2.3 等腰三角形的性质和判定（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

2.3等腰三角形的性质和判定 【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】 【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】 【考点4：判断等腰三角形的个数】 【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【考点6：等腰三角形的判定】 【考点7：等腰三角形的判定与性质】 【考点8： 等腰三角形的实际应用】 知识点1：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【典例1】（2022秋•苍梧县期末）已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（　　） A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5 【变式1-1】（2023秋•昆明期中）等腰三角形的两边分别为3cm，4cm，则它的周长是（　　） A．10cm B．11cm C．16cm或9cm D．10cm或11cm 【变式1-2】（2023秋•滨海新区校级期中）等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则等腰三角形的周长（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．18 【变式1-3】（2023秋•仁化县期中）一个等腰三角形的周长为24cm，只知其中一边的长为7cm，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．7cm B．8.5cm C．10cm D．7cm或8.5cm 【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】 【典例2】（2023春•兴宁市期末）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（　　） A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20° 【变式2-1】（2022秋•巫溪县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40° 【变式2-2】（2023秋•曲阜市期中）已知等腰△ABC中，AB＝AC，若该三角形有一个内角是70°，则顶角A的度数为（　　） A．70° B．55° C．40° D．40°或70° 【变式2-3】（2022秋•南开区校级期末）等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（　　） A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40° 【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】 【典例3】（2023秋•建瓯市期中）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．45° D．25° 【变式3-1】（2022秋•利川市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（　　） A．11 B．12 C．14 D．16 【变式3-2】（2023春•蓬莱区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3-3】（2022秋•惠州期末）如图，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于D，则∠DBC的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 知识点2：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【考点4：判断等腰三角形的个数】 【典例4】（2023秋•德城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-1】（2023秋•武清区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，则图中等腰三角形的个数是 　 ． 【变式4-2】（2023•鄞州区校级开学）如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有 　　个． 【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【典例5】（2023秋•东阿县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式5-1】（2023秋•西湖区校级月考）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为面积为1的等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-2】（2023秋•五华区校级期中）如图，已知点A，B的坐标分别为（3，0）和（0，5），在坐标轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（　　）个． A．4 B．6 C．8 D．10 【变式5-3】（2023秋•原阳县期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有 　　个． 【考点6：等腰三角形的判定】 【典例6】（2023春•东源县期末）已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形． 【变式6-1】（2023秋•永泰县期中）如图，在△ABC中，∠A＝∠C，AB＝AC，BD＝AD． （1）求∠A的度数． （2）求证：△DBC是等腰三角形． 【变式6-2】（2023秋•泗洪县期中）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F． （1）证明：BA＝BC； （2）求证：△AFC为等腰三角形． 【变式6-3】（2023•永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E． （1）求∠ADB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 【考点7：等腰三角形的判定与性质】 【典例7】（2023春•修水县期末）在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F． （1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由； （2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长． 【变式7-1】（2022秋•岳阳楼区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E． （1）求证：BE＝DE； （2）若∠A＝75°，∠C＝37°，求∠BDE的度数． 【变式7-2】（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD． （1）求证：△ACD为等腰三角形． （2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数． 【变式7-3】（2023•瓯海区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E． （1）过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：FB＝FE． （2）若∠C＝36°，求∠BAD的度数． 【考点8： 等腰三角形的实际应用】 【典例8】（2020秋•铁锋区期中）数学与生活． 