2.1 轴对称的性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

2.1 轴对称的性质 【考点1: 轴对称图形的相关概念】 【考点2: 确定轴对称图形对称轴的条数】 【考点3: 轴对称在镜面对称中的应用】 【考点4: 与轴承对称相关的探索图形规律问题】 【考点5: 利用轴对称的性质求角度】 【考点6: 利用轴对称的性质求线段长度】 【考点7: 利用轴对称的性质解决折叠问题】 【考点8：作图-轴对称变换】 【考点9 ：轴对称图案的设计】 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 【考点1: 轴对称图形的相关概念】 【典例1】全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所，以下是我国四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】第19届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得骄人战绩．下列运动标识中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】钉钉是网课间常用的一个App，下列“钉钉表情图象”属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　） A．B． C．D． 【考点2: 确定轴对称图形对称轴的条数】 【典例2】图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2-1】如图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2-2】如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】下列轴对称图形中，对称轴的条数四条的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点3: 轴对称在镜面对称中的应用】 【典例3】小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（　　） A．21：05 B．20：15 C．20：12 D．21：50 【变式3-1】如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】一轿车的车牌在水中的倒影是，则该车的牌照号码为 　 　． 【变式3-3】如图，从镜子中看到一钟表为2：30，此时的实际时刻是　9：30　． 【考点4: 与轴承对称相关的探索图形规律问题】 【典例4】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【变式4-1】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【变式4-2】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 知识点2 ：轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 【考点5:利用轴对称的性质求角度】 【典例5】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 【变式5-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【变式5-2】（2023春•北海期末）如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则∠PAQ的大小是（　　） A．70° B．55° C．40° D．30° 【变式5-3】如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝　　． 【考点6: 利用轴对称的性质求线段长度】 【典例6】如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2，△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，则AE的长度为（　　） A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm 【变式6-1】如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【变式6-2】如图，点O为∠ABC内部一点，且OB＝2，E、F分别为点O关于射线BA，射线BC的对称点，当∠ABC＝90°时，则EF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式6-3】如图，∠AOB＝15°，点P是OA上一点，点Q与点P关于OB对称，QM⊥OA于点M，若OP＝6，则QM的长为 　　． 【考点7: 利用轴对称的性质解决折叠问题】 【典例7】（2022春•临海市期中）如图，ABCD为一长条形纸带，AD∥BC，将ABCD沿EF折叠，C，D两点分别与C'，D'对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　） A．100° B．108° C．120° D．144° 【变式7-1】如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（　　） A．22° B．21° C．20° D．19° 【变式7-2】如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，则∠GFH的度数是（　　） A．90° B．120° C．100° D．60° 【变式7-3】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则∠DEF的度数为（　　） A．130° B．135° C．125° D．120° 知识点3 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 【考点8：作图-轴对称变换】 【典例8】如图，在单位长度1的正方形网格中有一个△ABC． （1）请画出△ABC关于直线MN成轴对称的图形△A1B1C1． （2）若此时B的坐标为（﹣4，﹣1），则点B1的坐标为（2，﹣1），请在图中画出平面直角坐标系，并写出A1点的坐标． 【变式8-1】如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′； （2）△ABC的面积为 　　； 【变式8-2】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上． （1）写出A，B，C三点的坐标； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C； （3）求出△ABC的面积． 