2.5 直线与圆的位置关系（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

2.5 直线与圆的位置关系 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 【考点3 切线的判定】 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 【考点6 三角形的内切圆与内心】 知识点1 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 【典例1】中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【变式1-1】已知中，，，以点为圆心，以长为半径作圆，则与的位置关系是（    ）    A．相离 B．相切 C．相交 D．外离 【变式1-2】已知平面内有和点A，B，若的半径为，线段，，则直线与的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【变式1-3】已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6，则⊙O的半径可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 知识点2 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 【典例2】如图，AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MA＝AO，MD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交MD的延长线于点C，若⊙O的半径为2，则BC的长是（　　） A．4 B． C． D．3 【变式2-1】如图，AB是的直径，PA与相切于点A，交于点C．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，是的切线，点是上的一点，连接，，交于点，若，则的度数是（    ） A．20° B．25° C．30° D．40° 【变式2-3】如图，是的弦，是的切线．若，则 ． 【考点3 切线的判定】 【典例3】如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，连接，过D作，垂足为E． (1)求证：； (2)求证：为的切线． 【变式3-1】如图，在中，，O为上一点．以O为圆心，长为半径的过点C，交于另一点D，若D是的中点，求证：是⊙O的切线．    【变式3-2】如图，内接于，是的直径，．点E在延长线上，．过点E作，交的延长线于点D．求证：是的切线．    【变式3-3】如图，是的直径，D为上的一点，平分交于点T，过点T作的垂线交的延长线于点C，求证：为的切线． 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 【典例4】如图，在中，，是的角平分线，点在上，以点为圆心，长为半径的圆经过点，交于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 【变式4-1】如图，已知是的直径，点C在上，于点D，平分，E是延长线上一点，交于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求线段的长． 【变式4-2】如图，在中，，平分，交于点是斜边上一点，以点为圆心，的长为半径的恰好经过点．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【变式4-3】如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接，． (1)求证：； (2)求证：是切线； (3)连接交于点F，若，，求的长． 知识点3 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 【典例5】【课本再现】：如图①，P是外一个点，是的两条切线，切点分别是A，B，我们将线段的长称为点到的切线长，    （1）求证：； 定理描述：上面命题我们称为“切线长定理”．请用一句话描述定理的内容：________________ ； 【知识运用】 （2）如图②，已知，直线是的切线，切点是E，且分别交于点 C，D，求的周长； 【拓展运用】 （3）如图③，半径为3的分别与的边相切于点D，E．已知，求证：是的切线． 【变式5-1】如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【变式5-2】如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为 ． 【变式5-3】如图，是外的一点，、分别与相切于点、，是上的任意一点，过点的切线分别交、于点、． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 知识点4 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 【考点6 三角形的内切圆与内心】 【典例6】如图，中，，点O是内心，若，的周长为16，则的面积为（    ） A． B． C．16 D．32 【变式6-1】如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式6-2】如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积为（　　）    A． B． C． D． 【变式6-3】如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 1．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 2．如图，在中，为直径，为弦，为切线，连接．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，的切线交直径的延长线于点P，C为切点，连结．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形内接于，过点作的切线，交的延长线于点，连结．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是的内切圆，连接并延长与交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，分别与相切于点A，B，C为上的一点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，四边形的点B，C，D都在上，分别与相切于B，D两点，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，点是中边的中点，于，以为直径的经过，连接，有下列结论：①；②；③；④是的切线．其中正确的结论是　　 A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 9．如图，是外一点，、分别和切于、，是弧上任意一点，过作的切线分别交、于、，若的周长为，则长为 ． 10．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则的长为 ． 11．如图，在中，，，以为直径的交于点D，的切线交于点E，则的长为 ． 12．如图，在中，．以为直径作交于点D，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线． (2)若．求的面积． 13．如图，在⊙O中，是直径，点在⊙O上．在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是⊙O的切线； (2)若，，求的长． 14．如图，为的直径， 点C为上一点，于点 D， 且平分， 延长和交于点E． (1)证明：是的切线； (2)若 ，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 直线与圆的位置关系 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 【考点3 切线的判定】 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 【考点6 三角形的内切圆与内心】 知识点1 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 【典例1】中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理，明白要作、求出是解题的关键． 