第二章 一元二次函数、方程和不等式章末素养提升2课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章　一元二次函数、方程和不等式 章末素养提升 | 体 系 构 建 | | 核 心 归 纳 | 1．作差法比较大小 作差法的依据是a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b． 步骤：作差→变形→判断差的符号→得出结论． [注意]　只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式． (2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误． 4．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”．具体理解如下： (1)“一正”：即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案． (2)“二定”：即含变量的各项的和或者积必须是定值，如要求a＋b的最小值，ab必须是定值；求ab的最大值，a＋b必须是定值． (3)“三相等”：具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大值或最小值． 在利用基本不等式求最值时必须同时考虑以上三个条件，如果其中一个不成立就可能得出错误的答案． 5．二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的主要结论与三者之间的关系如下： (1)从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴下方部分的点的横坐标x的集合． (2)从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是大于大根，或者小于小根的实数的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是大于小根，且小于大根的实数的集合． 因此，利用二次函数的图象和一元二次方程的两根就可以解一元二次不等式． | 素 养 提 升 | 数学建模——运用基本不等式解决实际问题 1．应用题求解，关键是建立数学模型，而应用题中最值问题的数学模型，关键是建立目标函数，培养学生利用基本不等式求最值的能力．这一类问题的求解必须具备一定的阅读理解能力和发现、提出、分析、解决问题的能力，同时也要有一定的计算能力等． 2．解应用题应注意两个问题：一是建模问题，即通过建立数学模型把应用题转化为单纯的数学问题；二是建模后求解问题，即如何用相关的数学知识将其解答出来． 【典例】　如图所示，要设计一张矩形广告，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空间的宽度为5 cm，怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌最省料？ 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，求： (1)仓库面积S的最大允许值是多少？ (2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ | 思 想 方 法 | (一)分类与整合思想 思想方法解读：在求解不等式问题时，因概念、参数、解法等存在不确定因素的制约，常常需要分类讨论． 【点评】本题结合a对结果的影响进行分类讨论，应注意a变化引起结论的变化情况，分类要做到分类标准明确、不重不漏． 　　　　　解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a＜0)． 解：原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0， 化简为(x＋1)(ax－2)≥0． 【点评】用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式时，若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；若求对应一元二次方程的根的情况，则应对判别式Δ进行讨论；若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 1．已知关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0． (1)当a＝2时，求不等式的解集； (2)当a∈R，a≠0且a≠1时，求不等式的解集． 解：(1)当a＝2时，不等式为(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4， 所以该不等式的解集为{x|2＜x＜4}． (2)因为a∈R，a≠0且a≠1， 当0＜a＜1时，a2＜a，解不等式(x－a)(x－a2)＜0，得a2＜x＜a； 当a＜0或a＞1时，a＜a2， 解不等式(x－a)(x－a2)＜0，得a＜x＜a2． 综上所述，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}； 当a＜0或a＞1时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}． (二)转化与化归思想 思想方法解读：通过某种变换，把复杂问题转化为简单问题，把陌生问题转化为熟知、易解的问题，将未知化归为已知的思想方法，最终使问题得以解决． 1．通过转化证明不等式 策略：从待证式出发，分析使待证式成立的充分条件，如果条件具备则不等式得证，其特征是以“未知”看“已知”，逐步“执果索因”． 　　　　已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2． 证明：由基本不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理可得b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2， 所以(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2． 【点评】利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．注意多次运用基本不等式时等号能否取到． 2．通过转化解决不等式中恒成立问题 策略：联系三个“二次”之间的相互联系，在一定条件下相互转换． 　　　　已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，求a的取值范围． 3．已知实数m∈{m|1≤m≤4}，求使不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立的实数x的取值范围． 解：不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2＞0恒成立． 