【变式8-3】在平面直角坐标系中，点A、B、C、O都在边长为1的小正方形组成网格的格点上，△ABC的位置如图所示． （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （2）△ABC的顶点B关于x轴对称的点B″的坐标为：B″　　，A关于y轴对称的点A″的坐标为：A″　　； （3）求△A′B′C′的面积． 【考点9：轴对称图案的设计】 【典例9】（1）观察图①～图④中阴影部分的图形，写出这4个图形具有的两个共同特征：　 　；　 　． （2）在图⑤中设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征． 【变式9-1】如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN． 【变式9-2】如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的三个小方格已涂黑，请你用四种方法在图中再涂黑一个小方格，使它成为轴对称图形． 【变式9-3】在6×6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形． 1．（2023•云梦县校级三模）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023•三台县校级一模）下列轴对称图形中，对称轴最少的图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023春•郓城县期末）如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中： ①△ABC≌△A′B′C′； ②∠BAC′＝∠B′AC； ③l垂直平分CC′； ④直线BC和B′C′的交点不一定在l上， 正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2023•容县一模）点P的坐标为（﹣8，﹣3），则点P关于x轴对称的点P1的坐标是（　　） A．（8，3） B．（﹣8，3） C．（﹣8，﹣3） D．（8，﹣3） 5．（2023•杏花岭区校级模拟）在平面直角坐标系中，若点A（﹣1，a+b） 与点B（a﹣b，3）关于y轴对称，则点C（﹣a，b）落在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2023•佛山开学）在平面直角坐标系中，已知A（4，3），A′与A关于直线x＝1轴对称，则A′的坐标为（　　） A．（﹣4，3） B．（4，﹣1） C．（﹣2，3） D．（4，﹣3） 7．（2022秋•涟水县校级月考）如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝12cm，则△PMN的周长是 　 ． 8．（2022秋•扶绥县期末）如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，并且AB＝6，BC＝3，则A'C'的取值范围是　 　． 9．（2023春•高邮市期中）如图，在△ABC中，将∠B、∠C按如图所示的方式折叠，点B、C均落于边BC上的点Q处，MN、EF为折痕，若∠A＝82°，则∠MQE＝　　． 10．（2022秋•定襄县期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AB∥CD，将纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点的对应点分别为点A′，D′．若∠CFE＝2∠CFD′，则∠AEF＝　　°． 11．（2023春•高州市月考）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为A（﹣4，3），C（﹣1，1）． （1）请在如图所示的网格内作出平面直角坐标系； （2）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（不写画法），并写出点B1的坐标； （3）△A1B1C1的面积＝　　． 12．（2023春•新化县期末）如图，已知三角形ABC和直线MN，且三角形ABC的顶点在网格的交点上． （1）画出三角形ABC向上平移4小格后的三角形A1B1C1； （2）画出三角形ABC关于直线MN成轴对称的三角形A2B2C2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 轴对称的性质 【考点1: 轴对称图形的相关概念】 【考点2: 确定轴对称图形对称轴的条数】 【考点3: 轴对称在镜面对称中的应用】 【考点4: 与轴承对称相关的探索图形规律问题】 【考点5: 利用轴对称的性质求角度】 【考点6: 利用轴对称的性质求线段长度】 【考点7: 利用轴对称的性质解决折叠问题】 【考点8：作图-轴对称变换】 【考点9 ：轴对称图案的设计】 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 【考点1: 轴对称图形的相关概念】 【典例1】全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所，以下是我国四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、B，D选项中的图书馆标志都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图书馆标志能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 【变式1-1】第19届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得骄人战绩．下列运动标识中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由图形可知，选项B为轴对称图形． 故选：B． 【变式1-2】钉钉是网课间常用的一个App，下列“钉钉表情图象”属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：选项A、B、D不均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 【变式1-3】下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　） A．B． C．D． 【答案】D 【解答】解：A、不是轴对称图形 B、不是轴对称图形 C、不是轴对称图形 D、是轴对称图形； 故选：D． 【考点2: 确定轴对称图形对称轴的条数】 【典例2】图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解答】解：由图可知，该图形有6条对称轴； 故选：C． 【变式2-1】如图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解答】解：由题意可知，该图形的对称轴条数为6． 故选：C． 