2.6 正多边形与圆（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

2.6 正多边形与圆 【考点1 求正多边形的中心角】 【考点2 正多边形与圆求线段长度】 【考点3 正多边形与圆求半径】 【考点4正多边形与圆求面积】 【考点5 正多边形与圆求周长】 【考点6 正多边形与直角坐标系综合】 知识点1 圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 知识点2 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点3 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 【考点1 求正多边形的中心角】 【典例1】如图，点是正五边形的中心，连接，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，正六边形内接于，点G是弧上的一点，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式1-2】如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】圆内接正八边形的中心角为 ． 【考点2 正多边形与圆求边数】 【典例2】如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 【变式2-1】如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ． 【变式2-2】如果一个正多边形的中心角等于60°，那么这个正多边形的边数是 ． 【变式2-3】如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝ ． 【考点3 正多边形与圆求半径】 【典例3】如图，正六边形ABCDEF内接于，若正六边形的边长为1，则的半径是 ． 【变式3-1】如果一个正六边形的周长等于12cm，那么这个正六边形的半径等于 cm． 【变式3-2】如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则正方形的半径是（    ）    A．4 B．2 C． D． 【考点4正多边形与圆求面积】 【典例4】半径为2的圆的内接正六边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，正六边形螺帽的边长为2，则这个螺帽的面积是（    ）      A． B．6 C． D． 【变式4-2】如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于12，则正八边形的面积等于（　　）    A．12 B．20 C．24 D．12 【变式4-3】如图，正八边形的半径为4，则它的面积是 ． 【考点5 正多边形与圆求周长】 【典例5】如图，一个蜜蜂的蜂巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的周长为 cm． 【变式5-1】六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为，求中间正六边形的周长 ．    【变式5-2】如图是由边长为5的正六边形外接圆和以其各边为直径作半圆围成的，则阴影部分的周长 ．    【变式5-3】一个正多边形的边长为2，每个内角为，则这个多边形的周长是 ． 【考点6 正多边形与直角坐标系综合】 【典例6】蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，，则点M的坐标为（    ）        A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，以正六边形的中心为原点，顶点在轴上，若半径是4，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 1．如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是正六边形的中心．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 3．如图，正五边形的外接圆为，P为优弧上一点，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，多边形是正六边形，边长为4，则该正六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．正六边形的半径为，则它的边心距是（　　） A． B． C． D． 6．如图，点为正六边形的中心，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，，，是正多边形的顶点，是正多边形的中心，若是等边三角形，则正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 8．如图，正六边形内接于，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 9．同圆的外切正方形和内接正三角形的边长之比是（    ） A． B． C． D． 10．如图，正六边形内接于，连接，，，若，则正多边形的面积是（    ） A． B． C． D． 11．2023年11月，临邑县迎来了较大程度的降雪，某数学兴趣小组在实验过程中发现每片雪花都有不同的形状．如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形）的图形，放在平面直角坐标系中，若与x轴垂直，顶点A的坐标为，则顶点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 12．如图，已知的周长等于，则该圆内接正六边形的边心距的长为 ．    13．如图，正五边形内接于，点F在弧上．若，则的大小等于 °． 14．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图①，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图②，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为 ． 15.如图，在等边中，，现将各角剪去一个三角形，使得剩下的六边形为正六边形，则此正六边形的周长为 ． 16．如图，正六边形的边长为，点P是线段上一点，则图中阴影部分的面积为 ． 17．