2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课件（第一课时）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 人教版A2019-必修第一册 高一数学组 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第一课时） 学习目标 1. 经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义． 2. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3. 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 新课引入 探究1：一元二次不等式的概念 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题．对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题． y=x+1 -1 1 方程x+1=0的解为x=-1 不等式x+1>0的解为x>-1 不等式x+1>1的解为x>0 对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，他们的联系又是怎样的呢？ y=ax2+bx+c ax2+bx+c=0 x2+bx+c>0 新课引入 一般地，我们把只含有一 个未知数，并且未知数的 最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 其中𝑎，𝑏，𝑐均为常数，𝑎≠0. 1、“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母，如𝑎，𝑏，𝑐等； 2、“二次”指的是未知数的最高次数必须存在并且是2，并且最高次项系 数不为0. 探究1：一元二次不等式的概念 新课引入 探究新知识 探究1：一元二次不等式的概念 一元二次不等式 问题1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉，若栅栏的长度是24m，围城的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少？ 新课引入 探究新知识 探究1：一元二次不等式的概念 一元二次不等式的定义： 怎么解一元二次不等式？ 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。 我们经常把不等式右边只有0并且左边中二次项系数为正，称为一元二次不等式的标准形式. 新课引入 探究新知识 探究2：一元二次不等式的解法 问题2：能否从二次函数的观点来看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 以前面的x2－12x＋20＜0和y=x2－12x＋20为例． 一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使得ax2+bx+c=0的实数x叫做函数y=ax2+bx+c的零点. 实数根x1=2，x2=10 y=x2－12x＋20 x2－12x＋20=0 零点x1=2，x2=10 新课引入 探究新知识 探究2：一元二次不等式的解法 零点x1=2，x2=10将x轴分成三段. 所以一元二次不等式x2－12x＋20＜0的解集｛x|2＜x＜10｝ x2－12x＋20＜0 y=x2－12x＋20 x2－12x＋20=0 x2－12x＋20＞0 新课引入 探究新知识 探究2：一元二次不等式的解法 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)和ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集.首先求出一元二次方程ax2+bx+c=0的根，再根据二次函数图像求解. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根 ∆=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c的零点 ∆＞0，∆=0，∆＜0 对应 二次函数图象 三种情况 新课引入 探究新知识 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c 的图象(a>0) ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (y>0)的解集 ax2+bx+c<0 (y<0)的解集 △>0 有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) {x|x<x1,或 x>x2} {x|x1< x <x2 } △=0 △<0 x1 x2 x x R 没有实根 x x1 y>0 y>0 y<0 新课引入 探究新知识 例1 求不等式x2-5x+6＞0的解集. 解:对于方程x2-5x+6=0,因为∆＞0，所以它有两个实数根.解得x1=2，x2=3. 画出二次函数y=x2-5x+6 的图象. 结合图像，可知不等式x2-5x+6＞0的解集为{x|x＜2，或x＞3}. 2 6 y x 3 新课引入 探究新知识 例2 求不等式9x2-6x+1＞0的解集. 解:对于方程9x2-6x+1=0,因为∆=0，所以它有两个相等的实数根.解得 . 画出二次函数y=9x2-6x+1的图象，结合图像得不等9x2-6x+1＞0的解集为 . 0.2 0.6 y x 0.4 y=9x2-6x+1 新课引入 探究新知识 例1 求不等式-x2+2x-3＞0的解集. 解:不等式x2-2x+3＜0. 画出二次函数y=x2-2x+3 的图象. 结合图象得不等式x2-2x+3＜0的解集为Ø，因此，原不等式的解集为Ø. 因为∆=-8＜0，所以方程x2-2x+3=0无实数根. 2 6 y x 4 3 新课引入 探究新知识 用框图表示求解过程： 将原不等式化成 的形式 计算 的值 方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，解得x1，x2(x1＜x2) 方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，解得 方程x2+bx+c=0没有实数根 原不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2} 原不等式的解集为 原不等式的解集为R 新课引入 探究新知识 练习1：解下列不等式． (1) 2x2－3x－2＞0； (2) x2－3x＋5＞0； 【解析】 因为Δ＝(－3)2－4×5＝9－20＜0， 所以不等式x2－3x＋5＞0的解集为R. 新课引入 探究新知识 （3）-6x2-x+2≤0； 解：不等式可化为 6x2+x-2≥0， 则由6x2+x-2=0，得(2x-1)(3x+2)=0， 解得 或 ， 画出二次函数y=6x2+x-2的图象，结合 图像得不等6x2+x-2≥0的解集为{x| 或 }. 2 -1 y x -1 3 新课引入 课后小结 根据今天所学，回答下列问题： 1.二次函数与一元二次方程、不等式之间有什么联系？ 2.求解一元二次不等式的步骤是什么？ 新课引入 布置作业 教材第56页练习第1题 新课引入 结束语 谢谢观看！ $$