【变式2-2】如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：如图所示，该图形的对称轴的条数为3． 故选：C． 【变式2-3】下列轴对称图形中，对称轴的条数四条的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：轴对称图形中，对称轴的条数四条的只有图形（1），（2）； 图形（3）是无数条； 图形（4）是两条； 图形（5）是七条． 故选：B． 【考点3: 轴对称在镜面对称中的应用】 【典例3】小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（　　） A．21：05 B．20：15 C．20：12 D．21：50 【答案】B 【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：15成轴对称，所以此时实际时刻为20：15． 故选：B． 【变式3-1】如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意，它在水中的倒影表示正确的是A， 故选：A． 【变式3-2】一轿车的车牌在水中的倒影是，则该车的牌照号码为 　 　． 【答案】鄂Q•W6E01． 【解答】解：如图所示：该车的牌照号码为鄂Q•W6E01． ． 故答案为：鄂Q•W6E01． 【变式3-3】如图，从镜子中看到一钟表为2：30，此时的实际时刻是　9：30　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是9：30， 故答案为：9：30． 【考点4: 与轴承对称相关的探索图形规律问题】 【典例4】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】D 【解答】解：如图所示，小球反弹6次回到点P处，而9﹣6＝3， ∴第9次碰到矩形的边时的点为图中的点N． 故选：D． 【变式4-1】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P， ∵2022÷6＝337， ∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹， ∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P， 故选：A． 【变式4-2】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【解答】解：如图所示，该球最后落入2号袋． 故选：B 知识点2 ：轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 【考点5:利用轴对称的性质求角度】 【典例5】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠B′＝110°， ∴∠B＝∠B′＝110°， 又∵∠A＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣110°＝25°， 故选：C． 【变式5-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】A 【解答】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°， ∴∠C＝90°﹣50°＝40°， ∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称， ∴∠AB′D＝∠B＝50°， ∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′， ∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°， 故选：A． 【变式5-2】（2023春•北海期末）如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则∠PAQ的大小是（　　） A．70° B．55° C．40° D．30° 【答案】C 【解答】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝70°， ∵A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称， 又∵MP，NQ为AB，AC的垂直平分线， ∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C， ∴∠BAP+∠CAQ＝70°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40° 故选：C． 【变式5-3】如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝　35°　． 【答案】35°． 【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称， ∴∠A＝∠D＝65°，∠B＝∠E＝80°， ∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣65°﹣80°＝35°． 故答案为：35°． 【考点6: 利用轴对称的性质求线段长度】 【典例6】如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2，△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，则AE的长度为（　　） A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm 【答案】B 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2， ∴， ∴BC＝12cm， ∵△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称， ∴△ACD≌△AED， ∴AE＝AC＝13cm． 故选：B． 【变式6-1】如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【答案】A 【解答】解：∵点P关于OA的对称点是P1， ∴P1M＝PM． ∵点P关于OB的对称点是P2， ∴PN＝P2N． ∵△PMN的周长＝6cm，P1M＝PM，PN＝P2N， ∴P1P2＝P1M+MN+P2N＝PM+PN+MN＝6cm， 故选：A． 【变式6-2】如图，点O为∠ABC内部一点，且OB＝2，E、F分别为点O关于射线BA，射线BC的对称点，当∠ABC＝90°时，则EF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【解答】解：连接OE，OF，BE，BF， ∵点O和点E关于射线BA对称， ∴射线BA垂直平分OE， ∴BE＝BO， ∴∠OBA＝∠EBA， 同理：BF＝BO，∠OBC＝∠FBC， ∴BE＝BF， ∵∠ABC＝90°， ∴∠EBA+∠FBC＝∠OBA+∠OBC＝∠ABC＝90°， ∴∠EBA+∠FBC+∠ABC＝180°， ∴E、B、F共线， ∵OB＝2， ∴BE＝BF＝OB＝2， ∴EF＝2BE＝4． 