第08讲 绝对值贯穿有理数的十大经典题型【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第08讲 绝对值贯穿有理数的十大经典题型 【热考题型】 【题型一】结合数轴，利用绝对值的性质化简求值 1．（23-24七年级上·广东清远·期中）p在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、绝对值的性质与化简等知识，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键，注意本题运用了数形结合思想，根据观察P点在数轴上表示的数字，再根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故选：D． 2．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简得到的结果是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值．根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：， ∴，，，， 则原式． 故选：B． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，且，化简：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减、绝对值、数轴，根据数轴上点的位置可得，从而可得，，然后根据绝对值的意义，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·江西宜春·期中）如下图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c．（O为原点） (1) 0， 0， 0（用“＜”或“＞”或“＝”号填空）； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，绝对值的性质等知识点， （1）直接利用数轴结合的位置进而判断得出答案； （2）利用（1）中的符号，结合绝对值的性质化简得出答案； 正确去掉绝对值是解决此题的关键． 【详解】（1）由数轴知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2） ． 【题型二】根据字母的取值范围化简绝对值 5．（2020·浙江杭州·模拟预测）如果，那么等于（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是化简绝对值，先判断，，再化简绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴； 故选A 6．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）如果，那么化简等于 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据表示数轴上表示m的点到表示有理数3，4的点距离之和解答即可． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知， 表示数轴上表示m的点到表示有理数3，4的点距离之和， ∵， ∴数轴上表示m的点在表示有理数3，4的点之间， 等于表示有理数3，4的点之间的距离1， 故答案为：1． 7．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）如果a是不等于零的有理数，那么化简的结果是（    ） A．0或1 B．0或 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的化简，分和两种情形计算即可． 【详解】当时，； 当时，； 故选A． 8．（16-17七年级上·湖北十堰·期末）如果0＜m＜10，并且m≤x≤10，那么，代数式化简后所得到的最后结果是（       ） A．-10 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件判断每个绝对值里面数的符号，再根据绝对值的性质运算、合并． 【详解】∵0＜m＜10，m≤x≤10， ∴|x−m|＝x−m，|x−10|＝10−x，|x−m−10|＝10＋m−x， ∴原式＝（x−m）＋（10−x）＋（10＋m−x）＝20−x． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加减，去绝对值号的方法，判断绝对值里面数的符号是解题的关键． 9．（21-22七年级上·江西上饶·期末）对于式子在下列范围内讨论它的结果． (1)当时； (2)当时； (3)当时． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】根据x的取值范围确定x−1，x−5的符号，再根据绝对值的意义进行化简即可． 【详解】（1）当x＜1时，x−1＜0，x−5＜0， ∴|x−1|＋|x−5| ＝1−x＋5−x ＝6−2x； （2）当1≤x≤5时，，， ∴|x−1|＋|x−5| ＝x−1＋5−x ＝4； （3）当x＞5时，x−1＞0，x−5＞0， ∴|x−1|＋|x−5| ＝x−1＋x−5 ＝2x−6． 【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的意义是正确解答的前提，根据的取值范围确定x−1，x−5的符号是解决问题的关键． 【题型三】通过分类讨论化简绝对值 10．（16-17七年级上·陕西西安·阶段练习）化简：. 【答案】 【详解】试题分析：要去掉绝对值符号，需知绝对值中式子的符号，x的取值是有理数范围内任一数，所以要对x的取值分情况讨论，再去绝对值符号． 试题解析： ①当时，原式 ②当时，原式 ③当时，原式 ④当时，原式 综上所述： 11．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）如果有理数a，b，c满足，|b+c|=2，|a+c|=3，那么|a+2b+3c|等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】通过对式子|a+c|=3的变形，确定已知之间的关系，再进行分类讨论，结合对所求式子的变形，找到已知所求之间的关系，再进行求解． 【详解】解：， ∵，|b+c|=2， ∴，b+c=2或，， 分两种情况讨论： ①若，b+c=2，则两式相加，得a+c=3， ∴； ②若，，则两式相加，得a+c=-3， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查绝对值的性质，解题的关键是找到已知和所求式子之间的关系． 12．（2022七年级上·全国·专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 【答案】(1)原式 (2) 【分析】（1）根据零点分段法和绝对值的性质，分，，计算即可； （2）分别求出当，时式子的最值，即可得出结果； 【详解】（1）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述：原式； （2）当时，原式的最大值； 当时，原式的最大值； ∴的最大值为． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． 【题型四】利用绝对值的非负性求值 13．（2024·云南德宏·一模）若 ，则的值为（   ） A．6 B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，根据非负数的性质可得，求得的值，代入即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 14．（21-22七年级上·广西崇左·期中）若，则的值是(    ) A． B．1 C．2021 D． 【答案】A 【分析】根据非负数的性质可求出的值，再将它们代入代数式求解． 【详解】解：根据题意得：， 则． 故． ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了非负数的性质，有理数的乘方，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个数等于0． 15．（22-23六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键． 16．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知：，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了非负数的性质，积的乘方逆运算、同底数幂乘方逆运算，以及求代数式的值，根据非负数的性质求出a和b的值是解答本题的关键．先根据非负数的性质求出a和b的值，然后代入所给代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 17．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）已知有理数、、满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值和平方的非负性，代数式求值，解题的关键是熟练掌握绝对值和平方的非负性． 首先根据绝对值和平方的非负性求出，，，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【题型五】与绝对值相关的有理数计算问题 18．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）若，，且的绝对值与它的相反数相等，则的值是（    ） A． B． C．或 D．2或6 【答案】C 【分析】由，，可确定两个a的值与两个b的值，则可计算出a+b的所有可能值，再由的绝对值与它的相反数相等，可判断出a+b的符号是非正数，从而最后可得到a+b的值． 【详解】∵， ∴a=±4，b=±2 ∴a+b=6，2，−6，−2 ∵的绝对值与它的相反数相等，即 ∴a+b≤0 ∴或−2 故选：C 【点睛】本题考查了绝对值的性质，注意：a与b的值均有两个，不要忽略负数；一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数必定是非正数． 19．（23-24七年级上·上海浦东新·阶段练习）若，，且，则值为（  ） A． B． C．7或 D．或 【答案】D 【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数的加法分类讨论得出答案． 【详解】解：，，且， ，或，， 则或． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的加减法以及绝对值，正确掌握运算法则是解题关键． 20．（21-22七年级上·安徽宣城·期末）已知，，，则值为（    ） A．11 B．-1 C．-1或11 D．1或-11 【答案】D 【分析】先依据绝对值的性质求得、的值, 然后再由, 确定出、的具体值, 最后代入计算即可． 【详解】解:， ， 又 ，或， 当，则 当，则 故选：D 【点睛】本题主要考查有理数的加、减法及绝对值的性质，正确求出a、b的值是解题关键． 21．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）已知，，且，则所有值的和是（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】因为，，所以，，又因为，故，所以，或，，即可列式作答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，或，， 则当，，那么； 或当，，那么； ∴所有值的和是， 故选：B． 【点睛】本题考查了求一个数绝对值以及绝对值的性质，涉及有理数的加减法运算法则，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若，且，则值为 ． 【答案】或 【分析】利用平方根和绝对值解出，，然后根据和为负数得到代入解题即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴ 当时，； 当时，； 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值，平方根，有理数的加法，掌握运算法则是解题的关键． 【题型六】利用绝对值的定义判断正误 23．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知数，，的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减运算，先根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∴，故①正确； ∵ ∴故②正确； ∵，故③正确； ∵，， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 24．（22-23七年级上·福建漳州·期中）在数轴上和有理数对应的点的位置如图所示，有下列四个结论： ①；②，③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，根据数轴上各数的位置得出，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴上各点的位置可得：，故①正确； ，，， ，故②正确； ，，， ，， ，故③正确； ， ， ， ， ，故④错误； 综上可知，正确的有①②③， 故选B． 25．（20-21七年级上·四川甘孜·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示． 给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的是 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置和绝对值的意义逐一进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，， ∴， 故①不正确，②正确， ∵，，， ∴， 故③正确， ∵ ∴， ∴， 故④不正确， ∵，， ∴， 故⑤不正确， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解决本题的关键是掌握绝对值的意义． 