新中考·核心专题集训4 常见特殊点、线的关联-【精彩三年】2024年中考数学新问题导引一题一课教师用书配套Word

新中考·核心专题集训4 (见学生用书P61) [范围：常见特殊点、线的关联] 一、选择题 1．2022·宁波如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为(　D　) A．2　　　B．3　　　C．2　　　D．4 【解析】 ∵D为斜边AC的中点，F为CE的中点，DF＝2，∴AE＝2DF＝4. ∵AE＝AD，∴AD＝4. 在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点， ∴BD＝AC＝AD＝4. 2．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，AG是底边BC上的高，在AG的延长线上有一个动点D，连结CD，作∠CDE＝150°，交AB的延长线于点E，∠CDE的平分线交AB边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF长的最小值为(　D　) A．6 B．4 C．3 D．2 【解析】 作DM⊥AB交AE于M，作DN⊥AC交AC的延长线于N， ∵AB＝AC, AG⊥BC，∴AG平分∠BAC，即AD平分∠BAC. ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM＝DN. ∵∠BAC＝30°，∠AMD＝∠AND＝90°， ∴∠MDN＝150° . ∵∠CDE＝150°，∴∠MDE＝150°－∠CDM ＝∠NDC， ∴△MDE≌△NDC(ASA)，∴DE＝DC. ∵DF平分∠CDE，∴∠EDF＝∠CDF. 连结CF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△CDF(SAS)，∴EF＝CF， ∴当CF⊥AB时CF有最小值，即EF有最小值， 此时，∵∠BAC＝30°，AC＝4，∴CF＝AC＝2. 3．如图，P为△ABC内一点，过点P的直线MN与边AB，AC分别交于点M，N，若点M、点N恰好分别在BP，CP的垂直平分线上，记∠PBC＝α，∠A＋2∠PCB＝β，则α，β满足的关系式为(　C　) A．β－α＝90° B．β－2α＝90° C．α＋β＝90° D．β＋α＝90° 【解析】 ∵点M、点N恰好分别在BP，CP的垂直平分线上， ∴PM＝BM，PN＝CN， ∴∠PBM＝∠MPB，∠NPC＝∠NCP. ∵∠PBC＋∠PCB＝180°－∠BPC，∠AMP＋∠ANP ＝180°－∠A，∠AMP＝2∠MPB，∠ANP ＝2∠NPC，∠MPB＋∠NPC＝180°－∠BPC，∠PBC＝α，∠A＋2∠PCB＝β， ∴α＋β＝90°. 二、填空题 4．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG.若DE＝3，AF＝2，则矩形BCHG的面积为__12__． 【解析】 由题意，BG＝CH＝AF＝2， 在矩形BCHG中，∠G＝90°， ∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠G＝90°. ∵点D为AB的中点，∴AD＝BD. 又∵∠ADF＝∠BDG， ∴△ADF≌△BDG， ∴DG＝DF. 同理可得EF＝EH， ∴DG＋EH＝DE＝3， ∴BC＝GH＝3＋3＝6， ∴矩形BCHG的面积为BC·BG＝6×2＝12. 第4题图 　　第5题图 5．如图，在△ABC中，分别以AB，AC为斜边在同侧作两个等腰直角△ADB与△AEC，若点D是△AEC的重心，则tan ∠BAC＝____． 【解析】 连结ED并延长交AC于M，过D作DN⊥AE， ∵点D是△AEC的重心， ∴ED＝2DM，AM＝CM. 设DM＝x，则ED＝2DM＝2x， ∵分别以AB，AC为斜边在同侧作两个等腰直角△ADB与△AEC， ∴△AME，△DNE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝45°－∠DAC， ∴AM＝CM＝EM＝3x，AE＝3x，EN＝DN＝DE＝x， ∴AN＝AE－EN＝2x， ∴tan ∠BAC＝tan ∠DAE＝＝＝. 6．2022·丽水如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F, FG∥AD 交AE于点G，若cos B＝，则FG的长是____． 【解析】 过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P， 由题意可知，AB＝BC＝4，E是BC的中点， ∴BE＝2. 又∵cos B＝， ∴BH＝1，即H是BE的中点， ∴AB＝AE＝4. 又∵AF是∠DAE的平分线，FG∥AD， ∴∠FAG＝∠AFG，即AG＝FG. 又∵PF∥AD，AP∥DF， ∴PF＝AD＝4. 设FG＝x，则AG＝x，EG＝PG＝4－x， ∵PF∥BC， ∴∠AGP＝∠AEB＝∠B， ∴cos ∠AGP＝＝＝，解得x＝. 三、解答题 7．如图，在5×5的网格中，△ABC的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．(请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示) (1)在图1中，画出△ABC的中线AD和重心G. (2)在图2中，画线段CE，点E在AB上，使得S△ACE∶S△BCE＝3∶4. (3)在图3中，画出△ABC的外心点O. 