ； ③∠BAC的对应角 　 　； ④AB的对应边 　 　； ⑤AC的对应边 　 ； ⑥BC的对应边 　 　． 4．如图，已知△ABE≌△ACD，试写出这两个三角形中相等的边和相等的角． 5．如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 6．如图所示，△ABC≌△ADE，写出其对应顶点、对应边及对应角． 题型三 利用全等三角形的性质求角度 解题技巧提炼 先利用全等三角形的性质确定两个三角形中角的对应关系，再由这种关系实现已知角和未知角之间的转换，从而求出所要求的角的读数等． 1．（2024•宣汉县一模）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠E＝115°，则∠BAC的度数是（　　） A．35° B．30° C．45° D．25° 2．（2024•濠江区二模）如图，已知△ABC≌△A′BC′，A′C′∥BC，∠C＝20°，则∠ABA′的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 3．（2023秋•通河县期末）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．65° 4．（2024•离石区模拟）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，△ABD≌△DEA，△BCD≌△EFA，则∠F+∠FAB+∠ABC＝（　　） A．240° B．360° C．180° D．300° 5．（2023秋•双河市期中）如图，已知△ADE≌△ACB，∠EAC＝10°，∠B＝20°，∠BAD＝110°，求∠DAE，∠C的度数． 6．（2023春•榆林期中）如图，AB与CD相交于点E，连接AD、AC、BC，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，求∠B的度数． 7．（2023春•叙州区期末）如图，△ABC≌△ADE，AC与DE相交于点F，∠B＝50°，∠C＝60°． （1）若AD平分∠BAC，求∠BAD的度数； （2）若AC⊥DE，求∠DAC的度数． 题型四 利用全等三角形的性质求线段长 解题技巧提炼 先利用全等三角形的性质确定两个三角形中边的对应关系，再由这种关系实现已知线段和未知线段之间的转换，从而求出所要求的线段的长等． 1．（2023秋•孟村县期末）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　　） A．12 B．7 C．2 D．14 2．（2023秋•宁津县期末）如图，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2，则AC＝（　　） A．2 B．8 C．5 D．3 3．（2023秋•泗洪县期末）如图，△ABD≌△EBC，AB＝4cm，BC＝7cm，则DE＝　 　cm． 4．（2023秋•西平县期末）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝8，BE＝5，则DE的长为 　 　． 5．（2023•黎城县一模）如图，△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，若AD＝11，BC＝7，求线段 AB的长． 6．（2024春•即墨区期中）如图，点B、E在AF上，已知△ABC≌△FED，∠A和∠F是对应角，CB和DE是对应边． （1）再写出其他的一组对应边和一组对应角； （2）判断AC与DF的位置关系，并说明理由； （3）若AF＝8，BE＝2，求AB的长． 题型五 利用全等三角形的性质证明线段或角相等 解题技巧提炼 利用全等三角形的性质证明线段、角的数量关系的方法是先根据全等三角形的性质，得到线段、对应角相等，然后根据等量关系将已知线段、角进行等量代换，再结合图形利用线段、角的和、差、倍、分关系进行计算、证明，此外，要注意挖掘图形中隐含的条件. 1．（2023•富顺县校级一模）如图，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是对应边，∠ACD和∠BCE相等吗？为什么？ 2．如图，已知△ABE≌△ACF，请确定BF与CE的大小关系，并说明理由． 3．（2023秋•鄂州期末）如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE． （1）求证：BD＝DE+CE； （2）请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE． 4．（2023秋•淄川区期末）完成下列各题： 如图，已知△ABC≌△AEF，∠EAB＝25°，∠F＝57°． （1）请说明：∠EAB＝∠CAF； （2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换； （3）求∠AMB的度数． 5．（2023秋•安次区校级期中）如图，已知△ABF≌△CDE． （1）若∠B＝35°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数； （2）求证：AE＝CF． 题型六 利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系 解题技巧提炼 证明两直线的位置关系时，通常考虑平行、垂直特殊的关系，证明平行的方法是将问题转化为证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，这些角的关系一般可由全等三角形的性质得到；证明垂直的方法是将问题转化为证明它们的夹角为90°或相关三角形的两锐角互余. 1．（2023秋•临桂区期中）如图，△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝5cm （1）求DE的长； （2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？ 2．（2023•朝阳区校级开学）如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判断AE与DE的关系，并证明你的结论． 3．（2023秋•无为市月考）如图，已知△ABE≌△CDF，且B，E，F，D四点在同一直线上，线段AE和线段CF在位置和数量上存在什么关系？并说明理由． 4．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数与DH的长； （2）求证：AB∥DE． 5．如图，已知△ACE≌△BCD，AC⊥BC，AE与BD交于点F，试探究AE与BD有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由． 