设y＝(x－2)m＋(x－2)2，则y为m的一次函数， | 链 接 高 考 | 　　　　(2019年新课标Ⅱ改编)设集合A＝{x|x2－5x＋6＞0}，B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝ (　　) A．{x|x＜1} B．{x|－2＜x＜1} C．{x|－3＜x＜－1} D．{x|x＞3} 【答案】A 【解析】A＝{x|x2－5x＋6＞0}＝{x|x＞3或x＜2}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，则A∩B＝{x|x＜1}．故选A． 一元二次不等式的解法 【点评】解一元二次不等式的一般步骤是把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式，然后计算对应方程的判别式，求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实数根，最后写出不等式的解集． 　　　　(2020年新课标Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝ (　　) A．－4　　 B．－2 C．2　　 D．4 【答案】B 【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解决此类问题的关键． 　　　　(2019年天津)设x∈R，使不等式3x2＋x－2＜0成立的x的取值范围为____________． 【点评】基础题，注意计算的准确性和迅速性． 基本不等式的应用 【点评】本题是已知和为定值，求积的最小值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分． 　　　　(2017年江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是____________． 【答案】30 【点评】应用基本不等式解决实际问题时，应先建立相应的关系式，把实际问题抽象成求最大值或最小值问题，最后求出函数的最大值或最小值，根据题意写出答案． 2．不等式的基本性质中应注意的问题 (1)不等式的基本性质中性质4，6要注意符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌握．如：“a＞b且ab＞0，则＜”，“a＞b，c＜d，则a－c＞b－d”，“a＞b＞0，c＞d＞0，则＞”．在使用这些性质时，如果不满足条件，要注意符号的变换． 3．基本不等式的常用变式 (1)＋≥2(a，b同号)；＋≤－2(a，b异号)． (2)a＋≥2(a＞0)；a＋≤－2(a＜0)． (3)＋≥(a＞0，b＞0)． (4)≥2a－b(a＞0，b＞0)． (5)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)． (6)≤≤≤ (a＞0，b＞0)． 解：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm， 则ab＝9 000． ① 广告牌的高为(a＋20)cm，宽为(2b＋25)cm，其中a＞0，b＞0． 广告牌的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b≥18 500＋2＝18 500＋2＝24 500． 当且仅当25a＝40b时，等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝120，从而b＝75． 即当a＝120，b＝75时， S取得最小值24 500 cm2． 故广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告牌最省料． 解：(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而仓库面积即顶部面积为S＝xy． 依题意，得40x＋2×45y＋20xy＝3 200，由基本不等式，得3 200≥2＋20xy＝120＋20xy＝120＋20S，所以S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0．因为＋16＞0，所以－10≤0，故≤10，从而S≤100， 所以S的最大允许值是100平方米． (2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，求得x＝15，即铁栅的长是15米． 　　　　已知a∈R且a≠1，试比较与1＋a的大小． 解：因为－(1＋a)＝，可得 ①当a＝0时，＝1＋a； ②当a＞1时，＜0，所以＜1＋a； ③当a＜1且a≠0时，＞0，所以＞1＋a． 综上可知，当a＝0时，＝1＋a；当a＞1时，＜1＋a；当a＜1且a≠0时，＞1＋a． 因为a＜0，所以(x＋1)≤0． 当－2＜a＜0时，≤x≤－1； 当a＝－2时，x＝－1； 当a＜－2时，－1≤x≤． 综上所述，当－2＜a＜0时，解集为； 当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}； 当a＜－2时，解集为． 2．已知0＜a＜b，m＞0，求证：＜． 证明：因为0＜a＜b，m＞0，所以b＋m＞0． 要证＜， 只要证a(b＋m)＜b(a＋m)， 即证am＜bm， 即a＜b(已知)， 所以＜． 解：①当a＝0时，1≥0恒成立，因此a＝0适合； ②当a≠0时，要使不等式ax2＋2ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则 解得0＜a≤1． 综上所述，a的取值范围是{x|0≤a≤1}． 【点评】(1)不等式对任意实数x恒成立，可转化为不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，它的解集为R的条件为一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R的条件为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅的条件为 (2)要注意在一个含多个变量的不等式恒成立问题中，需要确定合适的变量和参数，一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数． 所以 解得x＜－2或x＞2， 所以x的取值范围为{x|x＜－2或x＞2}． 【解析】集合A＝{x|x2－4≤0}＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|2x＋a≤0}＝，由A∩B＝{x|－2≤x≤1}，可得－＝1，则a＝－2．故选B． 【答案】 【解析】由3x2＋x－2＜0，得(x＋1)(3x－2)＜0，解得－1＜x＜． 　　　　(2019年天津)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】＝＝＝2＋，由基本不等式，得4＝x＋2y≥2 ，所以0＜xy≤2，则≥，故2＋≥2＋＝(当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时，等号成立)，故的最小值为． 【解析】由题意可得一年的总运费与总存储费用之和为×6＋4x≥2＝240(万元)，当且仅当＝4x，即x＝30时，取等号． $$