根据题意画出，并过点作于点，根据等腰三角形三线合一求得的长，再利用勾股定理求得的长，把与圆的半径比较大小，判定该圆与的位置关系即可． 【详解】解：如图，根据题意画出，并过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴以点为圆心，为半径的圆，与的位置关系是相离， 故选：A． 【变式1-1】已知中，，，以点为圆心，以长为半径作圆，则与的位置关系是（    ）    A．相离 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径4比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】过点A作于点D，    根据等腰三角形三线合一得：， 根据勾股定理得：， 以长为半径的与的位置关系是相离， 故选：D． 【变式1-2】已知平面内有和点A，B，若的半径为，线段，，则直线与的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：的半径为，，， 即点到圆心的距离大于圆的半径，点到圆心的距离等于圆的半径， 点在外．点在上， 直线与的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【变式1-3】已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6，则⊙O的半径可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法：设的半径为，圆心到直线的距离为． ①直线和相交 ②直线和相切 ③直线和相离． 根据直线与圆的位置关系的判断的方法可求解． 【详解】解：和直线相交， ， 又圆心到直线的距离为， ， 故选：D． 知识点2 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 【典例2】如图，AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MA＝AO，MD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交MD的延长线于点C，若⊙O的半径为2，则BC的长是（　　） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】连接OD，求出BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，根据切线的性质求出∠ODM＝90°，根据勾股定理求出MD，再根据勾股定理求出BC即可． 【详解】解：连接OD， ∵MD切⊙O于D， ∴∠ODM＝90°， ∵⊙O的半径为2，MA＝AO，AB是⊙O的直径， ∴MO＝2+2＝4，MB＝4+2＝6，OD＝2， 由勾股定理得：MD＝＝＝2， ∵BC⊥AB， ∴BC切⊙O于B， ∵DC切⊙O于D， ∴CD＝BC， 设CD＝CB＝x， 在Rt△MBC中，由勾股定理得：MC2＝MB2+BC2， 即（2+x）2＝62+x2， 解得：x＝2， 即BC＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【变式2-1】如图，AB是的直径，PA与相切于点A，交于点C．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OC，证明△PAO≌△PCO（SAS），得到∠OCP=90°，进而求得． 【详解】 如图，连接OC， 因为OB=OC， 所以∠OCB=∠OBC=70°， 所以∠BOC=180°-70°-70°=40°， 又因为， 所以∠AOP=∠B=70°， ∴∠POC=180°-∠AOP-∠BOC=70°， 所以在△PAO和△PCO中， ， 所以△PAO≌△PCO（SAS）， 所以∠OCP=∠OAP 因为PA与相切于点A， 所以∠OCP=∠OAP=90°， 所以∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=20°， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的切线、证明全等三角形和平行线等知识内容，灵活运用条件，学会选择辅助线是解题的关键． 【变式2-2】如图，是的切线，点是上的一点，连接，，交于点，若，则的度数是（    ） A．20° B．25° C．30° D．40° 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的切线性质，圆周角定理，三角形内角和定理，掌握相关定理是解题的关键． 连接，，根据圆周角定理得到，根据是的切线得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， ， 是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ． 故选：D． 【变式2-3】如图，是的弦，是的切线．若，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查圆的切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等知识，接、，由切线的性质得，再由圆周角定理求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 与相切于点，与相切于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点3 切线的判定】 【典例3】如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，连接，过D作，垂足为E． (1)求证：； (2)求证：为的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理． （1）先利用圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得； （2）连接，如图，先证明为的中位线，则，再利用得到，然后根据切线的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：∵为直径， ∴， ∵ ∴； （2）证明：连接，如图， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴ ∵是半径 ∴为的切线． 【变式3-1】如图，在中，，O为上一点．以O为圆心，长为半径的过点C，交于另一点D，若D是的中点，求证：是⊙O的切线．    【答案】见解析 【分析】连接，，由得，根据“”证明，得，即可证明是的切线． 【详解】证明：连接，．    ∵， ∴． ∵是直径， ∴． ∵D是的中点， ∴． 又， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵点C为半径的外端点， ∴是的切线． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的判定与性质，切线的判定定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式3-2】如图，内接于，是的直径，．点E在延长线上，．过点E作，交的延长线于点D．求证：是的切线．    【答案】见解析 【分析】本题考查了切线的判定，含直角三角形的性质，过点作于，根据含直角三角形的性质，求得，推出，根据切线的判定定理得到是的切线．正确地找出辅助线是解题的关键． 【详解】证明：过点作于，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则点在上， ∴是的切线． 【变式3-3】如图，是的直径，D为上的一点，平分交于点T，过点T作的垂线交的延长线于点C，求证：为的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查切线的判定，连接，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得到，根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可． 【详解】连接， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴为的切线． 