如图，多边形为内接正五边形，与相切于点A，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6 正多边形与圆 【考点1 求正多边形的中心角】 【考点2 正多边形与圆求线段长度】 【考点3 正多边形与圆求半径】 【考点4正多边形与圆求面积】 【考点5 正多边形与圆求周长】 【考点6 正多边形与直角坐标系综合】 知识点1 圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 知识点2 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点3 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 【考点1 求正多边形的中心角】 【典例1】如图，点是正五边形的中心，连接，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的度数，根据三角形内角和，及等边对等角，即可求解， 本题考查了多边形的中心角，等边对等角，三角形内角和，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 【详解】解：连接OB， ∵和是正五边形的中心角， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式1-1】如图，正六边形内接于，点G是弧上的一点，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆内接正多边形中心角及同弧所对的圆周角是圆心角一半定理即可． 本题考查圆内接正多边形和圆周角定理，解此题的关键是熟练掌握圆内接正多边形中心角计算和圆周角定理角度计算． 【详解】如图，连接、，    ∵正六边形是的内接正六边形， ， ， 故选：B． 【变式1-2】如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵是圆内接五边形， ∴， ∴， 故选B． 【变式1-3】圆内接正八边形的中心角为 ． 【答案】45 【分析】根据圆内接正边形的中心角的度数为，进行计算即可． 【详解】解：圆内接正八边形的中心角为； 故答案为：． 【考点2 正多边形与圆求边数】 【典例2】如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO， ∴， ∴这个正多边形的边数为=10． 故选：B． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 【变式2-1】如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ． 【答案】18 【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案． 【详解】根据正n边形的中心角的度数为， 则， 故这个正多边形的边数为18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 【变式2-2】如果一个正多边形的中心角等于60°，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】6 【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案． 【详解】根据正n边形的中心角的度数为， 则，故这个正多边形的边数为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 【变式2-3】如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝ ． 【答案】9 【分析】利用360度除以中心角的度数即可求得． 【详解】∵正n边形的中心角＝＝40°， n＝＝9． 故答案为9． 【点睛】本题考查了多边形的计算，正多边形的中心角相等，理解中心角的度数和正多边形的边数之间的关系是关键． 【考点3 正多边形与圆求半径】 【典例3】如图，正六边形ABCDEF内接于，若正六边形的边长为1，则的半径是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，首先求出，进而证明为等边三角形，问题即可解决． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形是的内接正六边形， ∴，且， 为等边三角形， ，即的半径为1． 故答案为：1． 【变式3-1】如果一个正六边形的周长等于12cm，那么这个正六边形的半径等于 cm． 【答案】2 【分析】根据正六边形的定义可求出其边长为，再根据其性质可知其相邻两条半径与所夹边组成的三角形为等边三角形，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可求出正六边形的边长，如图， 根据正六边形的性质可知， ∴为等边三角形， ∴，即正六边形的外接圆半径为2cm． 故答案为：2． 【点睛】本题考查正六边形的性质，等边三角形的性质与判定．熟练掌握正六边形的性质是解题关键． 【变式3-2】如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则正方形的半径是（    ）    A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理求得，根据正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵是正方形的外接圆，正方形的边长为， ∴ ∴正方形的半径是 故选：C． 【考点4正多边形与圆求面积】 【典例4】半径为2的圆的内接正六边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形，连接、，作于G，利用半径求得即可求得面积. 【详解】如图： 连接、，作于， ∵等边三角形的边长是2， ∴高为， ∴等边三角形的面积为， ∵正六边形由6个等边三角形组成， ∴正六边形的面积为. 【变式4-1】如图，正六边形螺帽的边长为2，则这个螺帽的面积是（    ）      A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查正多边形的计算问题，解题的关键是正确的构造直角三角形，然后求出长，然后求出面积即可． 【详解】解：设正六边形的中心是O，一边是，则，，过O作于，    如图，在中，，， ∴，， ∴． 这个正六边形的面积． 故选：C． 【变式4-2】如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于12，则正八边形的面积等于（　　）    A．12 B．20 C．24 D．12 【答案】A 【分析】作出正方形，在中，设，则，，正八边形的边长为，根据空白部分的面积是12可列方程求出的值，然后利用矩形和三角形的面积求出阴影部分的面积，从而可以求出正八边形的面积． 【详解】解：作出正方形，如图所示，    在中，设，则，， 正八边形的边长为， 正方形的边长为：， 根据题意得：， 解得：， 则阴影部分的面积为：， 正八边形的面积为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形的计算，作出正方形，根据空表部分的面积，正确求出的直角边的长是关键． 【变式4-3】如图，正八边形的半径为4，则它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，连接，作，求出的面积，乘以8即可得出正八边形的面积． 【详解】解：连接，作， ∵正八边形的半径为4， ∴， ∴， ∴， ∴正八边形的面积为：； 故答案为：． 