题型七 全等三角形的性质在图形变换中的应用 解题技巧提炼 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等,因此可利用全等三角形的性质解决问题． 1．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF＝60°，那么∠DAE等于（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 2．如图，三角形纸片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（　　）cm． A．9 B．13 C．16 D．10 3．（2023•红桥区模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠CDF＝∠A B．A1E＝CF C．∠A1DE＝∠C1 D．DF＝FC 4．（2024春•太原期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移使点B与点C重合，得到△DCE，连接AD，则△ACD的周长为 　 cm． 5．（2023秋•邓州市期中）如图，两个全等的直角三角板重叠在一起，将其中的一个三角板ABC沿着BC方向平移到△DEF的位置，AC与DE交于点O．若AB＝10，DO＝2，CF＝3，则四边形CFDO的面积为 　 　． 6． 如图，将△ABC绕点A旋转至△ADE的位置，使点E落在BC边上，则对于结论：①DE＝BC；②∠EAC＝∠DAB；③EA平分∠DEC；④若DE∥AC，则∠DEB＝60°；其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 题型八 利用全等三角形的性质探究动点问题 解题技巧提炼 利用全等三角形的性质探究动点问题，主要是“化动为静”，再利用全等三角形的对应边相等解决问题，同时要注意对应关系的明确，有时要用到分类讨论的思想. 1．（2023秋•海港区期中）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s），则点Q的运动速度为　 cm/s，使得A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． 2．（2022秋•西城区校级期中）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，设运动时间为t，则当t＝　　s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 3．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，点D是AB中点，点P在线段BC上以每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A以每秒a个单位长度的速度运动．设运动的时间为t秒． （1）求CP的长（用含t的式子表示）； （2）若以点C、P、Q为顶点的三角形和以点B、D、P为顶点的三角形全等，并且∠B和∠C是对应角，求a和t的值． 4．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts． （1）如图（1），当t＝ 　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学上册《第1章 三角形的初步认识》 1.4 全等三角形 知识点一 全等图形 全等图形的概念： 能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 【注意】全等形的形状相同，大小相同，与图形所在的位置无关，因此平移、翻折、旋转前后的图形全等． 知识点二 全等三角形 1、全等形的有关概念和表示方法： （1）全等三角形： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示． 全等的表示方法：△ABC≌△FDE 【注意】在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （3）对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． （4）寻找对应元素的规律 ①有公共边的，公共边一般是对应边； ②有公共角的，公共角一般是对应角； ③有对顶角的，对顶角一般是对应角； ④两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边； ⑤两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角. 2、三种常见的全等类型： （1）平移型；（2）翻折型；（3）旋转型. 全等变化：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等． 知识点三 全等三角形的性质 性质1：全等三角形的对应边相等． 性质2：全等三角形的对应角相等． 拓展：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等． ②全等三角形的周长相等，面积相等． 【注意】 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 题型一 全等图形的识别 解题技巧提炼 根据定义来判断全等图形，能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 1．（2023秋•望花区期末）下列选项中，和如图全等的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【解答】解：如图全等的图形只有D选项符合， 故选：D． 【点评】本题主要考查了全等图形的定义，关键是准确识图解答． 2．（2024春•锦江区校级期中）下列各组图形中，是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据全等图形的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、形状相同，大小不等，不是全等图形，故A不符合题意； B、形状不同，不是全等图形，故B不符合题意； C、形状相同，大小相等，是全等图形，故C符合题意； D、形状不同，不是全等图形，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的定义是解题的关键． 3．（2024春•雁塔区校级期中）下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断． 【解答】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项不符合题意； B、两个图形能够完全重合，故本选项符合题意． C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项不符合题意； D、圆内两个正方形不能完全重合，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题． 