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 【典例4】如图，在中，，是的角平分线，点在上，以点为圆心，长为半径的圆经过点，交于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识． （1）连接，根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明，得到，再根据圆的切线的判定定理即可证明是的切线； （2）设的半径为，则，作于点，则，，可证得四边形是矩形，在中根据勾股定理列方程即可求出r的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， 经过的半径的端点，且， 是的切线． （2）解：如图，设的半径为，则， 作于点，则，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 解得， 的半径长为． 【变式4-1】如图，已知是的直径，点C在上，于点D，平分，E是延长线上一点，交于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，可得，从而得到，进而得到，即可； （2）连接，作于点G，则，从而得到，，由勾股定理可求出，从而得到，再由，可求出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线．    （2）解：连接，作于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、切线的判定、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式4-2】如图，在中，，平分，交于点是斜边上一点，以点为圆心，的长为半径的恰好经过点．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为． 【分析】此题重点考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义结合等边对等角求得，推出，据此即可证明结论成立； （2）作，设的半径为，证明四边形是矩形，推出，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：作，垂足为，    设的半径为，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的半径为． 【变式4-3】如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接，． (1)求证：； (2)求证：是切线； (3)连接交于点F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得结论； （2）连接、，如图，利用圆周角定理得到，则根据斜边上的中线性质得到，所以，接着证明，从而得到，然后根据切线的判定方法得到结论； （3）根据勾股定理求出，再利用等面积法求出，再证明为的中位线得到，然后利用相似比计算的长，最后利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：以为直径的交于点， ， ； （2）证明：连接，如图， 为直径， ， 为的斜边的中点， ， ， ， ， 而 ， ， ， 为的切线； （3）解：在中，根据勾股定理得， 为中点，为中点， 为的中位线， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，三角形等面积法，中位线的性质，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键． 知识点3 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 【典例5】【课本再现】：如图①，P是外一个点，是的两条切线，切点分别是A，B，我们将线段的长称为点到的切线长，    （1）求证：； 定理描述：上面命题我们称为“切线长定理”．请用一句话描述定理的内容：________________ ； 【知识运用】 （2）如图②，已知，直线是的切线，切点是E，且分别交于点 C，D，求的周长； 【拓展运用】 （3）如图③，半径为3的分别与的边相切于点D，E．已知，求证：是的切线． 【答案】（1）过圆外一个点所画圆的两条切线长相等；（2）12（3）见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理的逆定理，： （1）根据切线长定理的内容求解即可； （2）根据切线长定理得到，再根据三角形周长公式求解即可； （3）过点O作于F，连接，先证明，得到是直角三角形，且，再由切线的性质得到，根据 ，求出，再由，即可证明是的切线． 【详解】解：（1）根据题意可得，过圆外一个点所画圆的两条切线长相等 故答案为：过圆外一个点所画圆的两条切线长相等； （2）∵是的三条切线， ∴由切线长定理可得， ∴的周长 ； （3）如图所示，过点O作于F，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵半径为3的分别与的边相切于点D，E， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是的切线．    【变式5-1】如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键．由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，AC相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 故选：A． 【变式5-2】如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，，过点作，垂足为点，根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据切线的判定定理即可证明是的切线，根据切线的性质以及矩形的判定和性质可得，，得出，根据切线长定理可得，， 得出，根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为点， ∵是的切线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∵， ∵，，， 即， ∴四边形是矩形， ∴，， 则， ∵是的切线，是的切线，是的切线， ∴，， ∴， ∵， 在中，， 即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质，根据切线长定理得出，是解题的关键． 【变式5-3】如图，是外的一点，、分别与相切于点、，是上的任意一点，过点的切线分别交、于点、． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的周长为8； (2)的度数为． 【分析】本题考查的是切线长定理，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长． （1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于的结论； （2）连接，根据切线长定理求证，再三角形内角和定理求出和的度数，然后再利用为圆直径即可求出的度数． 【详解】（1）解：，都是圆的切线， ， 同理， 是外的一点，、分别与相切于点、 ， 三角形的周长， 即三角形的周长是8； （2）解：连接， ， ， ， ， ∵切于点B，为直径， ∴，， ∴， ， ． 知识点4 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 【考点6 三角形的内切圆与内心】 【典例6】如图，中，，点O是内心，若，的周长为16，则的面积为（    ） A． B． C．16 D．32 【答案】B 【分析】本题主要考查了内心的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，如图所示，过点O作于E，连接，由内心的定义和性质可得点O到的距离相等且都等于，且，则，根据三角形周长公式得到，再由推出，据此可得答案． 【详解】解；如图所示，过点O作于E，连接， ∵点O是内心， ∴点O到的距离相等且都等于，且， ∴， ∵的周长为16， ∴ ∵， ∴ ， 故选B． 【变式6-1】如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2．