26．（21-22七年级·全国·假期作业）已知a、b为有理数，下列说法： ①若a、b互为相反数，则； ②若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b； ③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a； ④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是负数． 其中错误的是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据不等式的性质进行判断即可； 【详解】解：若a＝b＝0，则没有意义，故①符合题意； ∵a+b＜0，ab＞0， ∴a＜0，b＜0， ∴3a+4b＜0， ∴|3a+4b|＝﹣3a﹣4b，故②不符合题意； ∵|a﹣b|+a﹣b＝0， ∴|a﹣b|＝b﹣a， ∴a≤b，故③符合题意； 若a＝﹣2，b＝1， （a+b）•（a﹣b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3＞0，故④符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查有理数加法、乘法和除法法则，以及绝对值法则，掌握这些法则是解题的关键． 27．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，错误的结论是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，不符合题意； ②若，则，原结论不正确，符合题意； ③若，则，原结论不正确，符合题意； ④若，当时，则，原结论不正确，符合题意； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有三种情形：或或或， 当时，原式； 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，不符合题意； 故答案为：②③④． 【题型七】利用绝对值的意义求字母的取值范围 28．（20-21七年级下·四川遂宁·期末）已知|5x﹣2|＝2﹣5x，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0可得出答案． 【详解】解：∵|5x﹣2|＝2﹣5x， ∴5x﹣2≤0， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的性质以及解一元一次不等式，理解正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解决问题的关键． 29．（22-23七年级上·重庆渝中·阶段练习）当a取什么范围时，关于x的方程|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|＝a总有解？（　　） A．a≥4.5 B．a≥5 C．a≥5.5 D．a≥6 【答案】B 【分析】令y=|x-4|+2|x-2|+|x-1|+|x|，根据x的范围分情况去掉绝对值符号，可求得y≥5，再结合题意即可确定a的范围． 【详解】令y＝|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|， 当x≥4时，y＝5x﹣9≥11， 当2＜x＜4时，y＝3x﹣1， ∴5＜y＜11； 当1≤x≤2时，y＝﹣x+7， ∴5≤y≤6； 当0＜x＜1时，y＝﹣3x+9， ∴6＜y＜9； 当x≤0时，y＝﹣5x+9， ∴y≥9； 综上所述，y≥5， ∴a≥5时等式恒有解． 故选：B． 【点睛】本题考查绝对值的性质；通过构造函数，将等式问题转化为函数问题解题是关键 30．（22-23七年级上·山东济南·期中）若|x﹣2+3﹣2x|=|x﹣2|+|3﹣2x|成立，则x的范围是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质可得或，解不等式组即可求解． 【详解】∵|x-2+3-2x|=|x-2|+|3-2x|， ∴或， 解得 ． 故x的范围是． 故答案为． 【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零． 31．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，则此值为 . 【答案】1 【分析】因为P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，即P的值与x无关，因此化简后不含x项，根据绝对值的意义化简得出答案． 【详解】的值恒为一常数， P的值与x无关， , 且且且且， ， = =1． 故答案为：1． 【点睛】此题考查绝对值的意义和计算方法，理解并掌握绝对值的意义和计算结果为常数的意义是解此题的关键． 【题型八】利用绝对值的意义求可能出现的结果 32．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）若三个非零有理数满足，则的值为（    ） A．3 B． C．0 D．或3 【答案】D 【分析】根据得到，再分中有两个小于0、均大于0两种情况分别求解即可． 【详解】解：， ， 当中有两个小于0时，原式； 当均大于0时，原式． 故选：D． 【点睛】此题考查了绝对值的意义和化简、多个数相乘的法则、有理数的加减法则等知识，分类讨论是解题的关键． 33．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故选：D． 34．（23-24七年级上·广西南宁·期中）若m、n为有理数，且，则的值是（　　） A． B．2 C．2或0 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除法与加法、绝对值，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．分两种情况：①和②，再化简绝对值，计算除法与加法即可得． 【详解】解：∵为有理数，且， 或， ①当时，则； ②当时，则； 综上，的值是2或， 故选：D． 35．（23-24七年级上·四川内江·期中）已知为非等有理数，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了化简绝对值，根据题目已知条件得出，，，中有一个负数或两个负数，再分两种情况：当中有一个负数时，不放设，，；当中有两个负数时，不妨设，，，分别进行计算即可，熟练掌握绝对值的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：为非等有理数，且， ，，，中有一个负数或两个负数， ， 当中有一个负数时，不放设，，， 则原式， 当中有两个负数时，不妨设，，， 则原式， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 36．