如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上． （1）求轮船在B处时与灯塔M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是　　 ，灯塔M在轮船的　 　方向上． 【变式8-1】（2022秋•嘉峪关期末）如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°．求从B处到灯塔C的距离． 【变式8-2】（2022秋•越秀区校级期中）如图，一条船上午8时从A处以20海里/小时的速度向正南航行，上午10时到达B处，从A处测得灯塔C在南偏东30°的方向上，在B处测得灯塔C在南偏东60°的方向上． （1）求B处离灯塔C的距离； （2）轮船从B处出发，按原速度航行，再过多少小时灯塔C正好在船的正东方向． 1．等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（     ） A． B． C． D．或 2．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（    ） A． B． C．或 D．或 3．等腰三角形一边长为6，周长为15，则它的腰长为（    ） A．3 B．6 C．3或6 D．6或 4．在中，是边上的高线，点D到，的距离相等，则一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于D，交于E，连接，则图中等腰三角形共有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点E为边的中点，，交于点D，若，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图所示，在中，，，垂足为点，，交于点，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（    ） A．B． C． D． 10．如图，是的平分线，， 交于E，则图中等腰三角形的个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 11．如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，平分，求证：． 13．中，，的高与角平分线交于点F．    (1)求证； (2)求证：为等腰三角形． 14．在中，是的角平分线，是的中点，过作交延长线于，交于．      (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3等腰三角形的性质和判定 【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】 【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】 【考点4：判断等腰三角形的个数】 【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【考点6：等腰三角形的判定】 【考点7：等腰三角形的判定与性质】 【考点8： 等腰三角形的实际应用】 知识点1：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【典例1】（2022秋•苍梧县期末）已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（　　） A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5 【答案】A 【解答】解：分两种情况： 当腰长为5时，等腰三角形的底边长＝20﹣5×2＝20﹣10＝10， ∵5+5＝10， ∴不能组成三角形， 当底边长为5时，等腰三角形的腰长＝×（20﹣5）＝7.5， 综上所述：此等腰三角形的底边长为5， 故选：A． 【变式1-1】（2023秋•昆明期中）等腰三角形的两边分别为3cm，4cm，则它的周长是（　　） A．10cm B．11cm C．16cm或9cm D．10cm或11cm 【答案】D 【解答】解：①3cm是腰长时，能组成三角形，周长＝3+3+4＝10cm， ②4cm是腰长时，能组成三角形，周长＝4+4+3＝11cm， 所以，它的周长是10cm或11cm． 故选：D． 【变式1-2】（2023秋•滨海新区校级期中）等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则等腰三角形的周长（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．18 【答案】B 【解答】解：分两种情况： 当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形； 当腰为9时，9+9＞4，所以能构成三角形， 周长是：22． 故选：B． 【变式1-3】（2023秋•仁化县期中）一个等腰三角形的周长为24cm，只知其中一边的长为7cm，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．7cm B．8.5cm C．10cm D．7cm或8.5cm 【答案】D 【解答】解：∵若7cm为等腰三角形的腰长，则底边长为：24﹣2×7＝10（cm），此时三角形的三边长分别为7cm，7cm，10cm，符合三角形的三边关系； 若7cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（24﹣7）÷2＝8.5（cm），此时三角形的三边长分别为8.5cm，8.5cm，7cm，符合三角形的三边关系； ∴该等腰三角形的腰长为7cm或8.5cm， 故选：D． 【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】 【典例2】（2023春•兴宁市期末）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（　　） A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20° 【答案】B 【解答】解：分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时，底角为（180°﹣80°）＝50°； ②当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20°； 综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°； 故选：B． 【变式2-1】（2022秋•巫溪县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40° 【答案】C 【解答】解：当它的顶角为70°时， 它的顶角度数为：（180°﹣70°）÷2＝55°； 当它的底角为70°时， 它的顶角度数为：180°﹣2×70°＝40°； ∴它的底角度数是55°或70°． 故选：C． 【变式2-2】（2023秋•曲阜市期中）已知等腰△ABC中，AB＝AC，若该三角形有一个内角是70°，则顶角A的度数为（　　） A．70° B．55° C．40° D．40°或70° 【答案】D 【解答】解：若70°是顶角，则顶角为70°； 若70°是底角，则设顶角是y， ∴2×70°+y＝180°， 解得：y＝40°． 故选：D． 【变式2-3】（2022秋•南开区校级期末）等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（　　） A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40° 【答案】C 【解答】解：如图：在△ABC中，AB＝AC， 当∠DAC＝70°时， ∴∠BAC＝180°﹣∠DAC＝110°， ∴等腰三角形的顶角的度数为110°， 故选：C． 【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】 【典例3】（2023秋•建瓯市期中）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．45° D．