第六章 平面向量及其应用 单元检测-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章　单元质量评估卷(原卷版） [时间：120分钟　　满分：150分] 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为(　　) A．a＋b－c　　　　　　　 B．a－b＋c C．b－a＋c D．b－a－c 2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　) A. B. C. D. 3．向量a＝(－1，1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 4．已知△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B等于(　　) A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 5．△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(　　) A. B. C. D. 6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方向的D处测得水柱顶端A的仰角为45°，沿D向北偏东30°方向前进100 m后到达C处，在C处测得水柱顶端A的仰角为30°，则水柱的高度是(　　) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 7．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积S为(　　) A. B. C. D．6 8.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，则·＝(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　) A．(4，－8) B．(8，4) C．(－4，－8) D．(－4，8) 10．若a，b，a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则(　　) A．a＝b B．a·(a＋b)＝b·(a＋b) C．|a|＝|b| D．|a＋b|＝|a－b| 11．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B可以是(　　) A．－ B. C．－ D. 12．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　) A．|b|＝1 B．|a|＝1 C．a∥b D．(4a＋b)⊥ 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 14．同一平面内的三个单位向量a，b，c两两夹角都是，则a－b与a＋c的夹角是________． 15．在△ABC中，已知D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°，若AC＝AB，则BD＝________． 16．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m．(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b上的投影向量为－，求： (1)a与b的夹角θ； (2)(a－2b)·b. 18．(12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y. (1)若＝，求x，y的值； (2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值． 19．(12分)设向量a＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线． (1)求证：(a＋b)⊥(a－b)； (2)若a＋b与a－b的模相等，求角α. 20．(12分)在①b2＋ac＝a2＋c2，②acos B＝bsin A，③sin B＋cos B＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，A＝，b＝，求△ABC的面积． 21．(12分)如图所示，A，B两个小岛相距21 n mile，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9 n mile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6 n mile/h的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多长时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离． 22．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c满足＋＝. (1)求角C的大小； (2)若边长c＝，求a＋2b的最大值． 1．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线应满足的条件是(　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 2．已知向量a，b，c互不平行，且λ1a＋λ2b＋λ3c＝0(λ1，λ2，λ3∈R)，则(　　) A．λ1，λ2，λ3一定全为0 B．λ1，λ2，λ3中至少有一个为0 C．λ1，λ2，λ3可以全不为0 D．λ1，λ2，λ3的值只有一组 3．下列命题中，正确的是(　　) A．a＝(－2，5)与b＝(4，－10)方向相同 B．a＝(4，10)与b＝(－2，－5)方向相反 C．a＝(－3，1)与b＝(－2，－5)方向相反 D．a＝(2，4)与b＝(－3，1)的夹角为锐角 4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b<c，则b＝(　　) A．3 B．2 C．2 D. 5．在△ABC中，已知a＝2bcos C，那么△ABC的内角B，C之间的关系是(　　) A．B>C B．B＝C C．B<C D．关系不确定 6．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋，则等于(　　) A. B. C. D. 7．设a，b是共线的单位向量，则|a＋b|的值(　　) A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于2 8．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于(　　) A．76 B．2 C．27 D．2 9.如图，若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　) A. B. C. D. 10．