4．（2024春•福田区期中）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【分析】直接利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案． 【解答】解：A、形状相同、大小相等的两个图形一定全等，故本选项不符合题意； B、长方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； C、两个全等图形面积一定相等，故本选项符合题意； D、两个正方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了全等图形和全等图形的性质，正确把握相关的定义或性质是解题关键． 5．（2024春•长清区期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断． 【解答】解：A、两个图形不能够完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形可以完全重合，是全等图形，符合题意； C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题． 6．（2023秋•凤山县期末）在下列各组图形中，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图形全等的定义对题目中给出的四个选项注意进行判断即可得出答案． 【解答】解：选项A中的两个图形的形状一样，大小相等， ∴该选项中的两个图形是全等形， 故选项A符合题意； 选项B，C，D中的两个图形形状一样，当大小不相等， ∴选项B，C，D中的两个图形不是全等形， 故选项B，C，D不符合题意． 故选：A． 【点评】此题主要考查了图形全等的定义，正确理解图形全等的定义是解决问题的关键． 题型二 全等三角形的概念及表示方法 解题技巧提炼 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．“全等”用符号“≌”表示．在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． 1．如图，若把△ABC绕点A旋转一定角度就得到△ADE，那么对应边AB　 　，BC＝　 　，对应角∠CAB＝　 　，∠B＝　 　． 【分析】根据旋转的性质、结合图形得出即可． 【解答】解：∵把△ABC绕点A旋转一定角度就得到△ADE， ∴△ACB≌△AED， ∴AB＝AD，BC＝DE，∠CAB＝∠EAD，∠B＝∠D， 故答案为：＝AD，DE，∠EAD，∠D． 【点评】本题考查了旋转的性质的应用，注意：旋转后得出的图形和原图形全等． 2．如图，把△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，那么这两个三角形的关系可用符号表示为　 　，点B的对应顶点为　 　，边DE的对应边为　 　，∠BAC的对应角为　 　． 【分析】由旋转的性质可得△ABC≌△ADE，即可求解． 【解答】解：∵把△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE， ∴△ABC≌△ADE， ∴点B的对应顶点为点D，边DE的对应边为BC，∠BAC的对应角为∠DAE， 故答案为：≌，点D，BC，∠DAE． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 3．（2023秋•大同月考）如图，△ABC≌△DBE，请写出图中的对应角，对应边． ①∠B的对应角 　 　； ②∠C的对应角 　 ； ③∠BAC的对应角 　 　； ④AB的对应边 　 　； ⑤AC的对应边 　 ； ⑥BC的对应边 　 　． 【分析】根据全等三角形的对应元素确定对应角、对应边即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DBE， ∴①∠B的对应角∠B； ②∠C的对应角∠E； ③∠BAC的对应角∠BDE； ④AB的对应边 DB； ⑤AC的对应边DE； ⑥BC的对应边BE． 故答案为：①∠B；②∠E；③∠BDE；④DB；⑤DE；⑥BE． 【点评】本题考查全等三角形对应元素的确定，掌握全等三角形对应元素的确定方法是解题的关键． 4．如图，已知△ABE≌△ACD，试写出这两个三角形中相等的边和相等的角． 【分析】根据全等三角形的性质，写出对应的边和角相等即可． 【解答】解：∵△ABE≌△ACD， ∴AB＝AC，AE＝AD，BE＝CD， ∠BAE＝∠CAD，∠B＝∠C，∠AEB＝∠D． 【点评】本题考查全等三角形的性质，找准全等三角形的对应元素是解题的关键． 5．如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【分析】由全等三角形的对应顶点，对应边、对应角的定义，即可得到答案． 【解答】解：对应顶点是点C和点C、点B和点D，对应边是AC和EC、BC和DC、AB和ED，对应角是∠A和∠E、∠B和∠D、∠ACB和∠ECD． 【点评】本题考查全等三角形的有关概念，关键是掌握全等三角形的对应顶点，对应边，对应角的定义． 6．如图所示，△ABC≌△ADE，写出其对应顶点、对应边及对应角． 【分析】由全等三角形的对应顶点、对应边及对应角的定义，即可得到答案． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴对应顶点是点A和点A、点B和点D、点E和点C，对应边是AB和AD、BC和DE、AE和AC，对应角是∠B和∠D、∠E和∠C、∠BAC和∠DAE． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应顶点、对应边及对应角的定义． 题型三 利用全等三角形的性质求角度 解题技巧提炼 先利用全等三角形的性质确定两个三角形中角的对应关系，再由这种关系实现已知角和未知角之间的转换，从而求出所要求的角的读数等． 1．（2024•宣汉县一模）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠E＝115°，则∠BAC的度数是（　　） A．35° B．30° C．45° D．25° 【分析】首先根据全等三角形的性质可得∠C＝∠E＝115°，再根据三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠E＝115°， ∴∠C＝∠E＝115°， ∵∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣115°﹣30°＝35°． 故选：A． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，以及三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解决问题的关键． 2．（2024•濠江区二模）如图，已知△ABC≌△A′BC′，A′C′∥BC，∠C＝20°，则∠ABA′的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】根据全等三角形的性质可得∠C＝∠C′＝20°，∠ABC＝∠A′BC′，进而可得∠ABA′＝∠CBC′，然后根据平行线的性质求出∠CBC′＝∠C′＝20°，即可求解． 【解答】解：∵△ABC≌△A′BC′，∠C＝20°， ∴∠C＝∠C′＝20°，∠ABC＝∠A′BC′， ∴∠ABA′＝∠CBC′， ∵A′C′∥BC， ∴∠CBC′＝∠C′＝20°， ∴∠ABA′＝20°； 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解题的关键． 3．（2023秋•通河县期末）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．65° 【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由直角三角形的性质可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE， ∵∠BCE＝65°， ∴∠ACD＝∠BCE＝65°， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∴∠CAF+∠ACD＝90°， ∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°， 故选：A． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键． 4．（2024•离石区模拟）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，△ABD≌△DEA，△BCD≌△EFA，则∠F+∠FAB+∠ABC＝（　　） A．240° B．360° C．180° D．300° 【分析】根据全等三角形的性质以及六边形的内角和，即可求解． 【解答】解：∵，△ABD≌△DEA，△BCD≌△EFA， ∴∠F＝∠C，∠FAE＝∠CDB，∠AEF＝∠DBC，∠DAE＝∠ADB，∠AED＝∠DBA，∠ADE＝∠DAB， ∴∠F+∠FAE+∠DAE+∠DAB+∠DBA+∠DBC＝∠C+∠CDB+∠ADB+∠ADE+∠AED+∠AEF， ∴∠F+∠FAB+∠ABC＝∠C+∠CDE+∠DEF， ∵六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°， ∴∠F+∠FAB+∠ABC720°＝360°， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质．解题的关键是掌握全等三角形的性质． 5．（2023秋•双河市期中）如图，已知△ADE≌△ACB，∠EAC＝10°，∠B＝20°，∠BAD＝110°，求∠DAE，∠C的度数． 【分析】根据角的和差求出∠DAE+∠CAB＝100°，根据全等三角形的性质求出∠DAE＝∠CAB＝50°，根据三角形内角和定理求出∠C即可． 【解答】解：∵∠EAC＝10°，∠BAD＝110°， ∴∠DAE+∠CAB＝∠BAD﹣∠EAC＝100°， ∵△ADE≌△ACB， ∴∠DAE＝∠CAB＝100°÷2＝50°， ∵∠B＝20°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠CAB＝110°． 【点评】本题考查全等三角形的性质、三角形内角和等于180度，掌握全等三角形性质是解题关键． 6．（2023春•榆林期中）如图，AB与CD相交于点E，连接AD、AC、BC，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，求∠B的度数． 【分析】根据全等三角形的性质得出AC＝AE，∠DAE＝∠BAC＝28°，∠B＝∠D，根据三角形内角和定理求得∠AEC，进而根据三角形外角的性质求得∠D，即可求解． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°， ∴AC＝AE，∠DAE＝∠BAC＝28°，∠B＝∠D， ∴． ∵∠AEC是△ADE的一个外角， ∴∠D＝∠AEC﹣∠DAE＝76°﹣28°＝48°， ∴∠B＝∠D＝48°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 7．（2023春•叙州区期末）如图，△ABC≌△ADE，AC与DE相交于点F，∠B＝50°，∠C＝60°． （1）若AD平分∠BAC，求∠BAD的度数； （2）若AC⊥DE，求∠DAC的度数． 【分析】（1）由三角形的内角和定理可求∠BAC＝70°，由角平分线的性质可求解； （2）全等三角形的性质可得∠B＝∠D＝50°，由三角形内角和定理可求∠DAC的度数． 【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝35°； （2）∵△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠D＝50°， ∵AC⊥DE， ∴∠DFC＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣50°＝40°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 题型四 利用全等三角形的性质求线段长 解题技巧提炼 先利用全等三角形的性质确定两个三角形中边的对应关系，再由这种关系实现已知线段和未知线段之间的转换，从而求出所要求的线段的长等． 1．（2023秋•孟村县期末）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　　） A．12 B．7 C．2 D．14 【分析】由全等三角形的性质得到AC＝DC＝7，CB＝CE＝5，再根据BD＝DC+CB即可得解． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴AC＝DC，CB＝CE， ∵CE＝5，AC＝7， ∴CB＝5，DC＝7， ∴BD＝DC+CB＝7+5＝12． 故选：A． 【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键． 2．（2023秋•宁津县期末）如图，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2，则AC＝（　　） A．2 B．8 C．5 D．3 【分析】根据全等三角形的对应边相等可得AC＝DB，再求出AB＝CD（AD﹣BC）＝3，那么AC＝AB+BC，代入数值计算即可得解． 