设，，则，由，由此即可解决问题； 【详解】解：如图连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2． ∵的内切圆与分别相切于点D、E、F， ∴可以假设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【变式6-2】如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内切圆，根据切线的性质，判断出四边形为正方形，利用直角三角形的内切圆的半径的计算公式，求出的长，进一步求出阴影部分的面积即可，掌握直角三角形的内切圆的半径的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ∵与，，分别相切于点，，， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴， 故选：． 【变式6-3】如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 1．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解法，直线与圆的位置关系等知识与方法，求出一元一次方程的解并且判断圆心到直线的距离与的半径之间的大小关系是解题的关键． 设的半径为，解一元一次方程得，，则，所以，可知直线与圆相离，于是得到问题的答案． 【详解】解：设的半径为， 解一元一次方程得，， ∵的半径是一元二次方程的一个根， ∴， ∵圆心到直线的距离， ∴， ∴直线与相离， 故选：B． 2．如图，在中，为直径，为弦，为切线，连接．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，圆周角定理等知识．熟练掌握切线的性质，等边对等角，圆周角定理是解题的关键． 由为切线，可得，由，可得，由，可得，求解作答即可． 【详解】解：∵为切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．如图，的切线交直径的延长线于点P，C为切点，连结．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的切线的性质，熟练掌握圆的切线的性质是本题的关键． 由题意可得，根据切线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图：连接， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．如图，四边形内接于，过点作的切线，交的延长线于点，连结．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的对角互补成为解题的关键． 如图：连接，根据切线的性质可得，再根据角的和差可得；再根据平行线的性质、等腰三角形的性质可得，进而得到，即，最后根据圆的内接四边形的性质即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，在中，是的内切圆，连接并延长与交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形的内角和定理得到，由形的内切圆，得到平分平分，根据角平分线的定义得到，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ， 是的内切圆， 分别平分， ， ， ， 故选：B． 6．如图，分别与相切于点A，B，C为上的一点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，内接四边形的性质，先根据内接四边形的性质，对角互补，得出，由圆周角定理，得出，结合切线性质，得出，再根据四边形内角和为列式，进行计算，即可作答． 【详解】解：在取一点为，连接 ∴四边形是圆内接四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵分别与相切于点A，B， ∴ ∴在四边形中 则 故选：B． 7．如图，四边形的点B，C，D都在上，分别与相切于B，D两点，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆周角定理、切线的性质．连接、，由与相切，可得，再由即可求解． 【详解】解：连接、，   、与相切， ， ， ， ， 故选：D． 8．如图，点是中边的中点，于，以为直径的经过，连接，有下列结论：①；②；③；④是的切线．其中正确的结论是　　 A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】此题考查了切线的判定，及三角形的中位线定理．证明切线时连接是解这类题经常连接的辅助线．根据直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由为三角形的中位线，根据三角形的中位线定理得到与平行，由与垂直得到与垂直，即为，故为圆的切线，选项④正确．由同角的余角相等及等腰三角形的性质可判定②；由为中点，得到为的一半，故为的一半，选项③正确； 【详解】解：是直径， ， ，选项①正确； 连接，如图， 为中点，为中点， 为的中位线， ∴， 又， ， ， 为圆的切线，选项④正确； 又， ， 为圆的直径， ， ，， ， ，选项②正确； 由为中点，且， 垂直平分， ，又， ，选项③正确； 则正确的结论为①②③④． 故选：D． 9．如图，是外一点，、分别和切于、，是弧上任意一点，过作的切线分别交、于、，若的周长为，则长为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题主要考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，掌握切线长定理是解题的关键．先根据切线长定理求得，，，再由的周长为，即可求解． 【详解】解：、、分别切于、、， ，，； ∵的周长为， ， ． 故答案为：． 10．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据切线性质，利用勾股定理，垂径定理计算即可．本题考查了切线性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：如图：连接， ∵弦是小圆的切线，点P为切点， ∴， ∴， 在中， ∴． 故答案为：． 11．如图，在中，，，以为直径的交于点D，的切线交于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据为直径，得出，根据，得出，，根据勾股定理求出，得出，证明，得出，证明，根据等积法求出结果即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，是求解的关键． 12．如图，在中，．以为直径作交于点D，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线． (2)若．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆切线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等等，熟知圆切线的性质与判定是解题的关键． （1）连接、，由为的直径知是直角三角形，结合E为的中点知，由且可得答案； （2）设的半径为，由，即可得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接、． ∵为的直径， ∴， ∴，即是直角三角形， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：设的半径为， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的面积为． 13．如图，在⊙O中，是直径，点在⊙O上．在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是⊙O的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，根据切线的判定即可证得结论； （2）根据等腰三角形的和三角形外角定理证明，推出是等边三角形，得到，根据含直角三角形的性质求出，即可求出． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含直角三角形的性质，综合运用这些知识是解决问题的关键． 14．如图，为的直径， 点C为上一点，于点 D， 且平分， 延长和交于点E． (1)证明：是的切线； (2)若 ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线和等腰三角形证明即可解答； （2）由，结合，先求出，得到，利用勾股定理求出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，圆的基本性质，解题的关键是掌握证明切线的方法，以及熟练运用直角三角形的特征求线段长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$