专题2.3 等腰三角形的性质和应用（八个考点4个易错点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

专题2.3 等腰三角形的性质和应用（八个考点4个易错点） 【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】 【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】 【考点4：判断等腰三角形的个数】 【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【考点6：等腰三角形的判定】 【考点7：等腰三角形的判定与性质】 【考点8 ：等腰三角形的实际应用】 【易错点1 等腰三角形的角度不明确分类讨论】 【易错点2 等腰三角形的边不明确分类讨论】 【易错点3 等腰三角形的性质与判定综合】 【易错点4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 1．（2024春•丰顺县期中）等腰三角形的一边为3，另一边为8，则这个三角形的周长为（　　） A．14 B．19 C．11 D．14或19 2．（2024•广西模拟）△ABC的周长是14，AB＝AC＝5，AD⊥BC，则BD等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•东辽县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 4．（2024•渝中区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝BC，点O为AC的中点，连接BO，在BO上取一点E，使得AE＝BE，若AB＝10，AC＝12，则BE的长为（　　） A． B． C． D． 【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】 5．（2024春•三水区期中）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，则∠C的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 6．（2024•息县二模）如图，∠B＝30°，以Rt△ABC的顶点B为圆心，直角边BC为半径画弧，与斜边AB交于点D，则∠ADC的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 7．（2024•碑林区校级四模）如图，直线a∥b，直线l分别交直线a、b于A，B两点，点C在直线b上，且AC＝BC，若∠2＝34°，则∠1的度数为（　　） A．112° B．102° C．107° D．117° 8．（2023秋•无锡期末）已知一个等腰三角形的顶角等于140°，则它的底角等于（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 9．（2024•岱岳区校级模拟）如图，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝BC，∠C＝120°，∠1＝44°，则∠2的度数为（　　） A．64° B．74° C．56° D．66° 10．（2023秋•龙华区校级期末）如图，O是△ABC内一点，OA＝OB＝OC，∠BAC＝70°，则∠1等于（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 11．（2023秋•乐山期末）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（　　） A．28° B．36° C．45° D．72° 【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】 12．（2022秋•屯昌县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（　　） A．11 B．14 C．15 D．16 13．（2023秋•芜湖期中）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于点D．交AB于点E，若∠B＝35°，AE＝AC，则∠ACD的度数为（　　） A．100° B．105° C．115° D．120° 14．（2022秋•海兴县期末）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝64°，则∠DBC的度数是（　　） A．20° B．18° C．12° D．10° 15．（2023春•西安期末）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（　　） A．62° B．58° C．52° D．46° 16．（2022秋•济阳区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（　　） A．12 B．8 C．15 D．13 【考点4：判断等腰三角形的个数】 17．（2023秋•东平县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，相交于点F，则图中等腰三角形共有（　　） A．7个 B．8个 C．6个 D．9个 18．（2024秋•朝阳区校级期中）根据图中所示的角度，找出等腰三角形的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 19．（2023秋•沂南县期中）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点（小正方形的顶点）A，B，连接AB，在网格 中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 20．（2022秋•汇川区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠BAC＝40°，点P为直线CB上一动点，并沿直线CB从右向左移动．若点P与△ABC三个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，则将点P在直线CB上进行标记，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 21．（2023秋•惠东县期中）如图，坐标平面内一点A（3，﹣2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 22．（2023秋•西山区校级期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点P是坐标轴上的一点，使△OAP为等腰三角形的点P的个数有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 23．（2023秋•吕梁期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴，y轴上，OB＞OA，若点M在y轴上．且△AMB是等腰三角形，则符合条件的点M有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 24．（2022秋•靖西市期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【考点6：等腰三角形的判定】 25．（2023秋•无为市期中）如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，求证：△CDE是等腰三角形． 26．（2023秋•志丹县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证： （1）EF是AB的垂直平分线； （2）△ACF为等腰三角形． 