在△ABC中，cos Acos B>sin Asin B，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 11．已知＝a，＝b，＝c且满足λ·c＝0(λ>0)，则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定 12．已知点A(2，3)，C(0，1)，且＝－2，则点B的坐标为________． 13．已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cos Bcos C－sin Bsin C＝. (1)求A； (2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积． 14．已知|a|＝3，|b|＝4，且满足(2a－b)·(a＋2b)≥4，求a与b的夹角θ的范围． 15．(1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a与b的夹角θ； (2)设O为坐标原点，＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，在线段OC上是否存在点M，使⊥，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 16．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°. (1)求证：(a－b)⊥c； (2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围． 17．在△ABC中，C－A＝，sin B＝. (1)求sin A的值； (2)设AC＝，求△ABC的面积． 第六章　单元质量评估卷(解析版） [时间：120分钟　　满分：150分] 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为(　　) A．a＋b－c　　　　　　　 B．a－b＋c C．b－a＋c D．b－a－c 答案　C 解析　依题意得，＝－＝＋－，即＝b－a＋c.故选C. 2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.故选A. 3．向量a＝(－1，1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 答案　B 解析　依题意可设a＋2b＝λa(λ>0)，则b＝(λ－1)a， ∴a·b＝(λ－1)a2＝(λ－1)×2＝λ－1>－1. 4．已知△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B等于(　　) A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 答案　D 解析　由正弦定理，得＝.所以sin B＝sin A＝sin 30°＝.又a<b，则A<B，所以B＝60°或120°. 5．△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，则b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝. 6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方向的D处测得水柱顶端A的仰角为45°，沿D向北偏东30°方向前进100 m后到达C处，在C处测得水柱顶端A的仰角为30°，则水柱的高度是(　　) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 答案　A 解析　如图，设水柱高AB＝h m. 依题意有∠ADB＝45°，∠BDC＝90°－30°＝60°，∠ACB＝30°，且AB⊥BD，AB⊥BC. 由图可知，BD＝AB＝h，BC＝＝h，CD＝100，又∵∠BDC＝60°，∴在△BCD中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos 60°， 即(h)2＝h2＋1002－100h， 解得h＝50. 7．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积S为(　　) A. B. C. D．6 答案　A 解析　由b2－bc－2c2＝0，整理得b2－c2＝c2＋bc， 即b－c＝c，b＝2c. 由cos A＝＝＝， 得c2＝4，c＝2，b＝4.又sin A＝， ∴S＝bcsin A＝×2×4×＝.故选A. 8.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，则·＝(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 答案　B 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　) A．(4，－8) B．(8，4) C．(－4，－8) D．(－4，8) 答案　AD 10．若a，b，a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则(　　) A．a＝b B．a·(a＋b)＝b·(a＋b) C．|a|＝|b| D．|a＋b|＝|a－b| 答案　BC 11．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B可以是(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　AD 12．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　) A．|b|＝1 B．|a|＝1 C．a∥b D．(4a＋b)⊥ 答案　BD 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 答案　 解析　由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝＝＝. 14．同一平面内的三个单位向量a，b，c两两夹角都是，则a－b与a＋c的夹角是________． 答案　 解析　(a－b)·(a＋c) ＝a2－a·b＋a·c－b·c ＝1－1×1×＋1×1×－1×1× ＝， |a－b|＝ ＝ ＝， |a＋c|＝ ＝ ＝1， 设a－b与a＋c夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， 又0≤θ≤π，∴θ＝. 15．在△ABC中，已知D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°，若AC＝AB，则BD＝________． 答案　2＋ 解析　设AB＝k，则AC＝k.再设BD＝x，则DC＝2x. 在△ABD中，由余弦定理，得 k2＝x2＋2－2·x·×＝x2＋2＋2x.① 在△ADC中，由余弦定理，得 2k2＝4x2＋2－2·2x·×＝4x2＋2－4x， 即k2＝2x2＋1－2x.② 由①②得x2－4x－1＝0，解得x＝2＋(负值舍去)． 故BD＝2＋. 16．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m．