故选：A． 【变式6-3】如图，∠AOB＝15°，点P是OA上一点，点Q与点P关于OB对称，QM⊥OA于点M，若OP＝6，则QM的长为 　3　． 【答案】3． 【解答】解：如图，连接OQ． ∵P与PQ关于OB对称， ∴∠AOB＝∠QOB＝15°，OQ＝OP＝6， ∴∠AOQ＝30°， ∵QM⊥OA， ∴∠OMQ＝90°， ∴QM＝OQ＝3． 故答案为：3． 【考点7: 利用轴对称的性质解决折叠问题】 【典例7】（2022春•临海市期中）如图，ABCD为一长条形纸带，AD∥BC，将ABCD沿EF折叠，C，D两点分别与C'，D'对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　） A．100° B．108° C．120° D．144° 【答案】B 【解答】解：由翻折的性质可知：∠DEF＝∠FED′， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠1， ∵∠1＝2∠2， ∴设∠2＝x，则∠DEF＝∠1＝∠FED′＝2x， ∵∠2+∠DEF+∠D′EF＝180°， ∴5x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠AEF＝∠2+∠D′EF＝x+2x＝3x＝108°， 故选：B． 【变式7-1】如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（　　） A．22° B．21° C．20° D．19° 【答案】C 【解答】解：在△ABC中， ∵∠A＝20°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣20°﹣60°＝100°． ∵点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合， ∴∠MCN＝∠A＝20°，∠ECF＝∠B＝60°， ∴∠NCF＝∠ACB﹣∠MCN﹣∠ECF＝100°﹣20°﹣60°＝20°． 故选：C． 【变式7-2】如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，则∠GFH的度数是（　　） A．90° B．120° C．100° D．60° 【答案】C 【解答】解：∵将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处， ∴∠CFG＝∠EFG＝∠CFE， ∵∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°， ∴∠BFE＝60°， ∴∠CFE＝120°， ∴∠GFE＝60°， ∵∠EFH＝∠EFB﹣∠BFH， ∴∠EFH＝40°， ∴∠GFH＝∠GFE+∠EFH＝60°+40°＝100°． 故选：C． 【变式7-3】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则∠DEF的度数为（　　） A．130° B．135° C．125° D．120° 【答案】B 【解答】解：由题意得，∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED， ∵∠BDF＝120°， ∴∠ADF＝180°﹣120°＝60°， ∴∠ADE＝， ∴∠DEA＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣15°﹣30°＝135°， ∵△ADE沿DE折叠至△FDE位置， ∴∠DEF＝∠DEA＝135°， 故选：B． 知识点3 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 【考点8：作图-轴对称变换】 【典例8】如图，在单位长度1的正方形网格中有一个△ABC． （1）请画出△ABC关于直线MN成轴对称的图形△A1B1C1． （2）若此时B的坐标为（﹣4，﹣1），则点B1的坐标为（2，﹣1），请在图中画出平面直角坐标系，并写出A1点的坐标． 【答案】（1）图见解析； （2）图见解析，A1（1，3）． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图， 由图可知：A1（1，3）． 【变式8-1】如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′； （2）△ABC的面积为 　3　； 【答案】（1）见解析； （2）3． 【解答】解：（1）如图，△AB′C′即为所求； （2）△ABC的面积为2×4﹣＝3， 故答案为：3． 【变式8-2】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上． （1）写出A，B，C三点的坐标； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C； （3）求出△ABC的面积． 【答案】（1）A（﹣4，3），B（﹣2，0），C（0，2）． （2）见解答． （3）5． 【解答】解：（1）由图可得，A（﹣4，3），B（﹣2，0），C（0，2）． （2）如图，△A1B1C即为所求． （3）△ABC的面积为＝10﹣2﹣3＝5． 【变式8-3】在平面直角坐标系中，点A、B、C、O都在边长为1的小正方形组成网格的格点上，△ABC的位置如图所示． （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （2）△ABC的顶点B关于x轴对称的点B″的坐标为：B″　（﹣4，﹣3）　，A关于y轴对称的点A″的坐标为：A″　（2，6）　； （3）求△A′B′C′的面积． 【答案】（1）见解答； （2）B″（﹣4，﹣3），A″（2，6）； （3）12． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求； （2）∵点B（﹣4，3）， ∴点B关于x轴对称的点B″的坐标为（﹣4，﹣3）， 故答案为：（﹣4，﹣3）； ∵点A（﹣2，6）， ∴点A关于y轴对称的点A″的坐标为（2，6）， 故答案为：（2，6）； 综上所述：B″（﹣4，﹣3），A″（2，6）； （3）△A′B′C′的面积＝6×6﹣×6×3﹣×2×3﹣×4×6＝36﹣9﹣3﹣12＝12． 【考点9：轴对称图案的设计】 【典例9】（1）观察图①～图④中阴影部分的图形，写出这4个图形具有的两个共同特征：　都是轴对称图形　；　面积都等于四个小正方形的面积之和　． （2）在图⑤中设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）答案不唯一，例如四个图案具有的共同特征可以是： ①都是轴对称图形； ②面积都等于四个小正方形的面积之和； 故答案为：都是轴对称图形；面积都等于四个小正方形的面积之和； （2）答案示例： ． 