25° 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°， ∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣30°）＝75°， ∵DE垂直平分线AB， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝30°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝75°﹣30°＝45°． 故选：C． 【变式3-1】（2022秋•利川市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（　　） A．11 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∵△BCD的周长为24， ∴BD+CD+BC＝24， ∴AB+BC＝24， ∵BC＝10， ∴AC＝AB＝24﹣10＝14． 故选：C． 【变式3-2】（2023春•蓬莱区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC＝12， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中 ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝12，BD＝CE， ∵BD＝4， ∴CE＝BD＝4， ∴AE＝AC﹣CE＝12﹣4＝8． 故选：C． 【变式3-3】（2022秋•惠州期末）如图，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于D，则∠DBC的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°， ∴， ∵AB的垂直平分线MN交AC于D， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝50°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°； 故选：B． 知识点2：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【考点4：判断等腰三角形的个数】 【典例4】（2023秋•德城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形； ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°， ∴∠A＝∠ABD＝36°， ∴BD＝AD， ∴△ABD是等腰三角形； 在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠C＝∠BDC＝72°， ∴BD＝BC， ∴△BCD是等腰三角形； ∵BE＝BC， ∴BD＝BE， ∴△BDE是等腰三角形； ∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°， ∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°， ∴∠A＝∠ADE， ∴DE＝AE， ∴△ADE是等腰三角形； ∴图中的等腰三角形有5个． 故选：D． 【变式4-1】（2023秋•武清区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，则图中等腰三角形的个数是 　3　． 【答案】3． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝＝72°， ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝36°， ∵∠BDC是△ABD的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°， ∴∠BDC＝∠C＝72°， ∴BD＝BC， ∴△ABC，△ABD，△BDC都是等腰三角形， ∴图中等腰三角形的个数是3， 故答案为：3． 【变式4-2】（2023•鄞州区校级开学）如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有 　6　个． 【答案】6． 【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°， ∴△ABC和△ADE是等腰三角形， ∵∠B＝36°，∠ADE＝72°， ∴∠BAD＝36°， ∴AD＝BD， ∴△ABD是等腰三角形，同理△AEC是等腰三角形， ∵∠ADE＝∠AED＝72°， ∴∠DAE＝36°， ∴∠CAD＝36°+36°＝72°， ∴∠CAD＝∠CDA＝72°， ∴△ADC是等腰三角形， 同理：△ABE是等腰三角形， 综上所述：等腰三角形有6个， 故答案为：6． 【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【典例5】（2023秋•东阿县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【解答】解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线分别与AC，x轴负半轴相交，共两个交点，都符合条件； （2）当AB是腰时，①以点A为圆心AB长为半径画圆分别与y轴正半轴，负半轴，x轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件； ②以点B为圆心AB长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件， 因此共有8个符合条件的点． 故选：D． 【变式5-1】（2023秋•西湖区校级月考）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为面积为1的等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解答】解：如图：分情况讨论 ①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个； ②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 故选：D． 【变式5-2】（2023秋•五华区校级期中）如图，已知点A，B的坐标分别为（3，0）和（0，5），在坐标轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（　　）个． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解答】解：如图， 当AB＝AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外）， 当BA＝BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外）， 当CA＝CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点， 综上所述：符合条件的点C的个数有8个， 故选：C． 【变式5-3】（2023秋•原阳县期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有 　3　个． 【答案】3． 【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个； 当AB为底时，点C的个数有1个， 故答案为：3 【考点6：等腰三角形的判定】 【典例6】（2023春•东源县期末）已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵D是AB中点， ∴AD＝BD， 在Rt△ADE和Rt△BDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BDF， ∴∠A＝∠B， ∴AC＝BC，即△ABC是等腰三角形． 【变式6-1】（2023秋•永泰县期中）如图，在△ABC中，∠A＝∠C，AB＝AC，BD＝AD． （1）求∠A的度数． （2）求证：△DBC是等腰三角形． 【答案】（1）36°；（2）见详解． 