解：(1)如图所示，中线AD和重心点G即为所作． (2)如图所示，CE即为所作． (3)如图，点O即为所作． 8．2022·温州如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG. (1)求证：四边形DEFG是平行四边形． (2)当AD＝5，tan ∠EDC＝时，求FG的长． 解：(1)证明：∵E，F分别是AC，AB的中点， ∴EF∥BC， ∴∠FEO＝∠DGO，∠EFO＝∠GDO. ∵O是DF的中点， ∴FO＝DO， ∴△EFO≌△GDO(AAS)， ∴EF＝GD， ∴四边形DEFG是平行四边形． (2)∵AD⊥BC，E是AC的中点， ∴DE＝AC＝EC， ∴∠EDC＝∠C， ∴tan C＝tan ∠EDC＝， ∴＝. ∵AD＝5，∴CD＝2， ∴DE＝AC＝＝×＝. ∵四边形DEFG为平行四边形， ∴FG＝DE＝. 9．在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的动点(不与点D重合)，过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的平分线所在的直线与射线CD交于点G. (1)如图1，点E在线段AD上运动． ①若∠B＝60°，∠ACB＝40°，则∠EGC＝__50__°. ②若∠A＝90°，求∠EGC的度数． (2)当点E在射线DB上运动时，探究∠EGC与∠A之间的数量关系． 解：(1)①如图1，∵EF∥BC， ∴∠B＝∠FEB，∠EFD＝∠BCD， ∵CF是∠ACB的平分线，EG是∠FED的平分线， ∴∠FEG＝∠DEG＝∠FED＝∠B，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝∠EFD. 又∵∠EGC＝∠FEG＋∠EFG， ∴∠EGC＝∠B＋∠ACB＝×60°＋×40°＝50°. 故答案为50. ②由①得，∠EGC＝∠B＋∠ACB＝(∠B＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝90°－∠A＝90°－×90°＝45°. (2)当点E在线段DB上时，如图2， ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠B，∠EFG＝∠BCD＝∠ACB. ∵GH平分∠BEF， ∴∠BEH＝∠HEF， ∴∠EGC＝∠HEF－∠EFG＝－∠ACB＝90°－∠AEF－∠ACB＝90°－(∠ABC＋∠ACB)＝90°－(180°－∠A)＝∠A. 当点E在射线DB上时，如图3，易得，∠EGD＝90°－∠A， ∴∠EGC＝180°－∠EGD＝180°－90°＋∠A＝90°＋∠A. 综上所述，∠EGC与∠A之间的数量关系为∠EGC＝∠A或∠EGC＝90°＋∠A. 10．阅读材料，某个学习小组成员发现：在等腰三角形ABC中，AD平分∠BAC，∵AB＝AC，BD＝CD，∴＝，他们猜想：在任意△ABC中，一个内角平分线分对边所成的两条线段与这个内角的两边对应成比例． 【证明猜想】如图1所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，求证：＝. 丹丹认为，可以通过构造相似三角形的方法来证明； 思思认为，可以通过比较△ABD和△ACD面积的角度来证明． (1)请你从上面的方法中选择一种进行证明． (2)【尝试应用】如图2，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点E是⊙O上一点(与B不重合)，且，连结AE并延长，AE，BC交于点D，H为AE的中点，连结BH交AC于点G，求的值． (3)【拓展提高】如图3，在(2)的条件下，延长BH交⊙O于点F，若，GH＝x，求⊙O的直径(用含x的代数式表示). 解：(1)选丹丹的方法，丹丹认为，可以通过构造相似三角形的方法来证明． 证明：延长AD交过点C且与AB平行的直线交于点E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵CE∥AB， ∴∠BAD＝∠CED＝∠CAD， ∴AC＝EC. ∵AB∥CE， ∴△ABD∽△ECD， ∴＝， ∴＝. 选择思思的方法，思思认为，可以通过比较△ABD和△ACD面积的角度来证明． 证明：过点D作DP⊥AB于点P，DQ⊥AC于点Q， ∵AD平分∠BAC，DP⊥AB，DQ⊥AC， ∴PD＝DQ， ∴＝＝， 又∵＝＝(h为△ABC的边BC上的高)， ∴＝. (2)连结CE，∵，∴AB＝AE. ∵⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°， ∴AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°. 在Rt△ABC和Rt△AEC中， ∴Rt△ABC≌Rt△AEC(HL)， ∴∠BAC＝∠EAC， 即AC为∠BAE的平分线， ∴＝. 又∵H为AE的中点， ∴AH＝AE＝AB， ∴＝＝. (3)作BN⊥AE交AE于点N，连结BE交AC于M，连结EF. ∵， ∴∠HBE＝∠BAE， ∵∠HEB＝∠BEA， ∴△HBE∽△BAE， ∴＝＝. ∵AB＝AE， ∴BH＝BE. 又∵GH＝x， 由(2)知BG＝2GH＝2x， ∴BH＝BE＝3x， ∴＝＝， ∴＝， ∴HE＝， ∴AB＝AE＝2HE＝3x. ∵BN⊥AD，BH＝BE， ∴HN＝NE＝HE＝，∠EBN＝∠EBH＝∠BAD＝∠BAC， ∴BN＝＝＝x. 在Rt△BEN中，cos ∠NBE＝＝＝cos ∠BAC， 在Rt△ABC中，AC＝＝＝x， 即⊙O的直径为x. 学科网（北京）股份有限公司 $$