【变式9-1】如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示； 【变式9-2】如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的三个小方格已涂黑，请你用四种方法在图中再涂黑一个小方格，使它成为轴对称图形． 【答案】见解析． 【解答】解：如图所示，即为所求． 【变式9-3】在6×6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形． 【答案】见解析． 【解答】解：如图中，图形即为所求． 1．（2023•云梦县校级三模）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：A． 2．（2023•三台县校级一模）下列轴对称图形中，对称轴最少的图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、有三条对称轴， B、有三条对称轴， C、有一条对称轴， D、有四条对称轴， 综上所述，对称轴条数最少的是C选项图形． 故选：C． 3．（2023春•郓城县期末）如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中： ①△ABC≌△A′B′C′； ②∠BAC′＝∠B′AC； ③l垂直平分CC′； ④直线BC和B′C′的交点不一定在l上， 正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称， ∴①△ABC≌△A′B′C′，正确； ②∠BAC＝∠B′AC′， ∴∠BAC+∠CAC′＝∠B′AC′+∠CAC′， 即∠BAC′＝∠B′AC，正确； ③l垂直平分CC′，正确； ④应为：直线BC和B′C′的交点一定在l上，故本小题错误． 综上所述，结论正确的是①②③共3个． 故选：B． 4．（2023•容县一模）点P的坐标为（﹣8，﹣3），则点P关于x轴对称的点P1的坐标是（　　） A．（8，3） B．（﹣8，3） C．（﹣8，﹣3） D．（8，﹣3） 【答案】B 【解答】解：点P坐标是（﹣8，﹣3），则点P关于x轴对称的点的坐标是（﹣8，3）， 故选：B． 5．（2023•杏花岭区校级模拟）在平面直角坐标系中，若点A（﹣1，a+b） 与点B（a﹣b，3）关于y轴对称，则点C（﹣a，b）落在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解答】解：∵点A（﹣1，a+b）与点B（a﹣b，3）关于y轴对称， ∴， 解得：， 则点C（﹣a，b）即（﹣2，1）在第二象限． 故选：B． 6．（2023•佛山开学）在平面直角坐标系中，已知A（4，3），A′与A关于直线x＝1轴对称，则A′的坐标为（　　） A．（﹣4，3） B．（4，﹣1） C．（﹣2，3） D．（4，﹣3） 【答案】C 【解答】解：把A点和直线x＝1，向左移动1个单位得：A′（3，3）和直线x＝0， 点A′（3，3）关于x＝0的对称点为B（﹣3，3）， 把B（﹣3，3）再向右平移1个单位得：（﹣2，3）， 故选：C． 7．（2022秋•涟水县校级月考）如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝12cm，则△PMN的周长是 　12cm　． 【答案】12cm． 【解答】解：∵OA和OB分别是△PMP1和△PNP2的对称轴， ∴PM＝MP1，PN＝NP2； ∴P1M+MN+NP2＝PM+MN+PN＝P1P2＝12cm， ∴△PMN的周长为12cm． 故答案为：12cm． 8．（2022秋•扶绥县期末）如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，并且AB＝6，BC＝3，则A'C'的取值范围是　3＜A′C′＜9　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于MN对称， ∴得出△ABC≌△A′B′C′， ∴AC＝A′C′， ∵AB﹣BC＜AC＜AB+BC， ∴6﹣3＜AC＜6+3 ∴A′C′的取值范围是：3＜A′C′＜9． 故答案为：3＜A′C′＜9． 9．（2023春•高邮市期中）如图，在△ABC中，将∠B、∠C按如图所示的方式折叠，点B、C均落于边BC上的点Q处，MN、EF为折痕，若∠A＝82°，则∠MQE＝　82°　． 【答案】82°． 【解答】解：∵线段MN、EF为折痕， ∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC， ∵∠A＝82°， ∴∠B+∠C＝180°﹣82°＝98°， ∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝98°， ∴∠MGE＝180°﹣98°＝82°， 故答案为：82°． 10．（2022秋•定襄县期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AB∥CD，将纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点的对应点分别为点A′，D′．若∠CFE＝2∠CFD′，则∠AEF＝　72　°． 【答案】72°． 【解答】解：设∠CFD'＝x，则∠CFE＝2∠CFD'＝2x，∠EFD'＝3x， 由折叠的性质得：∠DFE＝∠EFD'＝3x， ∵∠DFE+∠CFE＝180°，即2x+3x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠CFE＝36°×2＝72°， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠CFE＝72°． 故答案为：72°． 11．（2023春•高州市月考）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为A（﹣4，3），C（﹣1，1）． （1）请在如图所示的网格内作出平面直角坐标系； （2）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（不写画法），并写出点B1的坐标； （3）△A1B1C1的面积＝　4　． 【答案】（1）见解答． （2）画图见解答；点B1（2，﹣1）． （3）4． 【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示. （2）如图，△A1B1C1即为所求． 点B1（2，﹣1）． （3）△A1B1C1的面积为3×4﹣×4×2﹣×1×2﹣×3×2＝4． 故答案为：4． 12．（2023春•新化县期末）如图，已知三角形ABC和直线MN，且三角形ABC的顶点在网格的交点上． （1）画出三角形ABC向上平移4小格后的三角形A1B1C1； （2）画出三角形ABC关于直线MN成轴对称的三角形A2B2C2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$