【解答】（1）解：设∠A＝x． ∵∠A＝∠C，AB＝AC， ∠ABC＝∠ACB＝2∠A＝2x， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴x+2x+2x＝180°， 解得 x＝36°， ∴∠A＝36°， （2）证明：由（1）可知∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72° ∵BD＝AD， ∴∠ABD＝∠A， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴BD＝BC，即△DBC是等腰三角形． 【变式6-2】（2023秋•泗洪县期中）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F． （1）证明：BA＝BC； （2）求证：△AFC为等腰三角形． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答． 【解答】证明：（1）在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（AAS）， ∴BA＝BC； （2）∵BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵∠BAD＝∠BCE， ∴∠FAC＝∠FCA， ∴FA＝FC， ∴△AFC为等腰三角形． 【变式6-3】（2023•永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E． （1）求∠ADB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 【答案】（1）108°； （2）见解析． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABC＝36°， ∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°； （2）证明：∵AE∥BC， ∴∠EAC＝∠C＝72°， ∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴△ADE是等腰三角形． 【考点7：等腰三角形的判定与性质】 【典例7】（2023春•修水县期末）在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F． （1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由； （2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长． 【答案】（1）△AEF是等腰三角形，理由见解析； （2）12． 【解答】解：（1）△AEF是等腰三角形， 理由：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴△AEF是等腰三角形； （2）∵△ABC的周长为18，BC＝6， ∴AB+AC＝18﹣6＝12， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠EDB， ∴BE＝ED， 同理DF＝CF， ∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝12． 【变式7-1】（2022秋•岳阳楼区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E． （1）求证：BE＝DE； （2）若∠A＝75°，∠C＝37°，求∠BDE的度数． 【答案】（1）见解析； （2）34°． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴， ∵DE∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE； （2）解：在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝37° ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣37°＝68°， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∵DE∥BC， ∴∠BDE＝∠CBD＝34°． 【变式7-2】（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD． （1）求证：△ACD为等腰三角形． （2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠1＝∠2． ∵AD∥BC， ∴∠2＝∠3． ∴∠1＝∠3． ∴AB＝AD． ∵AB＝AC， ∴AC＝AD， ∴△ACD为等腰三角形； （2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3， ∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°， ∠ABC＝40°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝40°， 由（1）知，AD＝AC， ∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°， ∴∠BDC＝50°． 【变式7-3】（2023•瓯海区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E． （1）过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：FB＝FE． （2）若∠C＝36°，求∠BAD的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）∠BAD的度数是54°． 【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE，即∠FBE＝∠CBE， ∵EF∥BC， ∴∠FEB＝∠CBE， ∴∠EBF＝∠FEB， ∴FB＝FE． （2）解：∵AB＝AC，D是BC边上的中点， ∴AD⊥BC，∠ABD＝∠C＝36°， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣36°＝54°， ∴∠BAD的度数是54°． 【考点8： 等腰三角形的实际应用】 【典例8】（2020秋•铁锋区期中）数学与生活． 如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上． （1）求轮船在B处时与灯塔M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是　14海里　，灯塔M在轮船的　南偏东60°　方向上． 【答案】（1）14海里； （2）轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向． 【解答】解：（1）据题意得，∠CBM＝60°，∠BAM＝30°， ∵∠CBM＝∠BAM+∠BMA， ∴∠BMA＝30°， ∴∠BMA＝∠BAM， ∴AB＝BM， ∴AB＝28×0.5＝14， ∴BM＝14， 答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里； （2）∵BC＝14，BM＝BC 且∠CBM＝60°， ∴△BMC是等边三角形， ∴CM＝BC，∠BCM＝60°， ∴CM＝14， 答：轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向上， 故答案为：14海里，南偏东60°． 【变式8-1】（2022秋•嘉峪关期末）如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°．求从B处到灯塔C的距离． 【答案】40海里． 【解答】解：根据题意，可得AB＝20×2＝40（海里）， ∵∠NAC＝40°，∠NBC＝80°， ∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝80°﹣40°＝40°， ∴∠ACB＝∠NAC， ∴BC＝BA＝40海里， 答：从B处到灯塔C的距离为40海里． 