27．（2023秋•云梦县期中）如图，AB∥CD，AC平分∠BCD，求证：△ABC是等腰三角形． 28．（2023秋•永泰县期中）如图，在△ABC中，∠A＝∠C，AB＝AC，BD＝AD． （1）求∠A的度数． （2）求证：△DBC是等腰三角形． 29．（2022秋•西峰区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，DE∥BC．求证：△EBD是等腰三角形． 【考点7：等腰三角形的判定与性质】 30．（2023秋•拱墅区期中）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G． （1）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点，求AG的长； （2）求证：△AEG是等腰三角形． 31．（2023秋•青秀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BE平分∠ABC交AC于点E，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D． （1）求∠AEB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 32．（2023秋•西华县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F，若AF＝BF． 求证：（1）△ADF是等腰三角形． （2）DF＝2EF． 33．（2023秋•太和县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，E为BC的中点，连接DE． （1）求证：△BCD为等腰三角形． （2）求∠EDC的度数． 34．（2022秋•河北区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G． （1）求证：BC＝EC． （2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数． 35．（2023秋•龙泉市期中）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．过点O作DE∥BC交AB，AC于点D，点E． （1）求证：△BOD为等腰三角形； （2）若BD＝6，DE＝11，求EC的长． 36．（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD． （1）求证：△ACD为等腰三角形． （2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数． 【考点8 ：等腰三角形的实际应用】 37．（2023秋•铁锋区期中）数学与生活． 如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上． （1）求轮船在B处时与灯塔M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是　　，灯塔M在轮船的　　方向上． 38．（2023秋•新会区校级月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以15nmile/h（海里/时，1nmile/h＝1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求从海岛B到灯塔C的距离． 【易错点1 等腰三角形的角度不明确分类讨论】 1．等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（　　） A．40° B．70° C．100° D．40°或100° 2．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　） A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定 3．已知（a﹣4）2+|b﹣3|＝0，则以a，b为两边长的等腰三角形的周长为 　　． 【易错点2 等腰三角形的边不明确分类讨论】 1．如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（　　） A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm 2．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　） A．40° B．50° C．40°或140° D．50°或130° 【易错点3 等腰三角形的性质与判定综合】 1．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN与AB、AC分别相交于M、N两点．若AB＝5，AC＝7，则△AMN的周长是 　　． 【易错点4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 1．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 等腰三角形的性质和应用（八个考点4个易错点） 【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】 【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】 【考点4：判断等腰三角形的个数】 【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【考点6：等腰三角形的判定】 【考点7：等腰三角形的判定与性质】 【考点8 ：等腰三角形的实际应用】 【易错点1 等腰三角形的角度不明确分类讨论】 【易错点2 等腰三角形的边不明确分类讨论】 【易错点3 等腰三角形的性质与判定综合】 【易错点4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【考点1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 1．（2024春•丰顺县期中）等腰三角形的一边为3，另一边为8，则这个三角形的周长为（　　） A．14 B．19 C．11 D．14或19 【答案】B 【解答】解：当腰长为3时，则三角形的三边长为：3、3、8； ∵3+3＜8，∴不能构成三角形； 因此这个等腰三角形的腰长为8，则其周长＝8+8+3＝19． 故选：B． 2．（2024•广西模拟）△ABC的周长是14，AB＝AC＝5，AD⊥BC，则BD等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴DC＝BD， ∵△ABC的周长是14， ∴AB+BD＝7， ∵AB＝5， ∴BD＝2， 故选：B． 3．（2023秋•东辽县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【答案】B 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝5AB， ∵S△ABC＝AC•BF， ∴AC•BF＝5AB， ∵AC＝AB， ∴BF＝5， ∴BF＝10（cm）， 故选：B． 4．（2024•渝中区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝BC，点O为AC的中点，连接BO，在BO上取一点E，使得AE＝BE，若AB＝10，AC＝12，则BE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵AB＝BC，点O为AC的中点，AC＝12， ∴BO⊥AC，AO＝AC＝6， ∵AB＝10， ∴BO＝＝＝8， 设BE＝x，则EO＝BO﹣BE＝8﹣x， ∵AE＝BE， ∴AE＝x， 在Rt△AEO中， ∵AO2+OE2＝AE2， ∴62+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝． 