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【提出问题】三个有理数、、满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则； ②当，，有个一为正数，另外两个为负数时，设，，， 则， 所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知三个有理数，，满足，求； (2)已知，，且，求的值． 【答案】(1)或； (2)的值为或． 【分析】本题主要考查了绝对值的意义及有理数加减乘除运算，根据题意应用绝对值意义求解是解决本题的关键． （1）仿照题目给出的思路和方法求解即可； （2）根据绝对值的意义和，确定a、b的值，然后再分类讨论求出再计算的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． 当，，都是负数，即，，时， 则：； 当，，有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则：． 综上，的值为或． （2）解：，， ，， ， ，或，， 或． 答：的值为或． 【题型九】与绝对值有关的最值问题 37．（2024七年级·全国·竞赛）已知有理数满足，则式子的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 9 5 【分析】本题主要考查了绝对值的意义．根据题意可得表示数轴上数x表示的点到表示的点与数x表示的点到2表示的点的距离的和，再根据数轴上两点间的距离，即可求解． 【详解】解：根据题意得：表示数轴上数x表示的点到表示的点与数x表示的点到2表示的点的距离的和， ∵有理数满足， ∴当数x表示的点在表示的点与数x表示的点到2表示的点之间时，最小，最小值为， 当时，最大，最大值为． 故答案为：9；5 38．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．例：表示在数轴上数x与数3对应点之间的距离为2．这个结论可以推广为：表示在数轴上数x、y对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义． 根据上面的阅读材料，结合数轴解答下列问题： （1）代数式：的最小值为 ． （2）已知，则的最小值为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，求代数式的值，理解两点间的距离是解题的关键． （1）根据两点间的距离求解即可； （2）根据两点间的距离求出x，y的取值范围，再求的最小值即可． 【详解】解：（1）表示数轴上表示x的点到表示、和2三个点的距离之和，要使距离之和最小，x在中间的那个数上，即，距离为到2的距离， 故答案为：6； （2）的最小值为， 的最小值为， ∵， ∴，， ∴的最小值是， 故答案为：． 39．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）综合与探究：已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； (3)若表示一个有理数，且位于到之间，求的值； (4)的最小值是 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义，熟练掌握数轴和绝对值的特征是解题的关键． （1）根据题意，可以解答本题； （2）由题意可以得到，数轴上表示和的两点之间的距离和数轴上表示和两点之间的距离； （3）根据的值，去掉绝对值符号，进行化简，即可解答本题； （4）利用数轴的特点和绝对值的意义可以解答本题． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为，数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为：，； （3）解：若表示一个有理数，则的最小值； （4）解：根据点在数轴上的位置可知，当时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：． 40．（23-24七年级上·四川眉山·期中）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． (1)______，______； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取最小值． ④当x取何值时，取最小值？最小值为多少？直接写出结果． 【答案】(1)， (2)5 (3)①3；②4；③4；④当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时的取值的一般规律是解题的关键． （1）根据相反数和非负数的性质，求解即可； （2）由折叠可知，折痕点对应的数是，再由对称性可知点B与数字5重合； （3）①当时，有值最小； ②当时，的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解； ③找到2，2，3，3，4，4，4，4的中间数即为所求； ④由，可求4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当时，式子有最小值． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，，解得，， 故答案为：，； （2）解：∵点A与表示的点重合， ∴折痕点对应的数是， ∴与点B重合的点所表示的数为， 故答案为：5； （3）解：①表示数轴上表示的点到表示3的点和6的点的距离之和， 当时，的值最小， 的最小值为3， 故答案为：3； ②表示数轴上表示的点到表示的点和4的点的距离之和， 当时，的值最小，最小值为7， ， 的整数值为，，，0，1，2，3，4， 满足条件的所有整数的和是4， 故答案为：4； ③表示2倍的到2的距离，2倍的到3的距离，5倍的到4的距离之和， ，2，3，3，4，4，4，4的中间数是4， 当时，的最小值； 故答案为：4； ④， 表示4倍的到的距离，3倍到的距离，到的距离，2倍到的距离，3倍到3的距离之和， 个，3个，1个，2个，3个3的中间数是， 当时，的值最小，最小值为． 【题型十】与绝对值有关的新定义问题 41．（2023七年级上·浙江·专题练习）根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如： 解：方程可化为：或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2)12或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，解决本题的关键是理解绝对值的意义，熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）根据绝对值的意义和解一元一次方程的步骤进行计算即可； （2）根据绝对值的意义可得或，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程：， 或， 解得或， 故方程的解为或； （2）解：已知， 或， 解得或 所以的值为12或， 答：的值为12或． 42．