【变式8-2】（2022秋•越秀区校级期中）如图，一条船上午8时从A处以20海里/小时的速度向正南航行，上午10时到达B处，从A处测得灯塔C在南偏东30°的方向上，在B处测得灯塔C在南偏东60°的方向上． （1）求B处离灯塔C的距离； （2）轮船从B处出发，按原速度航行，再过多少小时灯塔C正好在船的正东方向． 【答案】（1）40；（2）1． 【解答】（1）解：根据题意可得∠1＝30°，∠2＝60°， ∴∠C＝∠2﹣∠1＝60°﹣30°＝30°， ∴∠1＝∠C＝30°， .BC＝AB＝20×（10﹣8）＝40（海里）， 即B处离灯塔C的距离为40海里； （2）解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示 ∴∠CDB＝90°， ∵∠2＝60°， ∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°， ∴BD＝BC＝20海里， ∴20+20＝1（小时） ∴轮船从B处出发，按原速度航行，再过1小时灯塔C正好在船的正东方向 1．等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义分两种情况讨论，结合构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：当边长为的边为腰时，则等腰三角形的三边分别为，，， ∵， ∴此时不能组成三角形，不符合题意； 当边长为的边为底时，则等腰三角形的三边分别为，，， ∵， ∴此时能组成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 故选：C． 2．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 分两种情况：当为顶角时；当为底角时，分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：当为顶角时，底角的度数即为； 当为底角时，底角的度数； 综上所述，它的底角是或． 故选：C． 3．等腰三角形一边长为6，周长为15，则它的腰长为（    ） A．3 B．6 C．3或6 D．6或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为6和底边长为6两种情况分别求出底边或腰的长，再根据构成三角形的三边长关系，进行验证即可得到答案． 【详解】解：当腰长为6时，则底边长为， ∵， ∴此时能构成等腰三角形， 当底边长为6时，则腰长为， ∵， ∴此时能构成等腰三角形； 综上所述，该等腰三角形的腰长为6或， 故选：D． 4．在中，是边上的高线，点D到，的距离相等，则一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定及等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，解题的关键D到的距离相等，得出平分，根据是边上的高线，证明，可得，即可得证． 【详解】解：如图， ∵D到的距离相等， ∴平分， ∴， ∵是高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴一定是等腰三角形， 故选：B． 5．如图，等腰中，，．线段的垂直平分线交于D，交于E，连接，则图中等腰三角形共有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，则，根据三角形的内角和，三角形的外角，则，，根据，求出，再根据等腰三角形的判定，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是等腰三角形， ∴等腰三角形为：、、，个． 故选：C． 6．已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线段性质，根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，，然后即可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，和分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故选：． 7．如图，在中，，点E为边的中点，，交于点D，若，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵点E为边的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图所示，在中，，，垂足为点，，交于点，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质解答． 【详解】解：，， ，A正确，不符合题意； ，B正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ，C正确，不符合题意； 与的关系不确定，D错误，符合题意； 故选：D． 9．如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】对尺规作图进行分析，再利用等腰三角形的判定条件逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、如图1，由作法可知，，即是等腰三角形，不符合题意，选项错误； B、如图2，由作法可知，所做线段为的垂直平分线，但不能证明线段相等，无法推出等腰三角形，符合题意，选项正确； C、如图3，由作法可知，所做线段为的垂直平分线，，即是等腰三角形，不符合题意，选项错误； D、如图4，由作法可知，所做线段为的垂直平分线，，即是等腰三角形，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握尺规作图的基本图形做法是解题关键． 10．如图，是的平分线，， 交于E，则图中等腰三角形的个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理判定为等腰三角形，然后由角平分线、平行线的性质、等角对等边来找图中的等腰三角形． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； 综上，等腰三角形共有5个； 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定．角的等量代换的运用是正确解答本题的关键． 11．如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：． 12．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质； （1）根据证明即可得出结论； （2）由（1）可得，因为，则，所以，又因为平分，所以，所以，则． 【详解】（1）在和中， ∴， ∴． （2）由（1）可得， ∵， ∴， ∴ 又∵平分， ∴， ∴ ∴． 13．中，，的高与角平分线交于点F．    (1)求证； (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的高、等腰三角形的判定： （1）利用角的等量代换即可求证结论； （2）根据角平分线的定义及等腰三角形的判定即可证结论； 熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：是的高， ， ， ， ， ． （2）证明：由（1）得：， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形． 14．在中，是的角平分线，是的中点，过作交延长线于，交于．      (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得到，根据平行线的性质得到，，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）由（1）得，，过作交延长线于点，根据等腰三角形的判定得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）是的角平分线， ， ∵， ，， ， ， ∴是等腰三角形； （2）由（1）得，， 过作交延长线于点，    ∵，， ， ，， ， ， 在与中， ， ∴， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 1 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