故选：A． 【考点2：根据等腰三角形的性质求角度】 5．（2024春•三水区期中）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，则∠C的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【答案】A 【解答】解：∵AB＝AC， ∴， 故选：A． 6．（2024•息县二模）如图，∠B＝30°，以Rt△ABC的顶点B为圆心，直角边BC为半径画弧，与斜边AB交于点D，则∠ADC的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【答案】C 【解答】解：∵以顶点B为圆心，直角边BC为半径画弧，与斜边AB交于点D， ∴BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BCD， ∵∠B＝30°，∠BCD＝∠BDC， ∴∠BDC＝75°， ∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝105°， 故选：C． 7．（2024•碑林区校级四模）如图，直线a∥b，直线l分别交直线a、b于A，B两点，点C在直线b上，且AC＝BC，若∠2＝34°，则∠1的度数为（　　） A．112° B．102° C．107° D．117° 【答案】C 【解答】解：如图， ∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠CBA， ∵a∥b， ∴∠DAB+∠CBA＝∠2+∠CAB+∠CBA＝180°， ∵∠2＝34°， ∴∠CAB＝73°， ∴∠DAB＝34°+73°＝107°， ∴∠1＝∠DAB＝107°， 故选：C． 8．（2023秋•无锡期末）已知一个等腰三角形的顶角等于140°，则它的底角等于（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵一个等腰三角形的顶角等于140°， 且等腰三角形的底角相等， ∴它的底角＝（180°﹣140°）＝20°， 故选：B． 9．（2024•岱岳区校级模拟）如图，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝BC，∠C＝120°，∠1＝44°，则∠2的度数为（　　） A．64° B．74° C．56° D．66° 【答案】B 【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴∠CBA＝∠CAB＝， ∵a∥b， ∴∠2＝∠CBA+∠1＝30°+44°＝74°． 故选：B． 10．（2023秋•龙华区校级期末）如图，O是△ABC内一点，OA＝OB＝OC，∠BAC＝70°，则∠1等于（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 【答案】A 【解答】解：∵OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠1＝∠OCB，∠OAC＝∠OCA， ∵∠BAC＝70°， ∴∠OAB+∠OAC＝70°， ∴∠OBA+∠OCA＝70°， ∴∠1+∠OCB＝180°﹣∠BAC﹣（∠OBA+∠OCA）＝40°， ∴∠1＝∠OCB＝20°， 故选：A． 11．（2023秋•乐山期末）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（　　） A．28° B．36° C．45° D．72° 【答案】B 【解答】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形， ∴∠EAB＝∠ACD＝， ∴∠ACB＝∠EAC＝180°﹣108°＝72°， ∴∠BAC＝∠EAB﹣∠EAC＝108°﹣72°＝36°， 故选：B 【考点3：等腰三角形与垂直平分线有关运算】 12．（2022秋•屯昌县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（　　） A．11 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∵△BCD的周长为24， ∴BD+CD+BC＝24， ∴AB+BC＝24， ∵BC＝10， ∴AC＝AB＝24﹣10＝14． 故选：B． 13．（2023秋•芜湖期中）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于点D．交AB于点E，若∠B＝35°，AE＝AC，则∠ACD的度数为（　　） A．100° B．105° C．115° D．120° 【答案】B 【解答】解：∵DE垂直平分BC， ∴BE＝CE， ∴∠BCE＝∠B＝35°， ∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝70°， ∵AE＝AC， ∴∠ACE＝∠AEC＝70°， ∴∠ACD＝∠ACE+∠BCE＝105°． 故选：B． 14．（2022秋•海兴县期末）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝64°，则∠DBC的度数是（　　） A．20° B．18° C．12° D．10° 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝64°， ∴∠C＝∠ABC＝64°， ∴∠A＝180°﹣64°×2＝52°， ∵MN垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝52°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝12°， 故选：C． 15．（2023春•西安期末）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（　　） A．62° B．58° C．52° D．46° 【答案】C 【解答】解：∵等腰△ABC中，∠ABC＝116°， ∴∠A＝∠C＝32°， ∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q， ∴EA＝EB，QB＝QC， ∴∠ABE＝∠A＝32°，∠CBQ＝∠C＝32°， ∴∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBQ＝116°﹣32°﹣32°＝52°， 故选：C． 16．（2022秋•济阳区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（　　） A．12 B．8 C．15 D．13 【答案】C 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴△BEC周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC， ∵腰长AB＝10， ∴AC＝AB＝10， ∴△BEC周长＝10+5＝15． 故选：C． 【考点4：判断等腰三角形的个数】 17．（2023秋•东平县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，相交于点F，则图中等腰三角形共有（　　） A．7个 B．8个 C．6个 D．