（23-24七年级上·北京房山·期中）通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数与的两点间的距离． 例如，的几何意义为数轴上表示数与5的两点间的距离，若，则的值为4或6． 给出定义：数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之和称为与，的“关联距离”．例如，为与1，的“关联距离”； 为与1，2，的“关联距离”．    (1)若，则的值为________； (2)若与1，的“关联距离”为2，写出一个满足条件的的值________； (3)请化简“关联距离”，并直接写出该“关联距离”的最小值________． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） (3)化简见解析； 【分析】（1）根据与的距离为1，即可求解． （2）与1，的“关联距离”为2，即，可得中的任意一个数都符合题意； （3）根据题意，表示点到，的距离的和，则分，四种情况化简绝对值，进而根据时取得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵，表示与的距离为1， ∴或； 故答案为：，． （2）解：依题意，与1，的“关联距离”为2，即 ∴中的任意一个数都符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． （3）解：①当时； ②当时； ③当时； ④当时； ∵表示点到，的距离的和， ∴当时，取得最小值， 即 ∴“关联距离”最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，化简绝对值，整式的加减．解决本题需根据绝对值内数或者式的正负化简绝对值；掌握分类讨论思想． 43．（22-23七年级上·广东江门·期中）对于有理数，定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值； (2)当，在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)当，在数轴上的位置如图所示时，已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数轴上点的位置判定式子的符号，代数式求值，一元一次方程； （1）将字母的值代入进行计算即可求解； （2）先化简绝对值，然后合并同类项，即可求解； （3）根据（2）的结果，可得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）由数轴得： ． ∴原式 ． （3）由（2）得：， 由数轴得：， ． 44．（23-24七年级上·河北保定·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________． 【答案】(1)3，8； (2)6或0. (3) 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了绝对值的计算和绝对值的几何意义，掌握相关结论是解题关键． （1）根据定义计算、即可求解； （2）解绝对值方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义得出的最小值，依此类推即可求解． 【详解】（1）解：根据定义可得： 1和2关于0的“美好关联数”为：； 和5关于2的“美好关联数”为：； 故答案为：3，8； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或 ∴的值为6或0. （3）解：由已知得：， ∵，， ∴的最小值； ， ∵，， ∴的最小值； 同理，，的最小值； ，的最小值；……； ∴，的最小值是， ∴的最小值为. 故答案为：． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 绝对值贯穿有理数的十大经典题型 【热考题型】 【题型一】结合数轴，利用绝对值的性质化简求值 1．（23-24七年级上·广东清远·期中）p在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简得到的结果是（   ） A．0 B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，且，化简：的结果为 ． 4．（22-23七年级上·江西宜春·期中）如下图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c．（O为原点） (1) 0， 0， 0（用“＜”或“＞”或“＝”号填空）； (2)化简：． 【题型二】根据字母的取值范围化简绝对值 5．（2020·浙江杭州·模拟预测）如果，那么等于（　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）如果，那么化简等于 ． 7．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）如果a是不等于零的有理数，那么化简的结果是（    ） A．0或1 B．0或 C．0 D．1 8．（16-17七年级上·湖北十堰·期末）如果0＜m＜10，并且m≤x≤10，那么，代数式化简后所得到的最后结果是（       ） A．-10 B．10 C． D． 9．（21-22七年级上·江西上饶·期末）对于式子在下列范围内讨论它的结果． (1)当时； (2)当时； (3)当时． 【题型三】通过分类讨论化简绝对值 10．（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）化简：. 11．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）如果有理数a，b，c满足，|b+c|=2，|a+c|=3，那么|a+2b+3c|等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 12．（2022七年级上·全国·专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 【题型四】利用绝对值的非负性求值 13．（2024·云南德宏·一模）若 ，则的值为（   ） A．6 B．5 C．1 D． 14．（21-22七年级上·广西崇左·期中）若，则的值是(    ) A． B．1 C．2021 D． 15．（22-23六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（    ） A． B． C． D．1 16．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知：，则的值为 ． 17．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）已知有理数、、满足，则 ． 【题型五】与绝对值相关的有理数计算问题 18．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）若，，且的绝对值与它的相反数相等，则的值是（    ） A． B． C．或 D．