【考点5 正多边形与圆求周长】 【典例5】如图，一个蜜蜂的蜂巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的周长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆的性质和等边三角形的判定与性质，连接与交于点，证明为等边三角形，从而，即可得到答案，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键． 【详解】如图，连接与交于点， ∵为正六边形， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， 即正六边形的边长为， ∴正六边形的周长为， 故答案为：． 【变式5-1】六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为，求中间正六边形的周长 ．    【答案】60 【分析】利用得到，再根据含的直角三角形三边的关系得到，接着证明可得结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴中间正六边形的周长， 故答案为：． 【点睛】此题考查了含角的直角三角形：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出． 【变式5-2】如图是由边长为5的正六边形外接圆和以其各边为直径作半圆围成的，则阴影部分的周长 ．    【答案】 【分析】通过观察图形，阴影部分的周长等于6个半圆的圆弧长加上正六边形外接圆的周长，以此进行计算即可． 【详解】∵正六边形边长为5，正六边形可以分成六个等边三角形，每个三角形的边长等于5， ∴六个半圆弧的周长为， ∵圆的半径等于正六边形的边长， ∴外接圆的周长为， ∴阴影部分周长=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆和正多边形，得出阴影部分的周长等于6个半圆的圆弧长加上正六边形外接圆的周长是解题的关键． 【变式5-3】一个正多边形的边长为2，每个内角为，则这个多边形的周长是 ． 【答案】16 【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，求得多边形的边数，即可得到结论． 【详解】解：∵正多边形的每个内角为， ∴每个外角是， ∵多边形的边数为：， 则这个多边形是八边形， ∴这个多边形的周长， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角：n边形的外角和为． 【考点6 正多边形与直角坐标系综合】 【典例6】蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，，则点M的坐标为（    ）        A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，设中间正六边形的中心为D，连接．判断出，的长，可得结论． 【详解】解：设中间正六边形的中心为D，连接．      ∵点P为，图中是7个全等的正六边形， ∴， ∴， 根据题意知垂直平分 ∴， ∴， 又Q的坐标为， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴，即， 解得，， ∴， ∵点M在第四象限， ∴点M的坐标为， 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，以正六边形的中心为原点，顶点在轴上，若半径是4，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，如图所示，利用正多边形外角性质求出内角及线段长，再由含直角三角形性质及勾股定理求出长，数形结合即可得到． 【详解】解：过点作，连接，如图所示： 在正六边形中，， 因为， 所以是等边三角形， ，， 在中，，则， 则由勾股定理可得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查图形与坐标、涉及正多边形性质、含直角三角形性质及勾股定理等知识，熟练掌握正多边形性质、含直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形的变化—旋转规律性问题，首先确定点的坐标，得出每次一个循环，计算出，由此即可得出答案，得出规律是解此题的关键． 【详解】解：正六边形的边长为，中心与原点重合，轴，交轴于点， ，，， ， ∴点的坐标为， 第次旋转结束时，点旋转到第四象限，坐标为， 第次旋转结束时，点旋转到第三象限，坐标为， 第次旋转结束时，点旋转到第二象限，坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 每次一个循环， ， 第2023次旋转结束时，点的坐标为， 故选：C． 【变式6-3】如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，经过第2026次旋转后，顶点D在的位置，先求出点的坐标，再证明即可． 【详解】解：连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，    在正六边形中，，， ， ， 将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转， ，即8次旋转一周， 余2， ， 故经过第2026次旋转后，顶点D在的位置， ， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 1．如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，由正八边形内接于知，． 【详解】解：正八边形内接于 ． 故选：C． 2．如图，是正六边形的中心．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的有关性质是解题的关键．根据点的坐标求出的长，再根据正六边形的性质求出，进而求出的坐标即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选:． 3．如图，正五边形的外接圆为，P为优弧上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，连接，则，则可由圆周角定理得到． 【详解】解：如图所示，连接，则， ∴， 故选：A． 4．如图，多边形是正六边形，边长为4，则该正六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的性质，设正六边形对角线交于点O，作于点H，先证是等边三角形，正六边形的面积为面积的6倍，由此可解． 【详解】解：如图，设正六边形对角线交于点O，作于点H， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 正六边形的面积， 故选B． 5．正六边形的半径为，则它的边心距是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合勾股定理的有关知识解决． 【详解】解：如图，连接；过点O作于点G．    在中，， ∴， ∴. 故选：C． 6．如图，点为正六边形的中心，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据正六边形的性质可得，，从而求出，再利用三角形的内角和求解即可． 