9个 【答案】B 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°， ∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝36°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°， 同理∠BEC＝72°， ∠EFB＝∠DFC＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠A＝∠ACE＝36°，∠A＝∠ABD＝36°，∠BEC＝∠ABC＝72°，∠BDC＝∠ACB＝72°，∠BEF＝∠EFB＝72°，∠BDC＝∠DFC＝72°，∠FBC＝∠FCB＝36°， ∴△ABD，△ACE，△FBC，△EFB，△DFC，△BDC，△BEC，△ABC都是等腰三角形，共8个等腰三角形， 故选：B． 18．（2023秋•朝阳区校级期中）根据图中所示的角度，找出等腰三角形的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解答】 解：∵∠ODC＝∠OCD＝36°， ∴∠AOC＝∠ADC+∠OCD＝72°， ∵∠A＝∠B＝72°， ∴∠A＝∠B＝∠AOC＝∠BOD， ∴AC＝CO，OD＝OC，BD＝OD， ∵∠BCD＝36°，∠B＝72°， ∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠B， ∴BC＝CD， 同理AD＝CD， 即等腰三角形有△ACO、△BDO、△ADC、△BCD、△OCD，共5个， 故选：D． 【考点5：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 19．（2023秋•沂南县期中）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点（小正方形的顶点）A，B，连接AB，在网格 中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解答】解：如图： 分三种情况： 当BA＝BC时，以点B为圆心，BA长为半径作圆，点C1，C2，C3即为所求； 当AB＝AC时，以点A为圆心，AB长为半径作圆，点C4，C5，C6，C7，C8即为所求； 当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上， 综上所述：满足条件的格点C的个数是8， 故选：C． 20．（2023秋•汇川区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠BAC＝40°，点P为直线CB上一动点，并沿直线CB从右向左移动．若点P与△ABC三个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，则将点P在直线CB上进行标记，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【解答】解：如图： ∵在△ABC中，∠ABC＝70°，∠BAC＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣70°﹣40°＝70°， 当∠CAP＝∠CPA＝35°时，△CAP为等腰三角形； 当∠ABP＝∠BAP＝70°时，△BAP为等腰三角形； 当P与C重合时，△APB为等腰三角形； 当P与B重合时，△APC为等腰三角形； 当∠ACP＝∠CAP＝70°时，△CAP为等腰三角形； 当∠BAP＝∠BPA＝35°时，△BAP为等腰三角形； 综上，满足条件的点P的位置有6个． 故选：C． 21．（2023秋•惠东县期中）如图，坐标平面内一点A（3，﹣2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【解答】解：如图：①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个； ②OA为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个． 综上所述，符合条件的点P的个数共4个． 故选：C． 22．（2023秋•西山区校级期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点P是坐标轴上的一点，使△OAP为等腰三角形的点P的个数有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【解答】解：如图，满足条件的点P的个数为8个． 故选：D． 23．（2023秋•吕梁期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴，y轴上，OB＞OA，若点M在y轴上．且△AMB是等腰三角形，则符合条件的点M有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解答】解：如图： 分三种情况： 当BA＝BM时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交y轴于点M1，M2， 当AB＝AM时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交y轴于点M3， 当MB＝MA时，作AB的垂直平分线交y轴于点M4； 综上所述：若点M在y轴上，且△AMB是等腰三角形，则符合条件的点M有4个， 故选：A． 24．（2023秋•靖西市期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（　　） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解答】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，共2个点； ②第2个点是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，共2个点； ③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点 ∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点． ∴答案应该是2+2+3﹣2＝5个点 故选：C． 【考点6：等腰三角形的判定】 25．（2023秋•无为市期中）如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，求证：△CDE是等腰三角形． 【答案】见解析过程． 【解答】证明：∵CD是△ABC 的角平分线， ∴∠BCD＝∠ECD， ∵BC∥DE， ∴∠EDC＝∠BCD， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴ED＝EC， ∴△CDE是等腰三角形． 26．（2023秋•志丹县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证： （1）EF是AB的垂直平分线； （2）△ACF为等腰三角形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴， ∴∠ABD＝∠BAD＝36°， ∴AD＝BD， ∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB，AE＝BE， ∴EF是AB的垂直平分线； （2）∵EF是AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴∠FAB＝∠FBA＝72°， ∴∠CAF＝∠CFA＝36°， ∴△ACF为等腰三角形． 27．（2023秋•云梦县期中）如图，AB∥CD，AC平分∠BCD，求证：△ABC是等腰三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∵AC平分∠BCD， ∴∠BCA＝∠ACD， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴CB＝BA， ∴△ABC是等腰三角形． 