(本题第一空2分，第二空3分) 答案　20　 解析　如图，设甲楼高为AB，乙楼高为CD，由题意知AC＝20 m. 在△ABC中，∠BAC＝90°，所以AB＝ACtan 60°＝20(m)，BC＝40 m，在△BCD中，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°－30°＝30°，则∠BDC＝180°－30°－30°＝120°.由正弦定理，得＝，所以CD＝·BC＝(m)． 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b上的投影向量为－，求： (1)a与b的夹角θ； (2)(a－2b)·b. 解析　(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1，|a|cos θ·＝－，　 ∴cos θ＝－.由于θ∈[0，π]，∴θ＝. (2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3. 18．(12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y. (1)若＝，求x，y的值； (2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值． 解析　(1)若＝，则＝＋， 故x＝y＝. (2)若＝3， 则＝＋， ·＝· ＝－2－·＋2 ＝－×42－×4×2×cos 60°＋×22 ＝－3. 19．(12分)设向量a＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线． (1)求证：(a＋b)⊥(a－b)； (2)若a＋b与a－b的模相等，求角α. 解析　(1)证明：由题意，得a＋b＝(cos α－，sin α＋)，a－b＝， 因为(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝1－1＝0， 所以(a＋b)⊥(a－b)． (2)因为a＋b与a－b的模相等， 所以(a＋b)2＝(a－b)2， 所以|a|2－|b|2＋2a·b＝0. 因为|a|＝1，|b|＝＝1， 所以|a|2＝|b|2，所以a·b＝0， 所以－cos α＋sin α＝0，所以tan α＝， 又因为0≤α<2π， 所以α＝或α＝. 20．(12分)在①b2＋ac＝a2＋c2，②acos B＝bsin A，③sin B＋cos B＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，A＝，b＝，求△ABC的面积． 解析　若选择条件①b2＋ac＝a2＋c2， 由余弦定理得cos B＝＝＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝. 由正弦定理，得＝， 得a＝＝＝， 因为A＝，B＝， 所以C＝π－－＝， 所以sin C＝sin ＝sin ＝sin cos ＋cos sin ＝， 所以S△ABC＝absin C＝××× ＝. 若选择条件②acos B＝bsin A， 则由正弦定理，得sin Acos B＝sin Bsin A， 因为A∈(0，π)，即sin A≠0，所以sin B＝cos B， 因为B∈(0，π)，所以B＝. 下同选择条件①. 若选择条件③sin B＋cos B＝， 则sin＝，所以sin＝1， 因为B∈(0，π)，所以B＋∈， 所以B＋＝，所以B＝. 下同选择条件①. 21．(12分)如图所示，A，B两个小岛相距21 n mile，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9 n mile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6 n mile/h的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多长时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离． 解析　设行驶t小时后，甲船行驶了9t n mile到达C处，乙船行驶了6t n mile到达D处． 当9t<21，即t<时，C在线段AB上，此时BC＝21－9t， 在△BCD中，BC＝21－9t，BD＝6t，∠CBD＝180°－60°＝120°， 由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 120° ＝(21－9t)2＋(6t)2－2×(21－9t)×6t× ＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189. ∴当t＝2时，CD取得最小值＝3. 当t＝时，C与B重合，此时CD＝6×＝14>3. 当t>时，BC＝9t－21，则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2×(9t－21)×6t×cos 60°＝63t2－252t＋441 ＝63(t－2)2＋189>189. 综上可知，当t＝2时，CD取最小值3 n mile，故行驶2 h后，甲、乙两船相距最近，为3 n mile. 22．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c满足＋＝. (1)求角C的大小； (2)若边长c＝，求a＋2b的最大值． 解析　(1)由＋＝及正弦定理得cos Bsin C＋sin Bcos C＝2sin Acos C， 即sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，所以cos C＝. 又C∈(0，π)，故C＝. (2)a＋2b＝(sin A＋2sin B)＝2[sin(B＋C)＋2sin B]＝2＝5sin B＋cos B， 令cos φ＝，sin φ＝，则a＋2b＝sin(B＋φ)， 当B＋φ＝时，(a＋2b)max＝＝2. 1．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线应满足的条件是(　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 答案　D 解析　A，B，C三点共线即存在实数k，使得＝k，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以有λa＝ka，b＝kμb，即λ＝k，1＝kμ，得λμ＝1. 2．已知向量a，b，c互不平行，且λ1a＋λ2b＋λ3c＝0(λ1，λ2，λ3∈R)，则(　　) A．λ1，λ2，λ3一定全为0 B．λ1，λ2，λ3中至少有一个为0 C．λ1，λ2，λ3可以全不为0 D．λ1，λ2，λ3的值只有一组 答案　C 解析　在△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a，b，c互不平行，且a＋b＋c＝0，排除A、B.由2a＋2b＋2c＝0，排除D，所以选C. 3．下列命题中，正确的是(　　) A．a＝(－2，5)与b＝(4，－10)方向相同 B．a＝(4，10)与b＝(－2，－5)方向相反 C．