【解答】解：∵△ACE≌△DBF， ∴AC＝DB， ∴AC﹣BC＝DB﹣BC，即AB＝CD， ∵AD＝8，BC＝2， ∴AB（AD﹣BC）（8﹣2）＝3， ∴AC＝AB+BC＝3+2＝5． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并求出AB＝CD是解题的关键． 3．（2023秋•泗洪县期末）如图，△ABD≌△EBC，AB＝4cm，BC＝7cm，则DE＝　 　cm． 【分析】根据全等三角形的性质得出BE＝AB＝4cm，BD＝BC＝7cm，代入DE＝BD﹣BE求出即可． 【解答】解：∵△ABD≌△EBC，AB＝4cm，BC＝7cm， ∴BE＝AB＝4cm，BD＝BC＝7cm， ∴DE＝BD﹣BE＝3（cm）， 故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等． 4．（2023秋•西平县期末）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝8，BE＝5，则DE的长为 　 　． 【分析】根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DCB，AC＝8， ∴AC＝BD＝8， ∵BD＝BE+DE，BE＝5， ∴DE＝3， 故答案为：3． 【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键． 5．（2023•黎城县一模）如图，△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，若AD＝11，BC＝7，求线段 AB的长． 【分析】根据全等三角形对应边相等可得AC＝DB，然后推出AB＝CD，再代入数据进行计算即可得解． 【解答】解：∵△ACF≌△DBE， ∴AC＝DB， ∴AC﹣BC＝DB﹣BC， 即AB＝CD， ∵AD＝11，BC＝7， ∴AB（AD﹣BC）（11﹣7）＝2 即AB＝2． 【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据图形以及全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出AC、DB是对应边是解题的关键． 6．（2024春•即墨区期中）如图，点B、E在AF上，已知△ABC≌△FED，∠A和∠F是对应角，CB和DE是对应边． （1）再写出其他的一组对应边和一组对应角； （2）判断AC与DF的位置关系，并说明理由； （3）若AF＝8，BE＝2，求AB的长． 【分析】（1）根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据全等三角形的性质得到∠A＝∠F，即可判定AC∥DF； （3）根据全等三角形的对应边相等得到AB＝FE，进而得出AE＝BF，根据线段的和差求解即可． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△FED， ∴∠ABC和∠DEF是对应角，∠C和∠D是对应角，AC和FD是对应边，AB和EF是对应边；（答案不唯一） （2）AC∥DF． 理由：因为△ABC≌△FED， 所以∠A＝∠F， 所以AC∥DF． （3）因为△ABC≌△FED， 所以AB＝FE， 所以AB﹣BE＝FE＝BE，即AE＝BF． 因为AF＝8，BE＝2， 所以AE+BF＝AF﹣BE＝6， 所以AE＝3， 所以AB＝AE+BE＝5． 【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 题型五 利用全等三角形的性质证明线段或角相等 解题技巧提炼 利用全等三角形的性质证明线段、角的数量关系的方法是先根据全等三角形的性质，得到线段、对应角相等，然后根据等量关系将已知线段、角进行等量代换，再结合图形利用线段、角的和、差、倍、分关系进行计算、证明，此外，要注意挖掘图形中隐含的条件. 1．（2023•富顺县校级一模）如图，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是对应边，∠ACD和∠BCE相等吗？为什么？ 【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠DCE，再根据等式的性质两边同时减去∠ACE可得结论． 【解答】证明：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE， 即∠ACD＝∠BCE． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等． 2．如图，已知△ABE≌△ACF，请确定BF与CE的大小关系，并说明理由． 【分析】根据全等三角形的对应边相等得到AB＝AC，AE＝AF，结合图形计算，证明结论． 【解答】解：BF＝CE， 理由如下：∵△ABE≌△ACF， ∴AB＝AC，AE＝AF， ∴AB﹣AF＝AC﹣AE，即BF＝CE． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 3．（2023秋•鄂州期末）如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE． （1）求证：BD＝DE+CE； （2）请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE． 【分析】（1）利用全等三角形的性质可得AD＝CE，BD＝AE，然后再等量代换即可； （2）利用平行线的判定方法和全等三角形的性质进行推理即可． 【解答】（1）证明：∵△BAD≌△ACE， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∵A，D，E三点在同一直线上， ∴AE＝AD+DE， ∴BD＝CE+DE； （2）解：当∠ADB＝90°时，BD∥CE， ∵△BAD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠E＝90°， ∴BD∥CE． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等、对应角相等． 4．（2023秋•淄川区期末）完成下列各题： 如图，已知△ABC≌△AEF，∠EAB＝25°，∠F＝57°． （1）请说明：∠EAB＝∠CAF； （2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换； （3）求∠AMB的度数． 