28．（2023秋•永泰县期中）如图，在△ABC中，∠A＝∠C，AB＝AC，BD＝AD． （1）求∠A的度数． （2）求证：△DBC是等腰三角形． 【答案】（1）36°；（2）见详解． 【解答】（1）解：设∠A＝x． ∵∠A＝∠C，AB＝AC， ∠ABC＝∠ACB＝2∠A＝2x， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴x+2x+2x＝180°， 解得 x＝36°， ∴∠A＝36°， （2）证明：由（1）可知∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72° ∵BD＝AD， ∴∠ABD＝∠A， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴BD＝BC，即△DBC是等腰三角形． 29．（2022秋•西峰区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，DE∥BC．求证：△EBD是等腰三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC． ∵DE∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC． ∴∠EDB＝∠ABD． ∴BE＝ED． 即△EBD是等腰三角形． 【考点7：等腰三角形的判定与性质】 30．（2023秋•拱墅区期中）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G． （1）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点，求AG的长； （2）求证：△AEG是等腰三角形． 【答案】（1）8；（2）见解答． 【解答】解：（1）过点E作EF⊥AG，垂足为F， ∴∠EFG＝90°， ∵EA＝EG，EF⊥AG， ∴AG＝2FG， ∵G为CE中点， ∴EG＝GC＝EC， ∵EB＝EC＝10， ∴GC＝EC＝5， ∵∠EFG＝∠CDG＝90°，∠EGF＝∠CGD， ∴△EFG≌△CDG（AAS）， ∴FG＝DG， 在Rt△CDG中，CD＝3， ∴DG＝＝4， ∴FG＝DG＝4， ∴AG＝2FG＝8， ∴AG的长为8． （2）∵BE＝CE，EF⊥BC， ∴∠BEF＝∠CEF ∵EF∥AD， ∴∠BEF＝∠BAD，即∠BEF＝∠EAG， ∴∠AGE＝∠EAG， ∴EA＝EG， ∴△AEG是等腰三角形． 31．（2023秋•青秀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BE平分∠ABC交AC于点E，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D． （1）求∠AEB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 【答案】（1）108°； （2）见解析． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝∠ABC＝36°， ∴∠AEB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°； （2）证明：∵AE∥BC， ∴∠DAC＝∠C＝72°， ∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠AED＝∠CEB＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠EAD＝∠AED， ∴AD＝DE， ∴△ADE是等腰三角形． 32．（2023秋•西华县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F，若AF＝BF． 求证：（1）△ADF是等腰三角形． （2）DF＝2EF． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠B+∠BFE＝∠C+∠D＝90°， ∴∠D＝∠BFE， ∵∠BFE＝∠DFA， ∴∠D＝∠DFA， ∴AD＝AF， ∴△ADF是等腰三角形； （2）过A作AH⊥DE于H， ∵DE⊥BC， ∴∠AHF＝∠BEF＝90°， 由（1）知，AD＝AF， ∴DH＝FH， 在△AFH和△BFE中， ， ∴△AFH≌△BFE（AAS）， ∴FH＝EF， ∴DH＝FH＝EF， ∴DF＝2EF． 33．（2023秋•太和县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，E为BC的中点，连接DE． （1）求证：△BCD为等腰三角形． （2）求∠EDC的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）∠EDC＝55°． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝75°，∠ACB＝35°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴∠DBC＝∠ACB＝35°， ∴DB＝DC， ∴△BCD为等腰三角形； （2）解：∵∠DBC＝∠ACB＝35°， ∴∠BDC＝180°﹣35°﹣35°＝110°， ∵DB＝DC，E为BC的中点， ∴． 34．（2023秋•河北区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G． （1）求证：BC＝EC． （2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）46°． 【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC． ∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠E， ∴∠CBF＝∠E， ∴BC＝CE； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°． ∵∠ABC＝52°， ∴∠BCD＝128°． ∵F是BE的中点，BC＝CE， ∴CG平分∠BCD， ∴∠GCD＝∠BCD＝64°， ∵∠ADE＝110°，∠ADE＝∠CGD+∠GCD， ∴∠CGD＝110°﹣64°＝46°． 35．（2023秋•龙泉市期中）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．过点O作DE∥BC交AB，AC于点D，点E． （1）求证：△BOD为等腰三角形； （2）若BD＝6，DE＝11，求EC的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）5． 【解答】（1）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠DBO＝∠OBC， ∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E． ∴∠DOB＝∠OBC， ∴∠DOB＝∠DBO， ∴BD＝DO， 即△BOD为等腰三角形； （2）解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO， ∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E． ∴∠DOB＝∠OBC，∠COE＝∠OCB， ∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠OCE， ∴BD＝DO，OE＝CE， ∴DE＝BD+CE， ∵BD＝6，DE＝11， ∴CE＝11﹣6＝5． 36．