【详解】解：连接， 点为正六边形的中心， ， ， 在等腰中， ． 故选：B． 7．如图，，，是正多边形的顶点，是正多边形的中心，若是等边三角形，则正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接，根据题意求得中心角，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵，，是正多边形的顶点，是正多边形的中心， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：C． 8．如图，正六边形内接于，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．连接交点，连接，可推出，，可证明是等边三角形，得到，，推出，在中，设，则，根据勾股定理即可求出，进而得到半径，即可求解． 【详解】解：连接交点，连接， 正六边形内接于， ，，， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ， 的半径为， 的周长为， 故选：B． 9．同圆的外切正方形和内接正三角形的边长之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正多边形和圆．首先根据圆内接正三角形的性质以及正方形的性质得出的长，进而得出圆的内接正三角形的边长． 【详解】解：如图所示：连接，过点，作于点， 故 四边形是正方形，切于点，是的内接正三角形， 设圆的外切正方形的边长为， 则，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正三角形的边长为：， ∴． 故选：A． 10．如图，正六边形内接于，连接，，，若，则正多边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题连接、、、、、，线段交于点，根据题意得到，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理求得，根据，即可解题． 【详解】解：如图，连接、、、、、，线段交于点， 则， 在该圆内接正六边形中，， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 是的半径， ， ，， ， ， ， ， ，即，解得或（不合题意，舍去）， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆内接多边形面积、垂径定理、等边三角形性质与判定、30度所对直角边等于斜边一半、勾股定理、熟练掌握相关知识，即可解题． 11．2023年11月，临邑县迎来了较大程度的降雪，某数学兴趣小组在实验过程中发现每片雪花都有不同的形状．如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形）的图形，放在平面直角坐标系中，若与x轴垂直，顶点A的坐标为，则顶点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 此题重点考查图形与坐标、正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 设正六边形的中心为点H，连接，作于点G，由，，证明和都是等边三角形，则，，所以，而与x轴垂直，所以轴，由，求得，因为，所以，即要求得，于是得到问题的答案． 【详解】 解：设正六边形的中心为点H，连接，作于点G，    ， ， 和都是等边三角形， ∵正六边形的边长为4， ，， ， 与x轴垂直， 轴， 轴， ， ，， ， ，， ， ， ，， ，， ， 故选：A． 12．如图，已知的周长等于，则该圆内接正六边形的边心距的长为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质．连接，根据正六边形的性质可得是等边三角形，从而得到，，可得到，，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵多边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵的周长等于， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13．如图，正五边形内接于，点F在弧上．若，则的大小等于 °． 【答案】48 【分析】连接，利用中心角，圆周角定理，三角形内角和定理计算即可． 本题考查了正多边形的中心角，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握中心角的计算，圆周角定理是解题的关键． 【详解】连接， ∵正五边形内接于，点F在弧上． ∴， ∵， ∴， 故答案为：48． 14．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图①，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图②，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，连接，，、交于点，先求出，，进而证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：连接，，、交于点，如图所示， 六边形是正六边形，的长约为， ，， ∴是等边三角形， ∴ 约为， 故答案为：4． 15.如图，在等边中，，现将各角剪去一个三角形，使得剩下的六边形为正六边形，则此正六边形的周长为 ． 【答案】 【分析】由六边形为正六边形，则六边相等，故、、、、、是各边的三等分点，所以正六边形的为，最后求六边形的周长即可．理解等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是边长为的等边三角形，现将各角剪去一个三角形，使得剩下的六边形为正六边形， ∴、、、、、是各边的三等分点； ∴正六边形的为， ∴正六边形的周长为． 故答案为：． 16．如图，正六边形的边长为，点P是线段上一点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握正六边形的性质以及矩形的性质是正确解答的前提．根据正六边形的性质得到是边长为的正三角形，求出它们的面积，进而求出与即可． 【详解】解：如图，连接、交于点O，则点O是正六边形的中心，过点O作， 六边形是正六边形， 是边长为的正三角形， ， 正三角形的高为， ， ， 故答案为：． 17．如图，多边形为内接正五边形，与相切于点A，则 ． 【答案】/36度 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、切线的性质定理等知识点；．连接，多边形是正五边形，可求出的度数，再根据三角形内角和即可求出的度数，利用切线的性质求出即可，作出适当的辅助线是解答此题的关键． 【详解】连接， ∵多边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵直线与相切于点A， ∴， ∴． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$