【分析】（1）由全等三角形的性质可得∠BAC＝∠EAF，根据等角加同角相等即可得到∠EAB＝∠FAC； （2）根据旋转的性质即可求解； （3）由（1）知∠EAB＝∠FAC＝25°，由全等三角形的性质可得∠C＝∠F＝57°，根据三角形外角性质可得∠AMB＝∠C+∠FAC，代入计算即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△AEF， ∴∠BAC＝∠EAF， ∴∠EAB+∠BAF＝∠FAC+∠BAF， ∴∠EAB＝∠CAF； （2）∵∠EAB＝25°，△ABC≌△AEF， ∴△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF； （3）由（1）知，∠EAB＝∠FAC＝25°， ∵△ABC≌△AEF， ∴∠C＝∠F＝57°， ∴∠AMB＝∠C+∠FAC＝57°+25°＝82°． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质、旋转的性质、三角形外角性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 5．（2023秋•安次区校级期中）如图，已知△ABF≌△CDE． （1）若∠B＝35°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数； （2）求证：AE＝CF． 【分析】（1）由全等三角形的性质可得∠B＝∠D＝35°，再结合三角形的外角的性质可得答案； （2）由全等三角形的性质证明∠B＝∠D，AB＝CD，BF＝DE，可得BE＝DF，再证明△ABE≌△CDF，从而可得结论． 【解答】解：（1）∵△ABF≌△CDE，∠B＝35°， ∴∠B＝∠D＝35°， ∵∠DCF＝40°， ∴∠EFC＝∠D+∠DCF＝35°+40°＝75°； （2）∵△ABF≌△CDE， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，BF＝DE， ∴BF﹣EF＝DE﹣EF， ∴BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 题型六 利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系 解题技巧提炼 证明两直线的位置关系时，通常考虑平行、垂直特殊的关系，证明平行的方法是将问题转化为证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，这些角的关系一般可由全等三角形的性质得到；证明垂直的方法是将问题转化为证明它们的夹角为90°或相关三角形的两锐角互余. 1．（2023秋•临桂区期中）如图，△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝5cm （1）求DE的长； （2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？ 【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等得到BD＝BC＝5cm，BE＝AB＝2cm，计算即可； （2）根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答． 【解答】解：（1）∵△ABD≌△EBC， ∴BD＝BC＝5cm，BE＝AB＝2cm， ∴DE＝BD﹣BE＝3cm； （2）DB与AC垂直， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠ABD＝∠EBC， 又A、B、C在一条直线上， ∴∠EBC＝90°， ∴DB与AC垂直． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 2．（2023•朝阳区校级开学）如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判断AE与DE的关系，并证明你的结论． 【分析】先根据AB⊥BC得出∠B＝90°，再由△ABE≌△ECD可知∠A＝∠DEC，∠AEB＝∠EDC，∠B＝∠C＝90°，由∠A+∠AEB＝90°，∠DEC+∠D＝90°可知∠AEB+∠DEC＝90°，故∠AED＝90°，由此可得出结论． 【解答】解：AE⊥DE，AE＝DE． 理由如下：∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°． ∵△ABE≌△ECD， ∴∠A＝∠DEC，∠AEB＝∠EDC，∠B＝∠C＝90°． ∵∠A+∠AEB＝90°，∠DEC+∠D＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠AED＝90°，即AE⊥DE． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解答此题的关键． 3．（2023秋•无为市月考）如图，已知△ABE≌△CDF，且B，E，F，D四点在同一直线上，线段AE和线段CF在位置和数量上存在什么关系？并说明理由． 【分析】利用△ABE≌△CDF，可以得出AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，又∠AEB+∠AEF＝180°，∠CFD+∠CFE＝180°有∠AEF＝∠CFE，从而求证． 【解答】解：结论：AE∥CF，AE＝CF． 理由：∵△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∵∠AEB+∠AEF＝180°，∠CFD+∠CFE＝180°， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF． 【点评】此题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质，平行线的判定和等角的补角相等是解题的关键． 4．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数与DH的长； （2）求证：AB∥DE． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠F＝∠ACB，即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出∠B＝∠DEF，根据平行线的判定得出即可． 【解答】解：（1）∵∠A＝85°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°， ∵△ABC≌△DEF，AB＝8， ∴∠F＝∠ACB＝35°，DE＝AB＝8， ∵EH＝2， ∴DH＝8﹣2＝6； （2）证明：∵△ABC≌△DEF， ∴∠DEF＝∠B， ∴AB∥DE． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，难度适中． 5．如图，已知△ACE≌△BCD，AC⊥BC，AE与BD交于点F，试探究AE与BD有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由． 