（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD． （1）求证：△ACD为等腰三角形． （2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠1＝∠2． ∵AD∥BC， ∴∠2＝∠3． ∴∠1＝∠3． ∴AB＝AD． ∵AB＝AC， ∴AC＝AD， ∴△ACD为等腰三角形； （2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3， ∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°， ∠ABC＝40°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝40°， 由（1）知，AD＝AC， ∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°， ∴∠BDC＝50°． 【考点8 ：等腰三角形的实际应用】 37．（2022秋•铁锋区期中）数学与生活． 如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上． （1）求轮船在B处时与灯塔M的距离； （2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是　14海里　，灯塔M在轮船的　南偏东60°　方向上． 【答案】（1）14海里； （2）轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向． 【解答】解：（1）据题意得，∠CBM＝60°，∠BAM＝30°， ∵∠CBM＝∠BAM+∠BMA， ∴∠BMA＝30°， ∴∠BMA＝∠BAM， ∴AB＝BM， ∴AB＝28×0.5＝14， ∴BM＝14， 答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里； （2）∵BC＝14，BM＝BC 且∠CBM＝60°， ∴△BMC是等边三角形， ∴CM＝BC，∠BCM＝60°， ∴CM＝14， 答：轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向上， 故答案为：14海里，南偏东60°． 38．（2022秋•新会区校级月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以15nmile/h（海里/时，1nmile/h＝1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求从海岛B到灯塔C的距离． 【答案】从海岛B到灯塔C的距离是30海里． 【解答】解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里）， ∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°， ∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°， ∴∠C＝∠NAC， ∴BC＝AB＝30海里． 即从海岛B到灯塔C的距离是30海里． 【易错点1 等腰三角形的角度不明确分类讨论】 1．等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（　　） A．40° B．70° C．100° D．40°或100° 【答案】D 【解答】解：当40°角为顶角时，则顶角为40°， 当40°角为底角时，则两个底角和为80°，求得顶角为180°﹣80°＝100°， 故选：D． 2．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　） A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定 【答案】C 【解答】解：①若100°是顶角的外角，则顶角＝180°﹣100°＝80°； ②若100°是底角的外角，则底角＝180°﹣100°＝80°，那么顶角＝180°﹣2×80°＝20°． 故选：C． 3．已知（a﹣4）2+|b﹣3|＝0，则以a，b为两边长的等腰三角形的周长为 　11或10　． 【答案】11或10． 【解答】解：∵（a﹣4）2+|b﹣3|＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣3＝0， ∴a＝4，b＝3， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时， ∴等腰三角形的周长＝4+4+3＝11； 当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时， ∴等腰三角形的周长＝3+3+4＝10； 综上所述：等腰三角形的周长为11或10， 故答案为：11或10． 【易错点2 等腰三角形的边不明确分类讨论】 1．如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（　　） A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm 【答案】A 【解答】解：当腰长为8cm时，则三角形的三边长分别为8cm、8cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为20cm； 当腰长为4cm时，则三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm，此时4+4＝8，不满足三角形的三边关系，不符合题意； 故选：A． 2．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　） A．40° B．50° C．40°或140° D．50°或130° 【答案】C 【解答】解：分两种情况： 当△ABC是锐角三角形时，如图： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴∠ADE＝90°， ∵∠AED＝50°， ∴∠A＝90°﹣∠AED＝40°； 当△ABC是钝角三角形时，如图： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴∠ADE＝90°， ∵∠AED＝50°， ∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝40°， ∴∠DAC＝180°﹣∠DAE＝140°； 综上所述：这个等腰三角形的顶角为40°或140°， 故选：C． 【易错点3 等腰三角形的性质与判定综合】 1．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN与AB、AC分别相交于M、N两点．若AB＝5，AC＝7，则△AMN的周长是 　12　． 【答案】12． 【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC， ∴MB＝MO，NO＝NC， ∵AB＝5，AC＝7， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN ＝AM+MO+ON+AN ＝AM+MB+NC+AN ＝AB+AC ＝5+7 ＝12， 故答案为：12． 【易错点4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 1．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个， 当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个； ∴这样的顶点C有8个． 故选：A． 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