2或6 19．（23-24七年级上·上海浦东新·阶段练习）若，，且，则值为（  ） A． B． C．7或 D．或 20．（21-22七年级上·安徽宣城·期末）已知，，，则值为（    ） A．11 B．-1 C．-1或11 D．1或-11 21．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）已知，，且，则所有值的和是（    ） A． B． C． D．8 22．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若，且，则值为 ． 【题型六】利用绝对值的定义判断正误 23．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知数，，的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．（22-23七年级上·福建漳州·期中）在数轴上和有理数对应的点的位置如图所示，有下列四个结论： ①；②，③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 25．（20-21七年级上·四川甘孜·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示． 给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的是 ．（填序号） 26．（21-22七年级·全国·假期作业）已知a、b为有理数，下列说法： ①若a、b互为相反数，则； ②若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b； ③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a； ④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是负数． 其中错误的是 （填写序号）． 27．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，错误的结论是 （填写序号）． 【题型七】利用绝对值的意义求字母的取值范围 28．（20-21七年级下·四川遂宁·期末）已知|5x﹣2|＝2﹣5x，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 29．（22-23七年级上·重庆渝中·阶段练习）当a取什么范围时，关于x的方程|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|＝a总有解？（　　） A．a≥4.5 B．a≥5 C．a≥5.5 D．a≥6 30．（22-23七年级上·山东济南·期中）若|x﹣2+3﹣2x|=|x﹣2|+|3﹣2x|成立，则x的范围是 ． 31．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，则此值为 . 【题型八】利用绝对值的意义求可能出现的结果 32．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）若三个非零有理数满足，则的值为（    ） A．3 B． C．0 D．或3 33．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 34．（23-24七年级上·广西南宁·期中）若m、n为有理数，且，则的值是（　　） A． B．2 C．2或0 D．2或 35．（23-24七年级上·四川内江·期中）已知为非等有理数，且，则的值为 ． 36．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【提出问题】三个有理数、、满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则； ②当，，有个一为正数，另外两个为负数时，设，，， 则， 所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知三个有理数，，满足，求； (2)已知，，且，求的值． 【题型九】与绝对值有关的最值问题 37．（2024七年级·全国·竞赛）已知有理数满足，则式子的最大值是 ，最小值是 ． 38．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．例：表示在数轴上数x与数3对应点之间的距离为2．这个结论可以推广为：表示在数轴上数x、y对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义． 根据上面的阅读材料，结合数轴解答下列问题： （1）代数式：的最小值为 ． （2）已知，则的最小值为 ． 39．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）综合与探究：已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； (3)若表示一个有理数，且位于到之间，求的值； (4)的最小值是 40．（23-24七年级上·四川眉山·期中）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． (1)______，______； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取最小值． ④当x取何值时，取最小值？最小值为多少？直接写出结果． 【题型十】与绝对值有关的新定义问题 41．（2023七年级上·浙江·专题练习）根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如： 解：方程可化为：或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 42．（23-24七年级上·北京房山·期中）通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数与的两点间的距离． 例如，的几何意义为数轴上表示数与5的两点间的距离，若，则的值为4或6． 给出定义：数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之和称为与，的“关联距离”．例如，为与1，的“关联距离”； 为与1，2，的“关联距离”．    (1)若，则的值为________； (2)若与1，的“关联距离”为2，写出一个满足条件的的值________； (3)请化简“关联距离”，并直接写出该“关联距离”的最小值________． 43．（22-23七年级上·广东江门·期中）对于有理数，定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值； (2)当，在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)当，在数轴上的位置如图所示时，已知，求的值． 44．（23-24七年级上·河北保定·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$