【分析】由全等可得∠A＝∠B，设AE与BC交于点G，由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，所以∠A+∠AGC＝90°，又由对顶角相等可得∠AGC＝∠BGF，则∠BGF+∠B＝90°，进而可得∠BFG＝90°，即AE⊥BD． 【解答】解：AE＝BD且AE⊥BD，理由如下： ∵△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD，∠A＝∠B， 设AE与BC交于点G， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A+∠AGC＝90°， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BGF+∠B＝90°， ∴∠BFG＝90°，即AE⊥BD． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，垂直的定义和余角等相关知识，熟知相关知识是解题关键． 题型七 全等三角形的性质在图形变换中的应用 解题技巧提炼 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等,因此可利用全等三角形的性质解决问题． 1．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF＝60°，那么∠DAE等于（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【分析】利用翻折变换的性质得出∠DAE＝∠EAF，进而求出∠DAE的度数． 【解答】解：∵将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处， ∴∠DAE＝∠EAF， ∵∠BAF＝60°， ∴∠DAE＝∠EAF∠DAF（90°﹣60°）＝15°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，根据已知得出∠DAE＝∠EAF是解题关键． 2．如图，三角形纸片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（　　）cm． A．9 B．13 C．16 D．10 【分析】根据折叠的性质可知ED＝CD、BE＝BC，结合AB＝10cm、BC＝7cm、AC＝6cm可得出AE＝3cm、AC＝ED+AD，再套用三角形的周长公式即可得出△AED的周长． 【解答】解：根据折叠的性质可知：ED＝CD，BE＝BC， ∵AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm， ∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝3cm，AC＝CD+AD＝ED+AD＝6cm， ∴C△AED＝AD+ED+AE＝AC+AE＝9cm． 故选：A． 【点评】本题考查了翻折变换以及三角形的周长，根据翻折变换找出相等的量是解题的关键． 3．（2023•红桥区模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠CDF＝∠A B．A1E＝CF C．∠A1DE＝∠C1 D．DF＝FC 【分析】根据将△ABC绕点B顺时针旋转，得到△A1BC1，可证明△A1BF≌△CBE，从而可得A1E＝CF，即可得到答案． 【解答】解：∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∵将△ABC绕点B顺时针旋转，得到△A1BC1， ∴A1B＝AB＝BC，∠A1＝∠A＝∠C， 在△A1BF和△CBE中 ， ∴△A1BF≌△CBE（ASA）， ∴BF＝BE， ∴A1B﹣BE＝BC﹣BF，即A1E＝CF，故B正确， 其它选项的结论都不能证明， 故选：B． 【点评】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握掌握旋转的性质，证明△A1BF≌△CBE． 4．（2024春•太原期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移使点B与点C重合，得到△DCE，连接AD，则△ACD的周长为 　 cm． 【分析】根据平移的性质得出AB＝DC＝6cm，AC＝DE＝6cm，BC＝EC＝4cm，△ABC≌△DCE，根据全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DEC，∠B＝∠DCE，则AC∥DE，AD∥CE，根据“两条平行线间的平行线线段相等”得出AD＝CE＝4cm，根据周长定义求解即可． 【解答】解：根据平移的性质得，AB＝DC＝6cm，AC＝DE＝6cm，BC＝EC＝4cm，△ABC≌△DCE， ∴∠ACB＝∠DEC，∠B＝∠DCE， ∴AC∥DE，AD∥CE， ∴AD＝CE＝4cm， ∴△ACD的周长＝AD+AC+CD＝4+6+6＝16（cm）， 故答案为：16． 【点评】此题考查了全等三角形的性质、平移的性质，熟练掌握全等三角形的性质、平移的性质是解题的关键． 5．（2023秋•邓州市期中）如图，两个全等的直角三角板重叠在一起，将其中的一个三角板ABC沿着BC方向平移到△DEF的位置，AC与DE交于点O．若AB＝10，DO＝2，CF＝3，则四边形CFDO的面积为 　 　． 【分析】根据全等三角形的性质得到S△ABC＝S△DEF，DE＝AB＝10，根据梯形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：∵△ABC沿着BC方向平移到△DEF， ∴△ABC≌△DEF， ∴S△ABC＝S△DEF，DE＝AB＝10， ∴S△ABC﹣S△OEC＝S△DEF﹣S△OEC，OE＝DE﹣DO＝8， ∴四边形DOCF的面积＝S梯形ABEO（8+10）×3＝27． 故答案为：27． 【点评】本题考查的是平移的性质、全等三角形的性质以及梯形的面积计算，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 6． 如图，将△ABC绕点A旋转至△ADE的位置，使点E落在BC边上，则对于结论：①DE＝BC；②∠EAC＝∠DAB；③EA平分∠DEC；④若DE∥AC，则∠DEB＝60°；其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由旋转的性质可知，△ABC≌△ADE，DE＝BC；∠CAE＝∠CAB﹣∠BAE，∠DAB＝∠DAE﹣∠BAE，可得∠EAC＝∠DAB；AE＝AC，则∠AEC＝∠C，再由∠C＝∠AED，可得∠AEC＝∠AED；DE∥AC，则有∠C＝∠BED，∠AEC＝∠AED，所以∠DEB＝60°． 