新中考·核心专题集训12 数学文化-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题集训12 (见学生用书P83) [范围：数学文化] 一、选择题 1．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马、大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是(　C　) A．　　　　　　B． C． D． 【解析】 根据题意可得 2．2021·温州图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为(　A　) A．＋1 B．sin2α＋1 C．＋1 D．cos2α＋1 【解析】∵AB＝BC＝1，在Rt△OAB中，sin α＝， ∴OB＝.在Rt△OBC中，OB2＋BC2＝OC2， ∴OC2＝()2＋12＝＋1. 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以该直角三角形的三边为边，并在直线AB同侧作正方形ABMN、正方形BQPC、正方形ACEF，且点N恰好在正方形ACEF的边EF上．其中S1，S2，S3，S4，S5表示相应阴影部分面积，若S3＝1，则S1＋S2＋S4＋S5＝(　B　) A．2 B．3 C．2 D． 【解析】如图，连结MP，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于Q′. ∵∠ABM＝∠CBQ＝90°， ∴∠ABC＝∠MBQ， ∵BA＝BM，BC＝BQ， ∴△ABC≌△MBQ(SAS).同理可得△ANF≌△ABC，∴S2＝S3＝1，∠ACB＝∠AFN＝90°， ∴∠BQM＝∠ACB＝90°，∵∠PQB＝90°， ∴M，P，Q共线．易知四边形CGMP是矩形， ∴MG＝PC＝BC.∵∠BCT＝∠BMQ′＝90°， ∴∠BTC＋∠CBT＝90°，∠BQ′M＋∠CBT＝90°， ∴∠MQ′G＝∠BTC. 又∠BCT＝∠MGQ′＝90°， ∴△MGQ′≌△BCT(AAS)， ∴S4＝S△BGM，MQ′＝BT. ∵MN＝BM， ∴NQ′＝MT. ∵∠MQ′G＝∠BTC， ∴∠NQ′E＝∠MTP. ∵∠E＝∠MPT＝90°，则△NQ′E≌△MTP(AAS)， ∴S1＋S5＝S3＝S4＝1， ∴S1＋S2＋S4＋S5＝3. 二、填空题 4．2022·绍兴元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其题意为：“良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是__20__． 【解析】 设良马x天追上劣马，根据题意得240x＝150(x＋12)，解得x＝20.∴良马追上劣马需要的天数是20. 5．2022·湖州由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形(阴影部分).则图中AB的长应是__－1__． 【解析】 如图，设DE＝x.由题意3DE2＝1，∴DE＝.在Rt△CDE中，∠CED＝90°，CD＝1，∴EC＝＝＝，∴tan ∠ECD＝＝，∴DT＝，∴AT＝1－.∵∠ABT＝∠TCD，∴tan ∠ABT＝tan ∠TCD， ∴＝，∴＝，∴AB＝－1. 6．2021·金华如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是__(－－，＋)__． 【解析】 如图，作AH⊥x轴于H，过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K，延长PQ交OB于T.设大正方形的边长为4a，则OC＝a，CD＝2a， 在Rt△ADH中，∠ADH＝45°， ∴AH＝HD＝a， ∴OH＝4a. ∵点A的横坐标为1， ∴4a＝1， ∴a＝.在Rt△FPQ中，PF＝FQ＝2a＝， ∴PQ＝PF＝. ∵FK⊥PQ，∴PK＝KQ， ∴FK＝PK＝QK＝. ∵KJ＝，PT＝1＋(－)＝＋， ∴FJ＝＋，KT＝PT－PK＝＋－＝＋， ∴F(－－，＋). 三、解答题 7．2022·金华如图1，将长为2a＋3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图2)，得到大小两个正方形． (1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长． (2)当a＝3时，该小正方形的面积是多少？ 解：(1)∵直角三角形较短的直角边＝×2a＝a，较长的直角边＝2a＋3， ∴小正方形的边长＝2a＋3－a＝a＋3. (2)S小正方形＝(a＋3)2，当a＝3时，S小正方形＝(3＋3)2＝36. 8．2023·安徽如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，求需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC的度数． 解：如图，∵BM⊥CD， ∴∠CBM＝90°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠ABE＋∠FBM＝180°－90°－50°＝40°， ∵∠ABE＝∠FBM， ∴∠ABE＝∠FBM＝20°， ∴∠EBC＝20°＋50°＝70°. 9．2023·福建改编我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6.如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，求π的估计值． 解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，过A作AM⊥OB于M，在正十二边形中，∠AOB＝360°÷12＝30°， ∴AM＝OA＝， ∴S△AOB＝OB·AM＝×1×＝， ∴正十二边形的面积为12×＝3，∴3＝12×π， ∴π＝3，∴π的近似值为3. 10．2022·温州改编如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L.若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝＋，求CH的长． 解：设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，设正方形JKLM的边长为m， ∴正方形JKLM的面积为m2， ∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5， ∴正方形ABGF的面积为5m2， ∴AF＝AB＝m， 由已知可得∠AFL＝90°－∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF＝GF， ∴△AFL≌△FGM(AAS)，∴AL＝FM.设AL＝FM＝x，则FL＝FM＋ML＝x＋m，在Rt△AFL中，AL2＋FL2＝AF2，∴x2＋(x＋m)2＝(m)2，解得x＝m或x＝－2m(舍去)， ∴AL＝FM＝m，FL＝2m.∵tan ∠AFL＝＝＝＝，∴＝，∴AP＝. ∴FP＝＝＝m，BP＝AB－AP＝m－＝， ∴AP＝BP，即P为AB的中点． ∵∠ACB＝90°， ∴CP＝AP＝BP＝. ∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠FAP， ∴△CPN∽△FPA，∴＝＝， 即＝＝. ∴CN＝m，PN＝m， ∴AN＝AP＋PN＝m， ∴tan ∠BAC＝＝＝， ∵△AEC和△BCH都是等腰直角三角形， ∴△AEC∽△BHC， ∴＝. ∵CE＝＋， ∴＝， ∴CH＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$