a＝(－3，1)与b＝(－2，－5)方向相反 D．a＝(2，4)与b＝(－3，1)的夹角为锐角 答案　B 解析　在B中，a＝(4，10)＝－2(－2，－5)＝－2b，∴a与b方向相反． 4．(设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b<c，则b＝(　　) A．3 B．2 C．2 D. 答案　C 解析　由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A，即有4＝b2＋12－4×b，解得b＝2或4，由b<c，可得b＝2.故选C. 5．在△ABC中，已知a＝2bcos C，那么△ABC的内角B，C之间的关系是(　　) A．B>C B．B＝C C．B<C D．关系不确定 答案　B 6．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　已知在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋，则点D在与AB边平行的中位线上，且为靠近BC边的三等分点，从而有S△ABD＝S△ABC. 7．设a，b是共线的单位向量，则|a＋b|的值(　　) A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于2 答案　D 8．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于(　　) A．76 B．2 C．27 D．2 答案　B 解析　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝76，所以b＝2. 9.如图，若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为＝4＝r＋s， 所以＝＝(－)＝r＋s， 所以r＝，s＝－，所以3r＋s＝－＝. 10．在△ABC中，cos Acos B>sin Asin B，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 答案　C 11．已知＝a，＝b，＝c且满足λ·c＝0(λ>0)，则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定 答案　A 12．已知点A(2，3)，C(0，1)，且＝－2，则点B的坐标为________． 答案　(－2，－1) 解析　设点B的坐标为(x，y)， 则＝(x－2，y－3)，＝(－x，1－y)． 又＝－2， ∴(x－2，y－3)＝－2(－x，1－y)＝(2x，2y－2)． ∴x＝－2，y＝－1. 13．已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cos Bcos C－sin Bsin C＝. (1)求A； (2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积． 解析　(1)∵cos Bcos C－sin Bsin C＝， ∴cos (B＋C)＝. ∵A＋B＋C＝π，∴cos (π－A)＝.∴cos A＝－. 又∵0<A<π，∴A＝. (2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cos A， 则(2)2＝(b＋c)2－2bc－2bc·cos ， ∴12＝16－2bc－2bc×.∴bc＝4. ∴S△ABC＝bc·sin A＝×4×＝. 14．已知|a|＝3，|b|＝4，且满足(2a－b)·(a＋2b)≥4，求a与b的夹角θ的范围． 解析　(2a－b)·(a＋2b)＝2a2＋3a·b－2b2 ＝2×32＋3a·b－2×42＝3a·b－14， 由(2a－b)·(a＋2b)≥4， 得3a·b－14≥4，∴a·b≥6. ∴cos 〈a，b〉＝≥＝＝. ∴a与b的夹角θ满足0≤θ≤. 15．(1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a与b的夹角θ； (2)设O为坐标原点，＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，在线段OC上是否存在点M，使⊥，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解析　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4a2－4a·b－3b2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6. ∴cos θ＝＝－. 又0≤θ≤π，∴θ＝π. (2)假设存在点M，使⊥，则存在实数λ使＝λ＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)， ∴＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)． 由题意知(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0. ∴45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝. ∴＝(2，1)或＝， 即存在满足题意的M(2，1)或M. 16．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°. (1)求证：(a－b)⊥c； (2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围． 解析　(1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1， 且a，b，c之间的夹角均为120°， ∴(a－b)·c＝a·c－b·c ＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0. ∴(a－b)⊥c. (2)∵|ka＋b＋c|>1， ∴|ka＋b＋c|2>1. ∴(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)>1. ∴k2a·a＋b·b＋c·c＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1. ∵a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－， ∴k2－2k>0，∴k<0或k>2. 17．在△ABC中，C－A＝，sin B＝. (1)求sin A的值； (2)设AC＝，求△ABC的面积． 解析　(1)由C－A＝和A＋B＋C＝π，得2A＝－B，0<A<. 故cos 2A＝sin B，即1－2sin2A＝，sin A＝. (2)由(1)得cos A＝. 又由正弦定理，得＝，BC＝·AC＝3. 又sin C＝sin＝cos A， 所以S△ABC＝AC·BC·sin C＝AC·BC·cos A＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$