【解答】解：由旋转的性质可知，△ABC≌△ADE， ∴DE＝BC，∠BAC＝∠DAE， ∴∠CAE＝∠CAB﹣∠BAE，∠DAB＝∠DAE﹣∠BAE， ∴∠EAC＝∠DAB； ∵AE＝AC， ∴∠AEC＝∠C， ∵∠C＝∠AED， ∴∠AEC＝∠AED， ∴EA平分∠DEC； ∵DE∥AC， ∴∠C＝∠BED， ∵∠AEC＝∠AED， ∴∠DEB＝60°； ∴四个都正确； 故选：A． 【点评】本题考查图形的旋转；掌握三角形旋转前后是全等图形，根据全等三角形的性质解题是关键． 题型八 利用全等三角形的性质探究动点问题 解题技巧提炼 利用全等三角形的性质探究动点问题，主要是“化动为静”，再利用全等三角形的对应边相等解决问题，同时要注意对应关系的明确，有时要用到分类讨论的思想. 1．（2023秋•海港区期中）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s），则点Q的运动速度为　 cm/s，使得A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． 【分析】设点Q的运动速度是xcm/s，有两种情况：①AP＝BP，AC＝BQ，②AP＝BQ，AC＝BP，列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设点Q的运动速度是xcm/s， ∵∠CAB＝∠DBA＝60°， ∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况： ①AP＝BP，AC＝BQ， 则1×t＝4﹣1×t， 解得：t＝2， 则3＝2x， 解得：x＝1.5； ②AP＝BQ，AC＝BP， 则1×t＝tx，4﹣1×t＝3， 解得：t＝1，x＝1， 故答案为：1或1.5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 2．（2022秋•西城区校级期中）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，设运动时间为t，则当t＝　　s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【分析】由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知CE＝CD，而CE，CD的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分当E在BC上，D在AC上时或当E在AC上，D在AC上时，或当E到达A，D在BC上时，分别讨论． 【解答】解：①当E在BC上，D在AC上时，即0＜t， CE＝（8﹣3t）cm，CD＝（6﹣t）cm， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． ∴CD＝CE， ∴8﹣3t＝6﹣t， ∴t＝1； ②当E在AC上，D在AC上时，即t＜6， CE＝（3t﹣8）cm，CD＝（6﹣t）cm， ∴3t﹣8＝6﹣t， ∴t； ③当E到达A，D在BC上时，即6≤t≤14， CE＝6cm，CD＝（t﹣6）cm， ∴6＝t﹣6， ∴t＝12． 综上所述，当t＝1或或12s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 故答案为：1或或12． 【点评】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类，分别表示出每种情况下CD和CE的长． 3．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，点D是AB中点，点P在线段BC上以每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A以每秒a个单位长度的速度运动．设运动的时间为t秒． （1）求CP的长（用含t的式子表示）； （2）若以点C、P、Q为顶点的三角形和以点B、D、P为顶点的三角形全等，并且∠B和∠C是对应角，求a和t的值． 【分析】（1）用BC的长度减去BP的长度即可； （2）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵BC＝8， ∴CP＝8﹣3t （2）分两种情况： ①当△CPQ≌△BPD时，BP＝CP，8﹣3t＝3t， t； BD＝CQ，a＝5， ∴a ②当△CPQ≌△BDP时，CP＝BD，8﹣3t＝5， t＝1； CQ＝BP， ∴a＝3． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． 4．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts． （1）如图（1），当t＝ 　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度． 【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可； （2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P在AC上，AP＝4，AQ＝5，②当点P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度． 【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1， 若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CPBCcm， 此时，点P移动的距离为AC+CP＝12， 移动的时间为：3秒， ②当点P在BA上时，如图①﹣2 若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PDAB，即点P为BA中点， 此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9cm， 移动的时间为：3秒， 故答案为：或； （2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F； ①当点P在AC上，如图②﹣1所示： 此时，AP＝4，AQ＝5， ∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）cm/s， ②当点P在AB上，如图②﹣2所示： 此时，AP＝4，AQ＝5， 即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm， ∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）cm/s， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF， 点Q的运动速度为cm/s或cm/s． 【点评】考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$